山本 義隆 (2018) 小数と対数の発見

  • 山本 義隆, 2018: 小数と対数の発見。日本評論社, 250 pp. ISBN 978-4-535-79813-7.

2018年7月の新刊。あとがきによれば、2014年に出た『世界の見方の転換』のために調査したが書ききれなかった数学関係の話題を、『数学文化』という雑誌に9回 (4年半)にわたって連載し、それを本にまとめたものだそうだ。『世界の見方の転換』は縦書きで、本書は横書きだ。

わたしは、この著者による科学史の本『重力と力学的世界』(1981)、『熱学思想の史的展開』 (1987, 文庫版2008-2009)、『古典力学の形成』(1997)を読み、かなり影響をうけた。『磁力と重力の発見』(2003)、『16世紀文化革命』(2007)、『世界の見方の転換』(2014)はページ数が多くて読む時間がとれそうもないと思って見送ってきた。2018年から天文の分野もふくむ地学概論の授業を担当することになって、地動説からニュートン力学への知識の発達についてうそをつかないために『世界の見方の転換』などを読もうと思ったが、それよりも優先順位の高いのは、数値を10のべき乗や対数目盛りで表現することについての知識だと思った。2018年9月、その参考になる本をさがしたら、同じ著者の本にいきあたった。

本書では、科学史上の人物のなまえを、本文でも索引でもかたかな表記している。日本語話者が読むのにはよいが、情報をたどるには欧文つづりもほしい。欧文つづりは文献の著者名あるいは書名中のことばとして見つかることもあるが、本書で見あたらずにほかの情報源をさがす必要があることもあった。

2018年中に前半をていねいに読んだのだが、息切れしてしまった。2020年1月に全体をかけ足で読んだ。そのメモをのこしておく。

序章。ここだけは数学ではなく自然科学の話題。『世界の見方の転換』の要約なのだろう。Regiomontanus (バイエルンのケーニヒスベルク出身のJohannes Müller, 1436-1476) が、おそらく中世以後のヨーロッパでははじめて、Ptolemaiosの天文学の(計算技術だけでなく)理論を理解した。それから1世紀半、Keplerにいたって、天文学と自然学(physica)との関係が変わり、physicaが自然学から物理学になった。

さきに第2章の途中まで。(東洋では、1より小さい数も「分、厘、毛…」の、けたごとに名まえをつけるので小数とはすこしちがうもののそれに近い10進表現があった。しかし) 西洋には、10進数による計算がイスラム圏からひろまったが、それはおもに商業数学であり、整数と、小さい整数を分母とする分数があればよく、小数はつかわれなかった (連続量の近似の必要性がなかった)。

第1章。西洋でも天文計算では連続量の近似の必要性があった。そこではバビロニア以来の伝統の60進小数がつかわれた。英語の minute, second のもとの minuta, secundaは、60進の第1段細分、第2段細分であり、かつては 時間のhourや角の度だけでなく、いろいろな量が60進細分された。

Regiomontanus は三角関数表で数値を10進表記した。小さい数に一定の10のべきをかけて整数にしたもので、上位のゼロが空白になっているが、10進小数によるものとだいたい同じ形になった。

第2章つづき。Simon Stevinが1585年に出した『十分の一法』(オランダ語とフランス語)で、十進小数が提案された。ただし表記方法は、けたごとに〇でかこんだ数字をつけた、ちょっと冗長なものだった。

第3章。Stevinがおこした数学の革新としてもっと重要なことが、同じ1585年に出版された『算術』(フランス語)にある。その最初のページで「1は数である」と明言した。それまでの数学では、例外はあるが、数(整数)は2からはじまるとするのがふつうだったのだ。【1960-70年代の数学教育現代化の教育をうけたわたしの知っている用語をつかえば、かけざんの単位元を特別あつかいしないで集合にふくめることにした、ということなのだろう。】また、「数は不連続量ではない」とのべた。ピュタゴラス以来、西洋の数学では、数は整数かその比にかぎられ、連続量は大きさ(長さ、面積)としてあつかわれてきた。Stevinは、数の概念を、連続量を基本とするものにかえた。そして、代数方程式の解を、整数や整数の比で書けないばあいも、十進小数で逐次近似できることをしめした(そこでの表記は分数だったが)。

