• 山本 義隆, 1997: 古典力学の形成 — ニュートンからラグランジュへ。日本評論社, 373 pp. ISBN 4-535-78243-1.

1997年に出た本。わたしは2000年に古本で買って、浅く読んで、おもしろいと思った。NewtonのPrincipia (1687年) が、運動法則を微分方程式でなく幾何学的方法で論じたことはすこしまえに知っていたが、それでは、われわれがつい「Newtonの運動方程式」と呼んでしまうものによって運動を記述したのはだれなのか、まだ知らなかった。本書によって、それは Eulerの1730-60年代のしごとだということがわかった。

2013年に、「逆問題」ということばが気になったとき、本書を見て、Newtonの逆問題が、現代の地球物理学者にとっての順問題にあたることを知って、おどろいたのだった。([別ブログ記事 2013-12-17 「順問題と逆問題」])。

2021年1月、力学の教材を考える必要が生じたので、本書を読みかえした。

Newtonの順問題は、惑星の運動の原因となる力をもとめることで、幾何学的方法によって成功した。Newtonの逆問題は、中心力である重力をあたえられたときどんな運動が生じるかで、Principia でそれに成功したかどうかは不確かなのだ。

Leibniz は 1689年の論文を、Principia自体を読まず書評だけを読んで書いたと言っているが、それはうそだ。Leibnizによる書きこみのあるPrincipiaの本などの状況証拠がある。しかし、運動法則を微分方程式で記述した Leibniz の功績は大きい。それをひきついだフランスのVarignon (1700年)によって、Newtonの順問題が微分方程式で解かれた。Newtonの逆問題は、Hermann と Johann Bernoulli (いずれも1710年)のしごとをへて、Euler (1747年)によって、微分方程式で解かれた。

さらに重要なのは、Eulerが1750年の論文で、運動方程式を、剛体にも弾性体にも流体にも適用される力学の原理であるとしたことだ(本書第2部のはじめの第10章)。

ここまでの話は、わたしには(個別の著作の話題に深入りしない範囲で)、よくわかった。

そして、拘束運動、最小作用の原理、変分法などの概念が提示され、Lagrange の解析力学(1788年の本)にいたる。わたしは、(1970年代後半の学生として) そのあたりの概念をふくむ物理の授業をうけたにもかかわらず、身についていない。わたしの力学の理解は (Eulerの) 運動方程式までなのだ (連続体の運動方程式にひろがりはするが)。だから、本書の後半の議論は、表面的にしかわからない。

著者は解析力学の意義を本書17章6節で4点にわけてあげている。そのうちで第1点は(Eulerの運動方程式が個別物体ごとにたてられていたのに対して) 多数の質点からなる系全体について一個の基本方程式をたてたこと、第4点は座標変換によって形が変わらない方程式をたてたことだ。解析力学は、物質と場をあわせた対象をあつかえるので、20世紀の場の量子論にそのまま利用できた。

もうひとつ重要なこと (17章7節の論点)は、力学が「マニュアル化」されたこどだ。問題を一定の手続きにしたがって解くことができ、巧妙な技巧を必要としなくなった。(NewtonからLeibnizでその方向に一段進んだのだが、さらに進んだ。) これにフランス革命による社会変革がくわわって、フランスは近代技術者集団を養成できた。この点でイギリスは遅れた。(本書は科学と社会との関係にあまりたちいらない本だが、最後の部分でこのようにふれている。)

科学史的認識の変遷という意味で、本書(とくに「序」)の議論は次のようなものだ。

「NewtonがNewton力学(と 20世紀の物理学者によばれたもの)をつくった」というとらえかたは、Trusdell (1960年)以来の科学史専門家はとらないが、まだ、物理や数学の中でその歴史をかたる人はとることがある。Mach (1883年) が、「Newtonが今日採用されている力学法則の定式化を完成させた」とのべたことの影響が大きい。

18-19世紀の大陸ヨーロッパの人びと(たとえばMaupertuis 1756年)は、Newtonを重力の法則をたてた人とはみとめたものの、力学の原理についての知識の発達は、GalileiからEulerにつらなるととらえていた。本書のたちばは、これの復活に近い わくぐみの中に、Newton からの貢献を位置づけたものだと思う。

