• 銀林 浩 [ぎんばやし こう], 1975: 量の世界 — 構造主義的分析 (教育文庫 8)。むぎ書房, 306 pp. [著者の名まえの読みかたは本書ではなくネット情報による。]

数量をあつかう地球科学をおしえるようになって、一般向けの本を見ると、算数・数学の題材をあつかう読みものはいろいろあるのだが、数学的概念を物理量 (や社会量) とを関連づけているものがすくないと思う。学問が専門分化し、数学の専門家が量をあつかわなくなってしまい、そういう人たちが初等中等教育の数学の教材をつくっているからなのだろう。数学の横ならびの、いわば「量学」が初等中等教育や一般向けの本にもっと必要なのだと思う。そんなことを、[別ブログ記事 2018-06-30 数学と数量的考えかたの教育について考えること]に書いた。

わたしは小学生のころ、算数の「水道方式」の本 (親むけのもの) を読んで、もっともだと思った。また、遠山 啓さんの数学入門書 (岩波新書やブルーバックス、水道方式に直接はかかわらないもの)を読んで、影響をうけた。また、1960-70年代の「数学教育現代化」の影響をうけ、自分の感覚にとりこんだ。(わたしは、1970年代はじめの中学で、当時の教科書よりも「集合」の考えかたをとりいれた、整数や有理数などの集合がどの演算について閉じているかを考えさせるような授業をうけたので、この傾向は人なみはずれて強いかもしれない。)

水道方式を推進した数学教育協議会(数教協)の関連で「量の理論」というものがあるということをどこかで知ったのだが、それをおいかけていなかった。2012年に古本屋で本書 (B6判よりやや大きめのハードカバー、箱型ケース入り、横書き)をみつけ、買ってはいた。著者の名まえと、数教協の人であることは、わたしは1990年代ごろから知っていた。2018年に「姉妹編」とされる『数の科学』も買った。しかし、読むべき本のうちで優先順位をあげられないまま、うもれさせていた。2021年2月に、まず『量の世界』から、目をとおしてみることにした。

まえがき冒頭に、エンゲルスからの引用がある。本書はそれが出てきて当然と思う読者層にむけて書かれたのだろうか。わたしは、まさに数学教育現代化の流れで記号論理の入門書をいろいろ読んだうちに、本書の著者とはちがった哲学伝統の著者の本の影響をうけて、矛盾をふくむ論理体系はすてられるべきものだと思っていたから、エンゲルスのいう「弁証法」をハナからうけいれなかった。もしわたしが本書を出版当時に見ていても、拒否したにちがいない。

しかし、いま、その引用をふくむ文章を読んでみると、エンゲルスは数学を量の科学だと考えていたが、ブルバキに代表される19世紀終わり以後の現代数学が数学を「量ばなれ」させてしまったのだ、という話であり、人名を別にすれば、いまのわたしが言いたいことと同じなのだ。

そこで著者は、現代数学の基礎をなしている(と著者が思っている)「構造主義的方法」によって「量」を分析しようとする。

遠山 啓 氏 が1957年にすでに量に関する議論をしている (出版物としては『数学教室』 No. 45, 1958年9月号)。その考えは、小学校算数教科書『みんなの算数』 (日本文教出版、通称『赤表紙』) にとりいれられたそうだ。

しかしその後、1967年の段階でも、量の分析はできなかった。やっと、(1975年当時の)「この数年来」、カテゴリ論によって分析できるようになった、という。カテゴリ論の文献としては、S. MacLane: Categories for the Working Mathematician, Springer をあげている。「問題となる構造は単なる数学的構造ではなく、認識的構造」だという。わたしも、数学のうちにはおさまらない問題だと思う。ただ、そうだとすると、数学的構造は同じでも、認識的構造は各人の経験によってちがうかもしれない。算数・数学教育が教師の認識的構造をおしつける弊害の心配も感じられる。

