フライシュ[Fleisch]、クレゲナウ[Kregenow] (2013/河辺 哲次 訳, 2014) 算数でわかる天文学

  • Daniel Fleisch & Julia Kregenow, 2013: A Student’s Guide to the Mathematics of Astronomy. Cambridge University Press.
  • [日本語版] ダニエル・フライシュ、ジュリア・クレゲナウ 著, 河辺 哲次 訳, 2014: 算数でわかる天文学。岩波書店, 254 pp. ISBN 978-4-00-005414-0.

日本語版は2014年に出た本。わたしは、2018年4月に、(もとの「岩波ブックセンター」のあとに) あらたに開店した、岩波書店の本をならべている「神保町ブックセンター」で見つけた。

天文学の話題に、数量を実際に計算してみることによって慣れようという、教科書的な本だ。とくに、計算の課題を、四則演算(たしざん、ひきざん、かけざん、わりざん)で計算できるものにしぼっているのが特徴で、日本語題名はそれを「算数」と表現した。理屈をしめす式では変数を文字であらわしていて、四則演算よりも複雑な数学(平方根、指数関数、対数など)がはいってくることはある。できあがった式に数値を入れるところが算数でできるようにしてあるのだ。(ただし、対数の計算をさせているところはあるかもしれない。1970年代ならば対数表をくばるところだろうが、いまでは電卓か「スマホ」の電卓機能を使えばよいだろう。)

天文にかぎらず数量の操作に慣れるための教材として、とてもよい本だと思うのだが、用語がうまくないと思うところがある。以下、おもにわたしの理解した要点の紹介だが、用語についての不満をはさんでいる。

第1章「単位がわかる」。
そのうち1.1節ではまさに物理量の単位の換算(本書の表現では「変換」)を扱っている。
本書の特徴は、単位換算の係数(「変換ファクター」)を、両方の単位を明示した分数で式に入れることを勧めていることだ。たとえば「1時間/60分」などを(斜線でなく)横線の分数で式に入れるのだ。そうすると、分母・分子に同じ単位があれば「約分」のような形で消えて、どの単位が残るかが明確になる。これは単位の扱いに慣れていない人の初歩の経験には勧められそうだが、慣れた人にはめんどうに感じられるだろう。
ベキ乗(平方、立方)による単位(「指数をもつ単位」という表現はわかりにくいが)の換算の注意もある。
物理量の次元の概念は、SIの複合単位の話などで、実質的には使われている。しかし「次元」ということばは、長さと面積のちがいの文脈で出てくるだけなので、物理量の次元という意味と空間の次元という意味が分離されていない。(しかも「線形な次元」ということばが出てくる。linear dimensionの直訳にちがいないが、線形代数での線形とはちがう意味であり、日本語表現としてうまくないと思う。「長さの次元」か「長さという次元」としてほしかった。)

1.2 節は「絶対法と比率法」とされている。これは、数量を扱う計算をするときの態度を分類したものだ。ここでいう「絶対法」は、物理量の次元をもった量を単位つきで扱う態度、「比率法」は、同じ次元をもった物理量どうしの比較 (多くの場合は比) を扱う態度だ。どちらをおもに使うにしても、他方をも知っておく必要がある。(高校生のとき、わたしはここでいう「絶対法」で考えるくせがあって、他の生徒が「比率法」で考えているのを知って、そのときの問題についてはそのほうが考えやすいので、感心した。)

1.3節は「比率の問題」とされている。この題目はわかりにくい。ここでの「比率」は、英語の rate で、何かの量の単位時間あたりの流れや変化量をさすのだ ([別ブログ2014-11-01の記事]参照)。Harte (1988)の本の日本語版(『環境問題の数理科学入門』, 2010年)[読書ノート]では、英語のrateを一貫して「率」としたが、日本語の慣用の科学用語とずれてしまった。しかし、用語の選択はともかく、単位時間あたりの量と、それを時間について累積した量との関係を理解することは重要だ。

