杉本 大一郎 (2003, 2009) 使える数理リテラシー

  • 杉本 大一郎, 2003: 使える数理リテラシー (放送大学教材 1271571-1-0311)。放送大学教育振興会 (発売: 日本放送出版協会), 215 pp. ISBN 4-595-23674-3.
  • 杉本 大一郎, 2009: 使える数理リテラシー。勁草書房, 179 pp. ISBN 978-4-326-60223-0.

物理や経済学などの知識を使えるようにしようと思うと、それが使っている数学(「数理」と言ったほうがよいかもしれない)のことばをも使えるようになる必要がある。数学の教科書や入門読みものはたくさんあるが、そのほとんどは数学を専門とする人(または数学教育を専門とする人)が書いている。数学者の数学は、抽象度が高く、そのおかげで多くの対象に適用できるのだが、それを説明した本を読んでも、具体的な対象への適用のしかたは身につかない。数学のことばを使う側の人による手引きがほしい。本書は、そういう意識で書かれた、まだ少ない本のひとつだ。

ここで扱われる数学は、微分積分など、連続量(数学の数の分類で言えば実数値や複素数値をとる数量)を扱うものだ。

著者は、物理を学び、それを適用して天体の物理を研究し、ながらく東京大学教養学部で大学初級の学生むけの地学(宇宙地球科学)の宇宙の部の授業を担当した。(わたしはその授業を受けた。その後ながく印象に残っていたことを[別の本の読書ノート]に書きこんでしまった。) その最後のころには天体力学の多体問題に特化した計算機の開発に取り組んだ。1997年からは放送大学教授として、宇宙科学に関する科目にくわえて、科学全体への入門的科目も担当した。そのひとつとして「使える数理リテラシー」という科目が企画され6年間ラジオで放送された。本書の初版はその講義のテキストだ。(わたしは、その科目の意義を感じてテキストを買ったものの、これまでしっかり読んでいなかった。) 開講が終わるとともに放送テキストとしての出版も終わったが、別の出版社から同じ題名の新版が出た。内容の入れかえがある。ここではまず新版にそって紹介し、あとで初版にだけある項目にふれる。

本書は、高校レベルの数学はだいたいわかるが、それと物理や経済や日常生活とのつながりが感じられない人にとって、そのつながりがわかるきっかけを与えてくれる本だと思う。数学が苦手な人には、残念ながら、本書は近づきがたいだろうと思う。

ここから、(まだていねいに読んでいないのだが) ひととおり読んで主要と思われた論点を紹介してみる。

第1-2章。本書でおもに扱うのは「量」だ。量どうしの演算(たとえば、たしざん)は、それぞれの量の性質(属性)によって、できる(意味がある)場合とできない(意味がない)場合がある。量は「次元」をもっている。量どうしのかけざん・わりざんをすれば、次元もかけざん・わりざんされる。物理量の単位は、この次元をふまえて組み立てられている。

第3-5章。
数量を扱う文脈には、たしざん・ひきざんがおもになるものと、かけざん・わりざんがおもになるものがある。本書では、両方とも出てくるが、どちらかといえば後者が重視されている。数量どうしの差よりも比のほうに注目するのだ。しかし、同じ次元だが大きさがけたちがいの量をいっしょに扱うときには、グラフの軸の尺度にはもとの量よりもその対数をとったほうがよい。もとの量のかけざんに対応するのは対数のたしざんで、もとの量の比に対応するのは対数の差だ。
無限大・無限小といった概念は、数学での使われかたと、それを応用する分野での使われ方はいくらかちがっている。例として、物理のうちの熱力学での「準静的」あるいは「実質上無限にゆっくり」とはどういうことか、という話がある。

第6章。数量のあいだの関係を関数であらわす。1次関数、べき関数(xのn乗という形)、指数関数。

第7-9章。微分と積分はどんなところに出てくるか。
微分が出てくる典型として瞬間速度がある。経済でいう「限界効用」は効用を財の個数で微分したものだ。関数を厳密に計算できないとき、微分を使って、関数を「テーラー展開」してそのはじめのほうの項によって近似する。
積分が出てくる典型は面積や体積を部分の和として求める問題だ。振動する現象の記述には、三角関数あるいは複素数の指数関数の微分・積分を使う。
微分・積分を含む計算をして何かを知ろうとする問題設定として、「ものごとを最適化する」「効果をよせあつめる」「局所的なものから全体を解く」「境界条件がものごとを決める」という話題がある。

