坪井 忠二 (1970) 力学物語

  • 坪井 忠二, 1970: 力学物語。岩波書店, 272 pp.

2020年7月、『数理のめがね』の文庫本が出た。わたしは、その1968年に出た単行本を持っているが、内容をおぼえていない。まだきちんと読んでいなかったようだ。同じ著者、同じ判形(B6判ペーパーバック、紙箱入り)の『力学物語』のほうはおぼえている。こちらのほうが、文庫本で再版する意義があると思う。

本書は、『科学朝日』に1968年5月号から18回連載されたものをもとにしている。中学レベルの数学を前提として書いている。単行本としては1970年に出版された。わたしが持っているのは、1980年代に古本で買ったものだ。

第6話については、ちかごろ思いだして読みかえし、別のブログに記事[2017-10-27 鉄1 kgと綿1 kg ではどちらが重いか]を書いた。その内容はここではくりかえさない。わたしの持っている古本は、いくつか書きこみがあるが、とくに「第6話」に青インクでまるがついている。わたしだけでなく、まえの持ち主も、ここを重視していたらしい。

著者は東京大学の地球物理(地球内部物理)の教授だった。わたしが地球物理に進学したときにはすでに退職されていたので、わたしはあったことがない。寺田寅彦の教えを受けた人で、中谷宇吉郎とは同世代にあたる。宇田 道隆 編著 (1975) 『科学者 寺田寅彦[読書メモ]が間接的につたえるところによれば、坪井が寺田から学んだのは、正統的な古典物理学だそうだ。本書は、随筆的なところもあるが、どちらかというと古典力学の副教材だ。高校物理の力学の部をひととおりならったが、まだ式と式の関係がよくつかめていないぐらいの人が、たのしみながら読んで、力学の理解をふかめることができると思う。高校でならわない題材もあるが、ならっていることと関連づけられるだろう。

ただし、雑誌連載1968-69年、単行本1970年の時代には当然だったのだろうが、数量の単位が、cm、g、秒を基本とした「cgs系」だ。いま世に出すならば、m, kg, 秒の「MKS系」に書きなおす必要があるだろう。わたしは、どこを書きなおすべきか しるしをつけることはできるが、ただしい数値を入れることをじゅうぶん注意深くできるか、自信がない。高校の物理を教えている人に添削してもらったほうがよいと思う。なお、第13話に「馬力」がちょっと出てくるが、ジュール毎秒(cgsのエルグ毎秒ではない)に換算されているので、ここはよい。(かっこ書きがわかりにくいので、脚注にしたほうがよいと思うが)。

また、用語の検討も必要かもしれない。「目方(めかた)」は、坪井先生にとっては日常語だったらしいが、わたしの日常語ではないし、読者の日常語でないことが多いと思う。時代のちがいが大きいだろう。わたしは、坪井先生の口調をつたえることよりも力学の副教材としてやくだつことを優先させるならば、「重さ」と書きかえたほうがよいと思う。しかし物理量の名まえとしては「質量」とするべきところがあるので、すぐにはきめられない。

第1話 サルも木から落ちる –自由落下–
一定の重力加速度のもとでの直線運動と放物線運動。サルが自由落下するとする。サルをめがけてうたれたタマ(=弾丸)はサルにあたるか、という話。ただし、ここで「サルをめがけて」は、銃を出るところでの速度が、その時点でのサルの位置に向かっているということなのだ。実際にサルをめがけて銃でうつばあいは、地球の重力によってタマが落下するぶんは補正してねらうだろう。ここでは、その「実際」にふみこまないことによって、理想的な力学の物語にしている。

第2話 リンゴから月まで –万有引力–
万有引力のもとでの円運動。リンゴだけでなく「月も地球に向かって落ちている」というたちばにたつ。人工衛星、とくに静止衛星の軌道の大きさや速さも計算してみる。それから、「月ロケット」(=月までいく人工飛翔体)がどのような引力をうけてどのような速さをもつかの話になる。そして(地球からの)「脱出速度」の話になる。(報道の「引力圏を脱出した」という表現はまずいとも言っている。)