本書の到達目標は、ベクトル解析だ。最後の第7章で、3次元のベクトル場とスカラー場についての、grad, div, rot, ガウスの定理、ストークスの定理などがでてくる。著者にとっては、ブルバキの内容上の目標だったかららしい。わたしからみると、物理の流体力学や電磁気学を理解するために必要な応用数学の基礎概念なので、この目標のたてかたはもっともだと思う。ただし、物理のうちでも量子物理学を前提とするいろいろな分野にすすむ人 –たぶん、狭い意味の物理学者のほとんど– は、3次元にとどまらない多次元の解析(微分積分)を必要とする (わたしはそれをすこしならったが、身につけていない)。そのたちばからみると、本書の感覚は古すぎるかもしれない。

第7章でベクトル解析を理解するために、第5章で、分数の分母を(分子も)無限小にした極限をとることから微分、その逆演算である積分を、第6章で多次元の量のあつかいを導入することになる。その部分は、物理むけの応用数学とは論調がちがうところがあるが、内容は同様だと思う。

第1章は量の総論。

日本の初等教育での量のあつかいへの著者の不満からはじまる。1905-1934年につかわれた算術の国定教科書、通称『黒表紙』は、数学教育からは量を追放すべしという信念に立っていた。しかし、日常生活のために量は必要なので、単位のついた数としてだけ、量が出てくる。1935年の通称『緑表紙』では、ものさし、時計、ます(升)、はかり、分度器… による測定が導入されている。「今日」の学習指導要領の「量と測定」にひきつがれている。

しかし、生徒の正答率をみると、量のもつ法則性、たとえば重さの加法性がわかっていない。【ここで、「加法性」がなにをさすかよくわからないが、数学的概念でありうるものだと思う。しかし、「重さ」という量が「加法性」をもつという事実認識は (わたしの概念分類では) 数学の外だ。初等教育の算数の教育目標として、重さにたしざんが適用できるようになることがあげられると思うが、それは、たしざんという数学の初歩の教育だけでなく、それと重さという現実世界のものごととの対応という数学の外の知識の教育もふくむのだ。しかし本書はその論点を明確にせず、重さが加法性をもつことを数学のうちとみなしているように見える。】

量は、感覚を数値化したものからはじまる。しかし、計量法(という法律)の第2条にあげられている70種の量の大部分は、直接感覚にかかるものではなく、法則を介して間接的に構成される。量と法則の からみ合い (entanglement) が登場してくる。「量の体系」を考える必要がある。それは「われわれが個々の生物としての直接的感覚から出発して、次第に複雑化していく量の世界を認識し構成していく筋道を系統的に明示するものでなければならない。」【哲学的な議論のようだが「である」と「べきである」の区別が不明確なまま議論していると思う。また、人の頭の中の体系の個体発生と系統発生はちがってよいはずだが、著者はそう認識しているかが疑問だ。著者にとって自然な発生過程を、ちがった発生過程をもつかもしれないこどもにおしつけることになるおそれがあると思う。】

量とは何か? 「量」は「物」の「側面」だが、「質」とは区別される。

量を質と区別するのは、まず「比較可能性」だ。(本書の表現ではないのだが) 大小の判断ができることだ。そして、直接比較ができなくても、推移律がなりたっていて、間接比較ができることだ。 この段階の性質をもつ(が、つぎの節の性質をもたない)量 (たとえば、モース硬度) が、「序数的量」だ。

これに、「差の比較可能性」をくわえると、量は加減の演算ができる、「加法的」、「基数的」なものになる。

間接比較は、媒介項の値 c が比較したい両者 a, b の中間ならば「 a < c, c < b ならば a < b」でよいのだが、中間でないときはどうするか。a – nc < c < b – nc となる自然数 n をみつければよい。これができることの前提として、「アルキメデスの公理: 与えられた任意の量 a, c (> 0) に対して、 a < nc をみたす自然数 n が存在する。」を導入する。この c は「単位」といえる。この公理のもとでは、無限大は量ではない。