第4章。小数点をつかった小数の表記は、Christophor Claviusの1593年の天体観測機器の本の三角関数表で部分的につかわれた。John Napierの1614年の対数の『記述』の本(ラテン語)のEdward Wright訳による1616年の英語版で本格的につかわれた。Napierの1617年の計算器具(rod)の本、その没後1619年に出版された対数の『構成』の本でもつかわれている。

Napierは、九九の表をかいた棒(rod)をならべることによる、けた数の多い整数のかけざんを助ける器具で有名になった。(この器具には、たすと9になる数の組を使った検算がしやすいという特徴もある。) Napierは かけ算を速くしたいという動機をもちつづけていた。

この時代、Tycho Braheをはじめとする天文学者のあいだで、かけざんの能率をあげるため、三角関数のたしざんを使う方法がつかわれた。

第5-6章。Napierは、正弦(斜辺の長さが10のべき乗である直角三角形の高さ)の対数の表をつくった。(この対数はだいたい自然対数にあたる。)

第7章。KeplerはNapierの対数を知り、それを天文計算に使いはじめた。また、対数の基礎づけをしなおし、1624年に、三角関数の対数ではない 対数の表をつくった。(これもだいたい自然対数にあたる。)

第8章。Joost Bürgi はNapierと独立に対数を発明した。ただし対数表の出版は1620年となりNapierよりもあとだった。それは逆対数表だが、対数の値をもとめるのに使うことができる。これにさきだつものとして、Stevin が1582年に出した利子表があり、Bürgiはその影響をうけたかもしれないが、その明確な証拠はない。

第9章。Henry Briggsが、Napierとの議論をふまえて、常用対数を考案し、1624年の本『対数算術』(ラテン語)でその理論と計算の実際を説明した。

本書は、Napier, Kepler, Bürgi, Briggs のそれぞれの対数の定義を、いまの数式で再表現して、比較できるようにしている。

折りかえしのあとに くわしい目次をつける。

== 目次 ==
目次
序章 物語の背景 — 物理学の誕生
第1章 60進小数をめぐって
– 1. 算術の始まり
– 2. 天文学と60進小数
– 3. 60進小数のアルゴリズム
– 4. 10進小数への接近
第2章 10進法と10進小数
– 1. 10進法と10進位取り表記
– 2. 度量衡と10進法
– 3. 商業数学の発展
– 4. イスラム社会での発展
– 5. 小数概念への接近
– 6. ステヴィンの『十分の一法』
第3章 数概念の転換
– 1. 1の数的身分をめぐって
– 2. 離散的数と連続的量の分離
– 3. 数の連続体への展望
– 4. 方程式論をめぐって
– 5. 10進小数提唱の意義
第4章 クラヴィウスとネイピア
– 1. 小数点の導入
– 2. ネイピアのロッド
– 3. 積和と積差の公式
– 4. 秘伝としての加減法
– 5. スコットランドへの伝播
第5章 ネイピアによる対数の提唱
– 1. 対数についてのネイピアの著書
– 2. 『記述』におけるネイピア対数の定義
– 3. ネイピア対数のふるまい
– 4. ネイピア対数についてのいくつかの命題
– 5. ネイピア対数表とその使用法
– 6. ネイピア対数の有用な使用法
第6章 ネイピアによる対数表の構成
– 1. 連続関数としての対数認識
– 2. 逆対数表の構成
– 3. 対数計算のための不等式
– 4. 精密な対数表の形成
第7章 ケプラーと対数
– 1. ケプラーと対数の出会い
– 2. ケプラー対数の定義
– 3. ケプラーの対数表
– 4. 対数による計算の例
– 5. ケプラーの功績
第8章 先行者そしてヨースト・ビュルギ
– 1. アルキメデスからオレームへ
– 2. ニコラ・シュケー
– 3. ステヴィンの利子表
– 4. ヨースト・ビュルギ
– 5. ビュルギの対数表とその使用法
第9章 常用対数の誕生
– 1. ヘンリー・ブリッグス
– 2. ネイピア自身による改良の試み
– 3. ブリッグスの対数理論
– 4. ブリッグスによる対数計算の基本
– 5. ブリッグスによる素数の対数計算
文献
あとがき
索引

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