第3話 モノは真下に落ちない –地球の自転–
自転している地球の上で、ものを落としたら、まっすぐ下に落ちるか。地球の自転のぶんだけずれる。これを、「遠心力」ということばをつかって説明する。(空気のはたらきは無視している。)重力と遠心力がつりあって、地球に対してとまっている状態が、第2話でいう静止衛星にあたる。【ここでは、まだ、地球とともに自転している座標系で考えた力と、自転していない座標系で考えた力のちがいを、明示していない。】

第4話 まわる野球場 –コリオリの力–
ここはまさに、コリオリの力[ちから]、自転している地球のうえで動くものに対するみかけの力の説明だ。それを、回転する円盤にのった野球場で投げられた野球のタマ(=ボール)の運動というたとえばなしで説明している。(気象学の本でも同様な説明を見かけるが、坪井先生に由来するものかは知らない。)

第5話 もしエレベーターの ‘つな’ が切れたなら –力と座標系–
ここで、座標系がおもてに出てきて、遠心力もそれとのつながりで説明しなおされる。座標系が加速度をもって動いているのか、重力がはたらいているのかは、区別がつかない、という「相対性理論」の話になる。

第6話 鉄1貫目と綿1貫目 –浮力–
これについては、上にふれた別ブログの記事を見てほしい。

第7話 だるまおとし –慣性–
だるまおとしで、うまくやるとだるまがまっすぐ落ちることには、つぎの二つがからんでいる。

  • 止まっているモノを動きださせる問題 … 「慣性」
  • 摩擦の問題

「目方の大きいモノでも、ゆっくりならば、小さい力で動き出させることができる。」エレベーター、はねつるべ などの例をあげて、速さをおそくしてよいのならば、小さい力で重いものを動かすことができる、という。
そして、だるまおとしにきいてくる要因を、つぎのようにまとめる。

  • 慣性の問題: 同じ力でひっぱると、軽いもののほうが速くなりかたがはやい。
  • 摩擦の問題: くわえる力が摩擦に勝つまではモノは動きださない。

第8話 時計は朝からカッチンカッチン –等時性–
力が、つりあいの位置からの距離に比例する(ただし比例定数は負)ときにおこる振動現象について。そのときの運動エネルギーと位置のエネルギーの合計が一定であること(ただし、ここで位置のエネルギーは重力に対するものにかぎっていない)。重力とバネの力とで振動する ばねふりこ を考えたあと、「ブランコ型の振り子」として、ふつう「振り子」と言っているものの話にうつる。周期は振り子の長さと重力だけできまり、おもりの目方がはいってこない。そのまえのところで、「周期は振れ幅に関係なく一定だ」と言ってしまっている。実際には、これは、振れの角度をθとすれば、sin θ ~ θ という近似のもとでなりたつので、θ がちいさくないといけないのだが、この章ではそれをのべていない。つぎの第9話のなかでのべられている。
話は「やじろべえ」にむかう。剛体の形をたもちながら重力のもとで振動する物体である。

第9話 七ころび八起き –サイクロイド曲線–
「おきあがりこぼうし」の振動は、ふりこの一種ともみられるが、周期が振れ幅によって変化する。
理想化して、円形の輪がころがるとし、輪の一方の端におもりがついているとして、おもりの軌跡を考える。
話は力学をちょっとはなれて、ころがるものの軌跡の曲線の話になる。

第10話 出るクイは打たれる –弦振動–
表題は、(つりあいの位置からの)変位[=ずれた距離]に比例して、(つりあいの位置に)もどすような力が働く状況をさしている。とくに、両端の壁の間に糸を張って、そのまんなかにタマ[=質量をもつもの]がついているばあいを考える。振動の周期は、張力、タマの目方、糸の長さによって、どうきまるか。位置のエネルギーと運動エネルギーの合計が一定というところから考える。ただし、ここでいう位置のエネルギーは、張力に対するものである。(張力が、(タマとは別の)おもりにかかる重力によってつくられる、ともしているが。) ここから、楽器で高い音を出すには、短い弦または細い弦をつかう、
あるいは糸をおさえる、という話につなげている。

第11話 じゅずつなぎ –基準振動–
これは、力学の教材で「連成ふりこ」とよばれているものの話。タマ(=おもり)が複数ついた弦の振動は、複数の振動モードの重ねあわせとみられる。ただし「モード」ではなく「振動形式」という用語をつかっている。