以下、量としては、比較可能性、差の比較可能性、アルキメデスの公理をみたすものにしぼって考える。

【「序数的量」と「基数的量」の関係は、わたしが地理情報学の教材ページ[世界をサンプリングする]で引用した、Stevens (1946)のいう「序数尺度」と「距離尺度」の関係と同じだ。Stevensは scale(s)という語をつかい、その直訳は「尺度」なのだが、わたしには「量」のほうがわかりやすい。教材ページでは、計算機プログラムであつかうことを想定したから、「変数」とした。ただし、本書では Stevens のいう「距離尺度」と「比例尺度」の区別は明確には出てこない。それは原点からの距離が意味をもつ量かどうかだ。著者はその区別を認識はしていると思う。しかし、「正比例」つまり「斉次1次関数」は第4章でしっかりあつかうが、斉次でない1次関数をどこでもしっかりとりあげていない。本書の議論を応用するならばそこを補強する必要がありそうだ。「水道方式」を参考にすると、1次関数としては、まず、定数項をもつ「一般」のものを提示して、斉次1次関数は定数項がゼロである「特殊」なばあいととらえるべきかと思う。】

いくらか数学的な議論をして、ここでとりあげる量は、整数であらわされるものと、実数であらわされるもののいずれかだという。前者が discrete quantityで、著者は「分離量」というが、別名あつかいで「離散量」も出している。わたしは「離散量」でとおす。後者が continuous quantity、「連続量」だ。

また、著者は、量を、加法性をもつ量ともたない量にわける。加法性をもつ量は、広がりの量、外延量 (extensive quantity)、加法性をもたない量は、強さの量、内包量 (intensive quantity)だ。【ただし、著者による「内包量」の定義は一貫していない。あとでは、内包量を2つの外延量の商としてえられる量にかぎってみたり、それにくわえて派生的な内包量を考えたりする。】

第2章は外延量について。
外延量のうち離散量であるものは、数えることによって自然数で表現される。連続量であるものは「測る」ことによって実数に対応づけられる (数値表現には小数と(連)分数とがある)。ここで単位が必要だ。量は測定値と単位の組で表現される。単位をかえれば測定値もかわる。

ある量が加法性をもつかどうかの根拠は、【数学の外なのだが】「量の不変性、保存性 (conservation)」にもとめている。物理で「質量保存」「エネルギー保存」というときの「保存」だ。ただし、子どもの認識について論じているところをみると、体積が保存性をもつとしているようだ。これは、近似として密度 (体積あたりの質量) が不変とすれば、質量保存からみちびける。たしかに、人が量をどのような演算の対象とするかにとっては、物理法則としての保存性よりも、近似的保存性のほうが重要かもしれない。

外延量の例として、長さ、重さ(質量)、時間、 面積と体積、角度と立体角(の大きさ)の話がつづく。物理の話、単位についての約束ごとの話、初等教育の教材での提示されかたの話がいりまじる。面積や体積は長さから組み立てられる。角度も弧度法をとれば長さどうしの比である(この解釈をとれば内包量になるが、加法性を持つので外延量としておく)。

そして、加法性は同質の量についてしか有効でない。ここで仮に「質」としたのが、量の次元 (dimension) だ。「力学では、長さ L、質量 M、時間 T を基本量にとるとよいことが経験的に知られている。」 電磁気をふくめるならば (MKSA系を例とすれば) 電流、熱をふくめるならば温度を基本量にくわえる。【さらに、光や色を扱うために光度をくわえる、と言っている。SI単位の制度のたちばからはこれで正しいのだが、物理を知るたちばから これが基本量だろうか と疑問を呈してほしかったという気もする。】

外延量は、基数的な (たとえば)「長さ」をあらわすことと、序数的な「位置」をあらわすことがある。そして、位置の差が「変化量」「変位量」としてつかわれる。同じ次元の外延量でも、長さにあたるもの(一般的な表現がみつからない)、位置にあたるもの、変位量にあたるものを区別してあつかう必要があることがある。

ここで著者は「分布量」と「位差量」ということばを導入し、あとの章でもつかっている。「位差量」(differential) は、ここで「変化量」とよんだものの絶対値であり位置に束縛されないもの、「分布量」(existential) は物体である区間に即したもの、だというのだが、これだけではよくわからない。読者としては、つかわれる文脈から意味をとるしかない。

第3章は内包量について。ここで内包量とは「外延量の商として数値化される量」だとしている。最初に外延量でない量の例として温度がでてくるが、これが「外延量の商」であることを示してはいない。第1章のたちばならば温度は内包量だが、第3章のたちばでは温度は外延量でも内包量でもないのだろう。