1.4節は「科学的表記」とされている。この表現も英語からの直訳で日本語ではなじみがないが「なになにかける10のなん乗」という形の表現のことだ。「有効数字」のことも指摘されている。なお、計算問題に答えるときの有効数字のとりかたについて、一般的な指針はないのだが、著者自身が出す演習問題を想定した場合は、計算の過程では6-8けたの数値を使い、結果を書くとき2けたにまるめることを勧めている。

第2章は「重力がわかる」。万有引力の法則の式に数量を入れて計算する。運動方程式に数量を入れて計算する。ケプラーの法則に出てくる楕円軌道の数値による表現を理解する。ニュートンの理論によって裏づけられたケプラーの法則に数量を入れて計算する。

第3章は「光がわかる」。光を含む電磁波のスペクトルの概念を理解する。音などとも共通な波の概念として、周波数、波長、振幅、電磁波特有のこととして、光子のエネルギーと周波数の関係がある。それから黒体放射の話になり、ウィーンの法則、ステファン(・ボルツマン)の法則が示され、それに数量を入れて計算する。(「放射」と「輻射」は同意語とされながら両方とも使われている。) 次にドップラーシフトの話。視線速度と周波数のずれの関係。周回(公転)している天体の視線速度はどうなるか。視線速度から周回運動をどのように推定するか。

第4章は「天体観測がわかる」。視差とは、基準線の両側から対象物を見た角度のずれだ。基準線の長さと視差から対象物までの距離を知る。また、視直径(角度)、実際の直径(長さ)、対象物までの距離はどんな関係にあるか。ここまでは、幾何学の応用で、三角測量と同様だ。それから、望遠鏡の分解能の話に移る。ここは波としての光の干渉がからむ、わたしにとってはむずかしい話だ。

第5章は「星がわかる」。年周視差 (地球の公転軌道の直径を基準線とした視差の半分) と星までの距離の関係。星の光度と見かけの明るさ、見かけの等級、絶対等級(標準の距離で見たとしたときの等級)。そして、横軸に表面温度(の対数)、縦軸に光度(の対数)をとった「HR図」。恒星の質量などいろいろな物理量を、太陽のなん倍という「比率法」と、物理量の単位をもたせた「絶対法」の両方でとらえる。

第6章は「ブラックホールと宇宙論がわかる」。
前半はブラックホールの話。まず物質の密度 (質量わる体積)の概念の確認。それから「脱出速さ」(見慣れない用語だが、ベクトル量でないので「速度」としなかったのはもっともだ)。天体から打ち出された「投射体」の速さがこの値以上ならば、天体のまわりを周回しない軌道に達することができるのだ。そして、脱出速さが光の速さに等しくなるところがブラックホールの「シュバルツシルト半径」。

後半は膨張する宇宙の話。天体までの距離と、その天体の(見かけの)後退速度とには、比例関係が見られる(ハッブルの法則)。その比例係数「ハッブル定数」は、時間の逆数という物理量の次元をもつ。ハッブル定数の逆数が、宇宙の膨張率が一定と仮定した場合の宇宙の年齢だ。ただし、膨張率は一定ではないとする理論もいろいろある。
(ここでの「膨張率」は、膨張のrate (単位時間あたりの量)だ。しかも、距離の単位時間あたりの変化を距離自体で割った相対変化rateであり、[別ブログ2015-05-07の記事]で「相対変化率」としたものにあたる。熱膨張(温度による体積変化)の話題での「膨張率」とはちがう概念だ。)