第12話 チリもつもれば –共鳴–
まず、小さい力の例を考える。たとえば、人と人とのあいだの引力(重力)。
ふりこの振動を大きくするには、小さい力をすこしずつくわえてもよいが、ふりこがどの位置にきたときに力をくわえるかが重要だ。
サイクロトロンも、回転する粒子が一定の位置にきたときに電圧をかけることによって、粒子を加速している。

第13話 ‘のれん’ に腕押し –運動量の保存–
(自動車を想定して)衝突の前後で速度はどうなるか。1次元で考えている。【1970年ごろはいまよりも交通事故が社会問題として深刻だった。】「追突型」「はねかえり型」「くいこみ型」といっているが、ここに出てこない用語でいえば「弾性衝突」と「非弾性衝突」を考える。そして、「運動量の総和は変化しない」という「運動量不変の法則」に持っていく。

第14話 前・途中宙返り1回半 –角運動量の保存–
飛びこみ競技の人の動きを例として、二つのおもりが棒でつながっている物体で近似する。そして、回転の運動方程式「ねじり = 慣性能率 × 角加速度」にもっていく。そして、「角運動量」( = 慣性能率 × 角速度 ) が一定である、という法則をのべる。角運動量がかわらなくても、エネルギーがかわることがある。エネルギーがふえるためには、仕事をあたえないといけない。
とびこみの選手は「遠心力に対して仕事をしているのである」としている。(遠心力は回転する座標系でみたときのみかけの力だから、回転しない座標系でみると別の説明が必要なはずだが、それは書いてない。)

第15話 ブランコをこぐ –パラメーター振動–
ブランコのふれる振幅を大きくしていくために「こぐ」人は何をしているのか。第8話でやったふりこを少し修正する。右側と左側で、おもりがいちばん上に来たときの高さはかわらないが、糸の長さがすこしちがい、振れの角がすこしちがうとする。おもりが真下にきたとき、糸をすこしちぢめる。おもりは重力にさからってひきあげられる。これによって、ブランコのエネルギーがふえる。おもりが端にきたとき、糸をすこしのばす。これによって、ブランコのエネルギーが減る。これのさしひきでよいかと思うと、そうでない。本文によれば、ブランコをこぐ人は、「遠心力に抗して、半径を短くするために、仕事をしている」のだという。【わたしはまだここの理屈を理解できていない。できれば「遠心力」をもちださないで表現したいのだが。】

第16話 オミコシわっしょい –ブラウン運動–
それぞれが右向きか左向きかのどちらかでありうる「矢」が、多数あつまったとき、合計の動きはどうなるか。いろいろな値をとる「場合の数」を計算することができる。「矢」の数がふえると場合の数がどうかわるかという議論で、差のまた差(専門用語をもちだせば「二階差分」)が「ものをいっている」という。【ここの議論は本文を読んだだけではよくわからない。数値を操作してみる体験が必要だと思う。】「小さな力が不規則に方々[ほうぼう]からあたる場合」として、ブラウン運動につなげている。

第17話 急がばまわれ –屈折–
「最短時間の道」の問題。たとえば、陸上を走ったほうが水中を泳ぐより速いばあいに、陸上の1点から水上の1点までいちばん早くつく経路はどうなるか。光や地震波の屈折は、最短時間の道で説明できる。(「最後に」として地球の中の地震波の経路の図をしめしているが、もうすこし説明がないとよくわからないと思う。)

第18話 プラス・マイナス・ゼロ –保存量–
まくらには、おかねのやりとりの話をつかっている。おかねと商品をあわせた価値の総量を(物理用語でいう)「保存量」とみなしているのだ。
「目方」は保存量だが、体積は保存量ではない。運動量は、外から力がはたらいていないときに保存する。力がはたらけば、運動量が変化する。(力とは運動量の1秒あたりの変化だといってもよい。) 位置のエネルギーと運動のエネルギーの合計は、(この本で考えた話題では)保存量である。熱や電気を考えると、エネルギーのうちわけをふやさなければならないが、「力学物語」でなくなってしまう。