内包量を構成する外延量は離散量でもよいのだが、連続量から構成された内包量をおもにあつかう。 離散量がふくまれる内包量は典型的な内包量ではないのだ。

分母にくる量として空間と時間をとり、分子にくる量が「分布型」か「位差型」によって類型をわけようとしている。「位差型」のほうは、「勾配」と「速度」で、いずれもあとの章の微分の話題にうまくつながる。分布型のほうは「密度」と「流量」があげられている。

ここでいう密度は、分母が長さ、面積、体積であるもののほかに、重さあたり、molあたり、時間あたり、貨幣単位あたりなどもふくめた広い概念である。

いろいろな密度がでてくるが、「X密度」という形の語が、分子にXがくるものだったり、分母にXがくるものだったり、その量がでてくる状況をあらわすものだったり、量の構成されかたをあらわすものだったりして、わかりにくい。

著者は、濃度は密度の一種だが濃度でない密度もあるとする。濃度は、物Bが物Aの部分であり、分子yがBの量、分母xがAの量であるばあいだ。(著者は溶液の濃度は 溶質の質量/溶液の質量であり、溶質の質量/溶媒の質量は「濃度とはいわない」とする。)

著者は、同じ種類の外延量をわってえられた内包量を、「率 (rate)」とよぶ。ことなった外延量をわってえられた内包量を、「度 (degree)」とよぶ。そのようによばれる量が多いからだが、かならずしも量の名まえと対応しない。質量/質量の形の濃度は 率 である。【この「度」と「率」は、ほかの数教協関係の出版物でも見たおぼえがあるが、一般に通用する用語づかいではない。】

勾配も、斜面の幾何学的勾配 (鉛直距離/水平距離、傾きの角度をθとすれば tan θ) からはじめて、いろいろな量の差を2点間の距離でわったものに話をひろげている。速度勾配もとりあげている (速度が外延量でないことに注意しながら)。

速度。【本書の用語は「速度はベクトル、速さはスカラー」というこだわりをもっていない。】 (狭い意味の) 速度は 距離 / 時間 [位置の差/時刻の差]だ。時間を1軸にとった図式での勾配として解釈できる。そこから、角速度、一般の量 y の変化速度に話をひろげている。 「仕事率」も「仕事/時間」であり「仕事の速さ」だとしている 【わたしはこれはむしろ「流量」のなかまだと思うが】。工業の「生産力」、発電所の「発電力」にもふれる。そこでは仕事率そのものよりもその「容量」[=上限] が話題になることにもふれている。この意味での「容量」については、つぎの流量の節でもうすこし具体的な話があるが、社会への応用の文脈の知識がないとむずかしいと思う。】

流量。ある断面を、時間あたりに通過する 体積、質量、(意味を拡張して) 電気量(電荷)、人数などをさす。

第4章は「比例関数」について。
【二つの量のあいだの比例関係を、一方の量から他方の量を得る「関数」としてとらえるのは、微分・積分につなぐうえでは、うまいと思う。しかし、著者は比例の本質は正比例関数だと思いこんだようで、それを根拠として、初等教育で、比例を「倍比例」 (一方の量がr倍になるに応じて他方の量もr倍になるという考え) によって説明するのはまちがいで、「帰一法」 (まず、一方の量の1あたりの他方の量をもとめる) で導入するべきだという (第4章第2節)。著者の柔軟な考察だったはずのものがドグマになってしまったと思う。】

著者のいう「正比例関数」fは、外延量を外延量に変換する関数で、加法性をもつ [ f(x+x’) = f(x) + f(x’) ] ものだ。加法性がなりたつと、工学でいう「重畳原理」(principles of superposition) がつかえる。正比例関数は、 f(x) = a x [a は定数] と書くことができ、斉次1次関数だ。a = f(1) は「比例定数」だ。このばあい、f() という「はたらき」を a という「もの」 (内包量)でおきかえることができる。

