遠山 啓 (1963) 新数学勉強法

  • 遠山 啓 [ひらく], 1963: 新数学勉強法 — 時代が数学を要求している (ブルーバックス B-7)。講談社, 225 pp. ISBN 4-06-117607-2 [1997年 56刷]。

高校の数学の学習指導要領から「行列(matrix)」がはずれ、「ベクトル」のあつかいも軽くなったので、大学で、工学や物理系だけでなくデータサイエンスでも必要な「線形代数」をごく初歩からおしえなければならなくなった、ということが話題になっていた。学校でおそわらなくても、世のなかに入門書がでまわっていればよいという意見もあった。

わたしは、高校に1973年に入学し、高校2年で(2×2の)行列をならった(かわりに複素平面の演算がなくなった)最初の学年だ。わたしが「行列」の操作ができるようになったのは高校の授業でならってからだが、そのおおまかな概念はだいぶまえから知っていた。中学に入学した1970年ごろに読んだ本があったのだ。

その本の題名はおぼえていた。新書本で、岩波新書ではなかったので、たぶんブルーバックスだと思った(ほかの可能性としては、光文社の「カッパブックス」があった)。著者名はおぼえていなかったが、検索してみると、遠山さんだった。『無限と連続』(岩波新書, 1952年)や『数学入門 上・下』(岩波新書, 1959年)の著者としてはおぼえていたのだが、同じ人の著書だと思わなかった。

2019年8月、この本のことを紹介しようと思ったが、家にあったはずの実物が見あたらない。大学の図書館をいくつかみたら、ブルーバックスをそろえているところにあった。そこにあるうち、ブルーバックスの番号がいちばん小さい、つまり初版年がいちばん早い本だった。ただし印刷は1997年だった。その大学の図書館がブルーバックスをそろえようとしたのがそのころだったらしい。

なかみをみると、ページ数で4分の1ぐらいが総論的な第1部で、のこりが各論的な第2部だ。第2部は3つの章にわかれていて、それぞれの主題は、記号論理学、線形代数(ただし本書の文字づかいは「線型」)、微分積分だ。微分積分はすでに学校でおしえている主題だから、本書の題名の「新」は「数学」ではなく「勉強法」にかかるのだろう。しかし記号論理は学校の数学ではまだおしえていなかったし、線形代数のベクトルはおしえたが行列はおしえていなかったので、多くの読者にとって新しいものだっただろう。

総論の部分は、おおすじではいまのわたしも賛同することが多いのだが、個別にみると、いかにも1960年代の時代の産物と思われることがらもあるし、遠山さんの持論の主張がつよく出たところもある。いまの数学入門者には、この部分は軽く読みながすことをすすめたい。各論のほうは、いまの入門書としても、よいと思う。ただし、いろいろな概念を例示で説明していて、しっかりした定義をのべていないところが多い。実際に勉強するには教科書的な本にすすむ必要があるだろう。(本書の巻末にも読書案内がある。ただし1963年の時点のものだ。)

記号論理の章。
ここであつかう論理は、「真」か「偽」かの値をもつ「命題」の論理だ。

ただし、その準備として「集合論」が出てきて、むしろそちらのほうにページ数をさいている。【この「集合論」ということばは、数学あるいは哲学の専門的なものと感じられるので、のちに学校教育むけには「集合の考えかた」といった表現を使うようになった、と記憶しているが、本書の時点ではこう書かれている。】

話題になっている概念は、集合と要素の関係、「要素である」あるいは「属する」こと。集合と集合の関係、「部分集合である」こと。「共通集合」、「合併集合」、「補集合」などだ。円に近い形の閉じた曲線をくみあわせて曲線でかこまれた領域のかさなりを論じる模式図をつかっている。【これは、1970年代に「ベン図」といわれたが、Vennが使った図はもっと限定された特徴をもったものだという話があって、その用語はつかわれなくなった。本書では図の種類の名まえはつけられていない。】

そして、命題の論理になる。命題の演算について、演算前後の命題の真理値の対応をしめす表をつかっている。【別の本で、これは「真理表」とよばれているが、日本語では「真偽表」のほうがよいだろう、という議論を読んだおぼえがあるが、本書では表の種類の名まえはつけられていない。】

おもな演算は「選言 ∧」と「連言 ∨」だ。話題をすなおにおいかけると、「選言」と「合併集合」、「連言」と「共通集合」とがそれぞれ対応するようだ。しかし本文を読むと、「選言」と「共通集合」、「連言」と「合併集合」の対応でもよいのだと言っている。(中学生のときわたしはその部分を読みとばしていた。)

実例として、自動販売機の操作と結果、鉄道旅行の経路、on/offのスイッチ回路があげられている。また2進法との対応も示されている (A∨B の値は A+B – A×B にあたると説明されている)。

ここで話がとんで「樹形」の話になる。樹形図は、集合のところで、集合が要素を含むかどうかの条件をかぞえつくすために出てきている。住所の階層的分類や、将棋の手をよむ話がある。樹型の枝をかぞえることから、順列・組み合わせの概念が導入される。