折りかえしのあとに くわしい目次をつける。

== 目次 ==
まえがき
[目次]
第1話 サルも木から落ちる –自由落下–
– サルと猟師
– タマの道すじ
– タマは落ちる
– タマの落ちる距離
– タマの高さ
– サルの高さ
– タマは必ずあたる
– タマの速さ
– 弾道の形
– サルの安全圏
– 射程の限界
– 真下からねらわれたら
第2話 リンゴから月まで –万有引力–
– リンゴと月
– 月は地球へ落ちている
– 打ち上げ花火
– 人工衛星
– 静止衛星
– 月ロケット
– 宇宙ロケット
– 脱出速度
第3話 モノは真下に落ちない –地球の自転–
– 塔からモノを落とせば
– 地球の自転
– 塔のてっぺん
– 高い高い塔
– 足もとを切る
第4話 まわる野球場 –コリオリの力–
– 円盤の野球場
– 直球はそれる
– 後楽園も甲子園も回っている
– 球場の回転中心は
– 風もそれる
– タマをそらす力
– コリオリの力
第5話 もしエレベーターの ‘つな’ が切れたなら –力と座標系–
– つなが切れたら
– ビックリ・ハウス
– 遠心力のはたらき
– 遠心分離器の場合
– 再びエレベーターについて
– 光が曲がる
第6話 鉄1貫目と綿1貫目 –浮力–
– ナゾ
– 浮力
– 浮力は形に関係しない
– 空気中の鉄1貫目と綿1貫目
– はかりとは
– 浮く、沈む
– 浮沈子
– 浮かぶということ
– うきばかり・比重計
– 浮力による永久運動
第7話 だるまおとし –慣性–
– たたいてみよう
– 小さな力で大きなモノを動かす
– エレベーターの力学
– ハネツルベの力学
– 二つのモノに同じ力を加える
第8話 時計は朝からカッチンカッチン –等時性–
– 振り子
– 振り子の周期
– いろいろの振り子
– ブランコ型の振り子
– 2本の振り子
– やじろべえ
第9話 七ころび八起き –サイクロイド曲線–
– 面壁9年
– マッチ箱、コトコトからチョコチョコへ
– ダルマの骸骨
– はずむおもり
– ふつうの振り子
– 天井をころがる
第10話 出るクイは打たれる –弦振動–
– ‘クイ’ のいろいろ
– 糸とタマ
– 周期の式
第11話 じゅずつなぎ –基準振動–
– 数珠
– タマが二つのじゅず
– 振り子とじゅず
– 周期の幾何学
– タマが三つのじゅず
– 縦のじゅず
– タマの目方がちがったら
– 美人とゴリラ
第12話 チリもつもれば –共鳴–
– ことわざ
– 毛利元就と楠正成
– チリのような小さな力も
– 人と人の引力
– 人と地球の引力
– 電気の引力
– 振り子の共鳴
– サイクロトロンの場合
第13話 ‘のれん’ に腕押し –運動量の保存–
– ことわざ
– 手ごたえのある衝突
– 銅貨使って衝突実験
– 追突型
– はねかえり型とくいこみ型
– 自動車から見れば
– くいこみ型
– 二重衝突
– トロッコに飛び乗り
– ‘のれんに腕押し’ の結末は
第14話 前・途中宙返り1回半 –角運動量の保存–
– 飛び込み
– 重心が描く曲線
– 回転の力学
– 半径方向の力
– 回転のエネルギー
– 遠心力のはたらき
– 選手の仕事
第15話 ブランコをこぐ –パラメーター振動–
– ブランコのいろいろ
– こぐときの重心の動きかた
– ブランコと遠心力
– まわるブランコ
– タマころがし
第16話 オミコシわっしょい –ブラウン運動–
– オミコシ
– 二つの差のそのまた差
– オミコシと ‘ブラウン運動’
– ‘酔歩蹣跚'[すいほまんさん]もオミコシ的
第17話 急がばまわれ –屈折–
– 海岸で
– 最短時間の道
第18話 プラス・マイナス・ゼロ –保存量–
– 菓子屋のパズル
– 保存量のいろいろ
– 運動量の保存
– 落体の運動での保存量
– ホームラン
– 運動量とエネルギー

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