折りかえしのあとに 目次をつける。

== 目次 ==
序 「Newtonの力学」と「Newton力学」
目次
第1部 Kepler問題
1. 「プリンキピア」の問題設定と論理構成
– 1. 発端
– 2. 『プリンキピア』の問題設定
– 3. 『プリンキピア』の運動法則
– 4. 運動法則の吟味
2. 「順Newton問題」の解法と重力の導出
– 1. 面積定理の証明
– 2. 中心力を求める基本方程式
– 3. 一つの例: 2次元調和振動
– 4. Kepler運動の場合
– 5. 順Newton問題の別解
– 6. Keplerの第3法則
– 7. 議論の再検討
3. 「逆Newton問題」の解法と『プリンキピア』の限界
– 1. 『プリンキピア』をめぐる神話
– 2. Newtonは「逆問題」を解いたか
– 3. 『プリンキピア』の「命題 17」
– 4. 微分法と『プリンキピア』
– 5. 一直線上の降下
– 6. 任意の曲線上の運動
– 7. 若干の書直し
4. 『プリンキピア』 第2篇の解読
– 1. 『プリンキピア』 第2篇の歴史的意義
– 2. 第2篇の今日的意義
– 3. 速度に比例する抵抗のもとでの運動 — 極限移行の問題
– 4. 速度に比例する抵抗 — Newtonの限界性
– 5. 一定の駆動力のあるとき
– 6. 速度の2乗に比例する抵抗のあるとき
– 7. 『プリンキピア』という書物
5. Leibniz と微分方程式の導入
– 1. Leibniz の『試論 (1689)』をめぐって
– 2. Leibniz の前提と方法 — 「調和回転」
– 3. 遠心力の公式の導出
– 4. 動径方向の運動方程式
– 5. 楕円軌道と万有引力 — 順Newton問題
6. Leibniz と『プリンキピア』
– 1. Leinbiz の手になる書き込みの発見
– 2. 速度に比例する抵抗中の落下
– 3. 『プリンキピア』の微分法に関する補題
– 4. 速度の2乗に比例する抵抗中の落下 — I.
– 5. 速度の2乗に比例する抵抗中の落下 — II.
– 6. Leibniz による解
7. Varignon と「順Newton問題」
– 1. Varignonの評価について
– 2. 1次元運動とエネルギー積分
– 3. 中心力の新しい表式
– 4. 例 — 2次元調和振動
– 5. Kepler運動と万有引力の導出
– 6. 「逆Newton問題」の必要性
8. 「逆Newton問題」の初めての解析解
– 1. 問題の設定 — 方程式の導出
– 2. 方程式の積分 — Hermannの解
– 3. Riccatiによる補注と若干のコメント
– 4. [Johann] Bernoulliの別解 — 極座標の方程式
– 5. Kepler問題の解
9. Kepler問題の完成
– 1. 楕円軌道の極座標表示
– 2. Kepler運動の運動学
– 3. 極座標による運動方程式の表現
– 4. 運動方程式の第1積分
– 5. 万有引力のもとでの運動
– 6. D. Bernoulliとエネルギー積分の導入
第2部 力学原理をめぐって
10. Eulerによる力学原理の整備
– 1. 1740年前後の状況: Newtonと力学原理
– 2. Eulerの出発点
– 3. 力学原理としての運動方程式
– 4. 慣性原理について
– 5. 力の尺度をめぐる議論
– 6. 見掛けの運動と見掛けの力
– 7. 仕事関数の導入
11. 新しい問題 — 拘束運動とその解法
– 1. はじめに — 新しい問題
– 2. Jakob Bernoulli による問題設定
– 3. 梃子の釣り合いの条件
– 4. 問題の解
12. Daniel Bernoulli と非剛体的拘束運動
– 1. 一般的な問題設定と方針
– 2. 一つの例 — 動く斜面上の落下
– 3. 二重振子にたいする問題設定
– 4. m にたいする拘束の効果
– 5. 固有振動と相当単振子
13. D’Alembert の原理
– 1. D’Alembert とその力学
– 2. 力学の原理
– 3. 力概念への翻訳
– 4. いくつかの具体例
– 5. 二重振子
– 6. D’Alembert の時代的制約
14. 最小作用の原理とその周辺
– 1. Maupertius
– 2. 最小作用の原理
– 3. Euler による定式化
– 4. Euler の見解
– 5. 静力学と動力学の統一
15. Lagrange と変分法
– 1. Lagrange の出発点
– 2. 最小作用の原理
– 3. 複数個の物体系
– 4. D’Alembert – Lagrange の原理
16. 『解析力学』 第1部 — 静力学
– 1. 『解析力学』の出現前後
– 2. 『解析力学』の特徴と意図
– 3. 静力学と仮想速度の原理
– 4. 拘束系と未定乗数法
17. 『解析力学』 第2部 — 動力学
– 1. D’Alembert の原理をめぐって
– 2. 動力学の基本方程式の導出: 『解析力学 (初版)』より
– 3. 動力学の基本方程式の導出: 『解析力学 (第2版)』
– 4. 諸「原理」の導出
– 5. Lagrange 方程式
– 6. 『解析力学』の切り開いたもの
– 7. 力学のマニュアル化
注
あとがきにかえて
– 1. 本書にたいする著者の主観的意図
– 2. 本書成立の経緯と謝辞
人名索引
事項索引