ここで著者は、圏(category)論 の概念をつかって、量が対象となり、正比例関数が「型射」となる「量圏」という「圏」があると考える。そして「正比例は量の体系と切り離しては考えられない」という。【この文は、「量 の 体系」をすなおな意味でとらえればもっともだと思うが、著者が到達した圏論的な体系をさすとすると、ドグマになってしまったと思う。】

正比例関係があると、比例定数が、あたらしい内包量となる。ただし、著者は、このような内包量を、量の体系のうえでは、外延量どうしのわりざんで得られた内包量にくらべて、副次的なものとみている。

外延量が複数の量に依存してかわることがある。「パラメーターつき正比例」と「複比例」にわけているが、実際にあつかっているのは、どちらも、複数の量の積にさらに比例定数がかかった形になるばあいのようで、どうして区別したのかわからない。【実際には、基本的に一方の量によっていて、わずかに他の量にもよるという構造があるのだが、本書では、斉次でない1次関数をあつかっていないので、あつかえなかったのだと思う。】

反比例。これまで反比例は正比例と対にあつかわれることが多かったが、反比例は加法保存性をもっておらず、1次関数ではないので、別個にあつかわれるべきだとしている。【つぎの「n乗に比例」にふくめて「-1乗に比例」でもよいはずだが、そういう議論はしていない。反比例の件では初等教育が念頭にあったからだろう。】

「n乘に比例」。2乗、3乗、4乗、0.5乗 (平方根)、-2乗などの例をあげている。

そして「一般比例」なるものに話をひろげているが、これは複数の量のそれぞれ累乗に比例することをさしている。そして、(物理科学でいう) 「次元解析」は、そのような状況で、それぞれの量の累乗の指数をもとめることである。

第5章は微分と積分。微分はふたつの量のわりざんをしてから極限をとる。わりざんをするところで「内包量化」がおきる。積分はふたつの量をかけてたす。かけざんをするところで「外延量化」がおきる。

この章、ベクトルについての第6章、ベクトル解析についての第7章と、いろいろな物理量についての応用の話題がつづくが、物理の教材と同様な話だと思う。著者は、社会への応用も論じようとする。マルクス主義者らしく、工業生産の要因としての労働そのほかを論じようとするところもある。しかし、そこでどんな量をとりあげるか、どんな数学的わくぐみをつかうかについて、まだ標準としてしめせるものがなく、物理との類推までになっているようだ。

なお、わたしが銀林さんの議論を確認する必要があると思った動機には、算数教育の場でのかけざんの順序にこだわる教員の問題もあるのだが、これについては本書はてがかりにならなかった。『数の科学』を読むまで議論を保留する。

折りかえしのあとに くわしい目次をつける。

== 目次 ==
もくじ
まえがき
第1章 量の一般論
– 1. 量と数学教育
– 2. 量と人間
– 3. 量とは何か? (序数的段階)
– 4. 量とは何か? (基数的段階)
– 5. 数学的証明
– 6. 量の分類
第2章 外延量
– 1. 一般論
– 2. 長さ
– 3. 重さ (質量)
– 4. 時間
– 5. 面積と体積
– 6. 角度
– 7. 量の次元
– 8. 分布量と位差量
第3章 内包量
– 1. 一般論
– 2. 密度 (分布密度)
– 3. 濃度 (含有密度)
– 4. 勾配
– 5. 速度
– 6. 流量
第4章 比例関数
– 1. 正比例の本質
– 2. 比例教育の問題点
– 3. 量のカテゴリ
– 4. 正比例による内包量の創出
– 5. パラメーターつき正比例
– 6. 複比例関数
– 7. 反比例
– 8. n乘に比例
第5章 微分と積分の意味
– 1. 内包量化としての微分と逆積分
– 2. 局所正比例
– 3. 外延量化としての定積分
第6章 多次元量と線型写像
– 1. 多次元量とベクトル
– 2. 多次元量の加法
– 3. 内積とベクトル積
– 4. 多・物体としての行列
– 5. 多次元の正比例と線型写像
第7章 終曲 — ベクトル解析
– 1. ベクトルの微分
– 2. スカラー場の勾配
– 3. ベクトル場の発散
– 4. ベクトル場の回転
– 5. 局所線型写像
さくいん