9.5節(初版にはない)の「フローとストック」は時間とともに変化する物理量(経済量などでもよい)を含むシステムの考えかただ。たまっている水の量が流入と流出によって変化することが典型とされている。定常状態(「動的平衡」ともいう)がありうる。地球温暖化も、定常状態がゆっくりと変わっていく現象として説明されている。

第10章はべき関数と指数関数の話題にもどる。べき関数に関連して、フラクタル次元の話がある(あまり詳しくない)。指数関数は、ある変数の時間微分がその変数自身に比例するようなフィードバックがあるときに出現する。ある変数の時間による2回微分がその変数自身に比例するような問題では、指数関数型の増幅・減衰とともに、振動がおこりうる。それは複素数の指数関数でまとめて表現できる。このようなシステムでは、平衡状態が安定か不安定かを論じることができ、そのような考えかたはもっと複雑なシステムを考えるときにも使われる。

第11-14章は統計の基礎知識。このうち第11-13章は初版にはなかった。第14章は初版の第13章をひきついでいる。
第11章は数値データの基本的統計量。数値は実数値をとるが、データは有限個の場合。平均、分散、N次のモーメントなど。
第12章は連続量の分布関数。そして「微分スペクトル」と「積分スペクトル」の考え。これはたとえば、光のエネルギーの波長別の分布を考えるとき、横軸に波長、縦軸に単位波長あたりのエネルギーをとったグラフを考えたとき、そのグラフの曲線に注目するのが微分的とらえかたで、曲線の下の面積に注目するのが積分的とらえかただ。それから、2変量のデータの扱い。散布図、共分散など。
第13章は、データからシステムの性質をさぐること。そのために、システムがしたがっていると思われる規則から確率分布を導き、データがその確率分布にしたがう母集団からのサンプルであると見てよいかを評価する。理論的確率分布としてよく使われるのは、正規分布のほか、指数関数、べき関数がある。対象の全部がひとつの分布関数であらわせるとはかぎらない。(たとえば、乱流の空間規模別エネルギー分布では、渦の規模の大きいところと小さいところで、ちがう式にしたがう。)
第14章は相関について。数量のあいだの相関は、相関係数で表現できる1次相関だけではない。相関係数がほぼ0でも散布図をかけば明確な関係が見えることもある。データが複数のタイプの集団から来るものを含んでいることもある。時間(または空間)の関数でもある変数については、異なる時刻(または位置)の自分自身との相関を考えることができる(これを自己相関という)。これは現象やそれをおこす原因の時空間規模を知る手がかりになる。

むすびの第15章(ラジオ講座の最終回)は数学基礎論の 隈部 正博 教授との対談で、著者のいう数理リテラシーと、数学者のいう数学との関係などを論じている。

初版の第11章は「重ねあわせのできるものとできないもの」。「線形と非線形」とほぼ同じことだ。重ね合わせられるものの例としては、三角関数(sin, cos)で表現された波の重ね合わせをあげている。

初版の第12章は「ものごとを見るアスペクト」。おもに座標の回転の話。まず2次元の場合について、座標の回転を2×2行列であらわしている。そして、楕円(「長円」としている)の長軸に座標軸をあわせる変換。それから、一般の多次元に話をひろげている。

初版の第14章は「原因と結果の葛藤」。相互作用のあるシステムをどう扱うか。
たとえば太陽・木星・地球の三体問題は、因果関係を同時に考慮して式をたてると解けない。地球の運動に対する木星の引力は太陽の引力のε倍だとすれば、εは小さいので、太陽と地球の二体問題で決まる軌道から始めて、εの1次、2次と近似を高めていく「摂動論」が使われる。
相互作用が強くて摂動論が不適切な場合について一般的に有効な方法はない。熱力学的に非平衡な状態が定常的に持続しているシステムでは、エントロピーを考えることによって見通しがよくなる。社会のようなシステムを考える際には、システムの全体としてのふるまいは必ずしも部分のふるまいの総和ではないことが重要である。