折り返しのあとに詳しい目次をつける。

== 目次 ==
訳者のことば
まえがき
謝辞
目次
1. 単位がわかる
– 1.1 単位と変換
– – 1.1.1 変換ファクター
– – 1.1.2 変換問題のセットアップ
– – 1.1.3 答えのチェック
– – 1.1.4 多段階の変換
– – 1.1.5 指数をもつ単位の変換
– – 1.1.6 複合単位
– 1.2 絶対法と比率法
– – 1.2.1 絶対法
– – 1.2.2 2つの量の比較
– – 1.2.3 比率法
– – 1.2.4 比率の解を解釈する
– – 1.2.5 比例関係
– – 1.2.6 反比例関係
– 1.3 比率の問題
– – 1.3.1 距離と速さと時間の問題
– – 1.3.2 総量と比率と時間の問題
– 1.4 科学的表記
– – 1.4.1 係数、底、指数
– – 1.4.2 10進表記と科学的表記の関係
– – 1.4.3 言葉で表した数字
– – 1.4.4 科学的表記を使った計算
– – 1.4.5 桁の見積り
– – 1.4.6 数のベキ乗
– – 1.4.7 電卓の操作について
– 理解度チェック
2. 重力がわかる
– 2.1 万有引力の法則
– – 2.1.1 万有引力の式の説明
– – 2.1.2 重力の計算
– – 2.1.3 表面の重力
– 2.2 ニュートンの運動の法則
– 2.3 ケプラーの法則
– – 2.3.1 楕円のパラメーター
– – 2.3.2 楕円軌道のパラメーター
– – 2.3.3 ケプラーの第3法則を使う
– 理解度チェック
3. 光がわかる
– 3.1 光とスペクトルの基礎
– – 3.1.1 スペクトル
– – 3.1.2 波長と周波数とエネルギーの関係
– 3.2 輻射の法則
– – 3.2.1 ウィーンの法則
– – 3.2.2 ステファンの法則
– – 3.2.3 輻射の法則を使う
– 3.3 ドップラーシフト
– – 3.3.1 ドップラー効果
– – 3.3.2 ドップラーシフトの式
– – 3.3.3 ドップラーシフトの式の別表現
– 3.4 視線速度図
– 理解度チェック
4. 天体観測がわかる
– 4.1 視差
– – 4.1.1 視差の説明
– – 4.1.2 視差の計算
– 4.2 視直径
– – 4.2.1 視直径の説明
– – 4.2.2 視直径の計算
– 4.3 分解能
– – 4.3.1 分解能の説明
– – 4.3.2 分解能の計算
5. 星がわかる
– 5.1 恒星視差
– – 5.1.1 恒星視差の式
– – 5.1.2 視差問題の解法: 絶対法
– – 5.1.3 視差問題の解法: 比率法
– 5.2 光度と見かけの明るさ
– 5.3 等級
– – 5.3.1 見かけの等級
– – 5.3.2 絶対等級
– – 5.3.3 距離指数
– 5.4 HR図
– – 5.4.1 太陽単位
– – 5.4.2 光度軸と温度軸
– – 5.4.3 星の半径
– – 5.4.4 主系列星の質量
– – 5.4.5 主系列星の寿命
– 理解度チェック
6. ブラックホールと宇宙論がわかる
– 6.1 物質密度
– – 6.1.1 密度の説明
– – 6.1.2 密度と比例性と極限のケース
– – 6.1.3 球状物体の密度
– 6.2 脱出速さ
– – 6.2.1 脱出速さの説明
– – 6.2.2 脱出速さの計算
– 6.3 ブラックホール
– – 6.3.1 ブラックホールの密度
– – 6.3.2 シュヴァルツシルト半径
– – 6.3.3 ブラックホール近くの脱出速さ
– 6.4 膨張する宇宙
– – 6.4.1 ハッブル図とハッブルの法則
– – 6.4.2 ハッブル定数 H0 の値
– – 6.4.3 ハッブルの法則で計算
– – 6.4.4 宇宙の年齢
– – 6.4.5 位置-時間図
– 6.5 宇宙の歴史と運命
– – 6.5.1 宇宙論的な位置-時間図
– – 6.5.2 宇宙の歴史の決定
– – 6.5.3 過去の膨張率の変動
– – 6.4.4 将来の膨張率の変動
– 理解度チェック
演習問題の解答
理解度チェックの解答
関連図書
索引

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