折り返しのあとに詳しい目次をつける。

== 目次 (2009年版) ==
まえがき [新規]
長めのまえがき (放送大学版 2003)
1. 加え合わすことの出来るものと出来ないもの
– 1.1 自然言語と数理言語: この科目のねらい
– 1.2 数学と数理リテラシーの違い
– 1.3 数と量
2. 数と量の表現
– 2.1 数量の表現
– 2.2 量どうしの掛け算
– 2.3 量どうしの割算から生み出される多様な概念の世界
3. 数の数え方の2とおり
– 3.1 足し算的数え方と掛け算的数え方
– 3.2 掛け算を足し算に変換する
– 3.3 対数とその意味
– 3.4 掛け算を足し算で実行する計算尺
4. 差が大切な事柄と比が大切な事柄
– 4.1 どちらが大切かは問題と文脈による
– 4.2 比を考えるときのゼロ点の意味
– 4.3 差が大切なときのグラフによる表現
– 4.4 縦軸・横軸には適切な概念を
– 4.5 比が大切なときのグラフによる表現
5.大きいと小さい
– 5.1 大小が基準との比較できまる
– 5.2 対数で表すときの大小
– 5.3 無限に大きいとか小さいの意味と意義
– 5.4 大きさの程度の推定
6. 関数と変化の速さ
– 6.1 数量の間の関係を表す関数
– 6.2 1次関数と数理言語による意味の表現
– 6.3 比例を超える依存性を持つ関数
– 6.4 べき関数
– 6.5 指数関数
7. 平均変化率と微分変化率
– 7.1 平均速度と瞬間速度
– 7.2 微分と経済学の限界効用理論
– 7.3 関数の微分
– 7.4 関数のテーラー展開
– 7.5 微分が役に立つ近似の考え方 [初版では「役にたつ微分の考え方」]
8. 細かく分けて足し合わせる積分
– 8.1 部分の和としての全体
– 8.2 積分と微分の関係
– 8.3 積の微分と積分
– 8.4 三角関数の微分と積分
– 8.5 複素数平面による表現
9. 微分と積分の使われ方
– 9.1 物事を最適化する
– 9.2 効果を寄せ集める
– 9.3 局所的なものから全体を解く
– 9.4 境界条件が物事を決める
– 9.5 フローとストック [新規]
10. 指数関数とべき関数
– 10.1 指数関数とべき関数の本質的な違い
– 10.2 指数関数とべき関数の意味の違い [初版では「具体例における …」]
– 10.3 べき関数の近似表現 [新規]
– 10.4 指数関数とフィードバック [初版では10.3]
– 10.5 安定・不安定・振動 [初版では10.4]
11. データと統計 [新規]
– 11.1 数値データの表現
– 11.2 平均・分散・歪度・尖度
– 11.3 モーメントによる記述の意味
12. 連続量の分布関数として表す [新規]
– 12.1 分布関数
– 12.2 微分スペクトルと積分スペクトル
– 12.3 2つの変数からなるデータ
13. 統計の使い方 [新規]
– 13.1 データを記述する
– 13.2 確率モデルと分布
– 13.3 データからシステムの性質を探る
– 13.4 いくつかのヒント
– – 13.4.1 正規分布の特殊な地位
– – 13.4.2 指数関数とべき関数の混ざり方
– – 13.4.3 指数関数かべき関数かを判定するときの注意
– – 13.4.4 全域が解析的に一つの分布関数として表されるとは限らない
– – 13.4.5 意味のある概念構成をつくるために
14. 相関という概念 [初版では13章]
– 14.1 統計データの間の相関係数
– 14.2 相関の概念とその意味 [初版では「相関という概念と…」、小節分割なし]
– – 14.2.1 相関係数の値は変数の取りかたによる
– – 14.2.2 関係は1次相関とは限らない
– – 14.2.3 異なる本性が混ざったデータもある
– 14.3 いろいろな相関
15. 数学と数理リテラシー
– 15.1 数学の精神か数理リテラシーか
– 15.2 ゲーデルの完全性定理と不完全性定理
– 15.3 公理という証明のできないもの
– 15.4 1つの事柄の2つの側面
– 15.5 無限大ということ
– 15.6 数学者と科学者の違いはどう緩和されるか
索引

== 初版にあって、2009年版に含まれなかった部分 ==
11. 重ね合わせの出来るものと出来ないもの
– 11.1 波とその表現
– 11.2 波の重ね合わせ
– 11.3 線形性と重ね合わせ
– 11.4 重ね合わせの出来ない問題
– 11.5 数学的取扱いについて
12. 物事を見るアスペクト
– 12.1 実在と座標系
– 12.2 座標系の回転と行列による表現
– 12.3 長円の方程式を適切な座標系で見る
– 12.4 連立1次方程式の解を求めることの意味
14. 原因と結果の葛藤
– 14.1 相関の表し方
– 14.2 非線形の摂動論的取扱い
– 14.3 原因への反作用が大きい非線形問題
付録A — 総合演習 — 数理リテラシーを使って量子力学での分布関数を見つける
– A.1 問題の設定
– A.2 分布関数とその一般形
– A.3 古典力学での分布関数
– A.4 量子力学での分布関数
– – A.4.1 電子のフェルミ分布
– – A.4.2 光子のボーズ・アインシュタイン分布関数
– – A.4.3 この節のまとめ

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