線形代数の章。
ベクトルには、空間のなかの方向をもった矢線、という意味もあるが、ここでは、数の組をさす。(要素のならべかたはタテとヨコのどちらでもよく、ばあいによって使いわけている。)

行列 (matrix)は、数がタテ・ヨコにならんだ構造で、ヨコのならびを「行 (row)」、タテのならびを「列 (column)」という。(「飛行船」も「船」であるというような) 意味の拡張で、ベクトルは1行または1列の行列、数は1行1列の行列であると考えてよい。

行列の計算。「等しい」「たし算」「ひき算」は要素ごとに考えてよい。たし算には 交換法則と結合法則がなりたつ。行列のかけ算には、要素を「かけてたす」演算がでてくる。(ベクトルについてこれをやるのが、内積だ。) かけ算がなりたつのには、行・列の個数についての条件がある。行列のかけ算では、交換法則はなりたたない。結合法則、分配法則はなりたつ。

座標。平面上の位置をベクトルであらわす。2つのベクトルから、それを2辺とする平行四辺形の面積(正・負の符号がつく)を計算することができる。ここで「交代数」ということばが出てくるが、じゅうぶん説明されていないと思う。

連立1次方程式を、行列の演算としてとく。2元のばあいは交代数をつかう形でしめされている。3元、4元のばあいは、解を行列式どうしのわりざんで表現している。【この行列式による表現は、線形代数の理論では重要らしいが、連立1次方程式の数値計算方法としては実用的でないことを、わたしは大学上級で数値計算方法の教育を受けて知った。】

そして「逆行列」が導入される。

線型代数でとける応用問題として、肥料の話がある。N, P, Kをちがったわりあいでふくむ肥料をくみあわせて、必要な量の N, P, Kを供給するには、各肥料をどれだけあたえればよいか、というものだ。これは連立1次方程式になる。

連立1次方程式は、逆行列を計算しておけば、行列のかけ算でとける。係数が同じで定数項だけがちがう連立1次方程式がつづいて出てくる状況ではこの考えかたが便利だ。【実際の数値計算では、逆行列よりも「消去法」の中間結果をくりかえし使うほうが演算回数が節約になるのですすめられるのだが。】

微分・積分の章。
章の大部分は、関数の概念と、その代表例としての指数関数・三角関数にあてられていて、微分と積分の説明はかけ足だ。

機械が材料を受け取って製品をつくるように、入力を受け取って出力を出す操作を、functionという。この function の一般的な訳語としては「機能」がよいだろう。

数学用語としては、中国人が「函数」と訳した。意味と音を両方ともにつたえようとしたものだという。そのころ想定された入力と出力は「数」であった。現在では、functionの入力と出力は、命題、集合、function などでもよい。「関数」となったのは、漢字制限の趣旨からだが、「関係して定まる」数という意味もふくませた。「函」は【本書とは別の情報源によれば、「はこ」ではなく「ふくむ」のような意味でつかわれたらしいが】執着するねうちのある字でもないだろう。

そして、関数の例として、まず、多項式(という用語はつかっていないが)で表現できる例をあげる。入力が投げ上げた以後の時間、出力が投げ上げた物体の高さだ。そして、それをグラフ表示する。放物線になる。

グラフは関数を目で見る手段だが、関係をひっくりかえして、図形の性質を研究するのに関数を利用することもある。(デカルトの)解析幾何学だ。

三角関数は、直角三角形ではなく、円運動から導入する。ここで角度を、度単位のものをθ、ラジアン単位のものを[ラジアンという単位はもちださず] αとかいている。それからαをxにかえてしまって cos x, sin x をしめしている。

指数関数の話は、経済成長率や複利の話題からはじめている。xが整数のときに「2のx乗」を支配している法則が、xが分数や小数になってもそのまま成り立つようにしよう、ということで、2xという[実数の]関数が考えられる。さらに一般の axに拡張される。

数値のかけ算は、指数のたし算でおきかえることができる。計算尺はその応用だ。そこでは10xがつかわれている。10xの値を入力、xの値を出力とするのが(常用)対数だ。

微分の概念は、次のような事例をつかって説明されている。

  • 人口密度、紙の上の絵の具の濃さ … (絵の具の量) / (面積)。 面積を細分していく。
  • ノミと人間の「とぶ距離/身長」、アリと人間の「持ち上げる重量/体重」の比較。
  • 物体を落としたときの位置と時間の関係。平均の速度と、瞬間における速度。瞬間の速度にすれば、時間区間の幅 h は出てこなくなり、結果の表現が簡単になる。

積分については、まず体積をとりあげる。デモクリトスが、円錐の体積を、輪切りにして集めるという考えかたで求めたという。ここでは、円錐を、薄い円柱の集まりで近似する。円錐の薄切りは両側で円の大きさがちがうが、その小さいほう、大きいほう、それぞれで考える。分割を細かくしていくと、どちらも同じ数値にちかづく。

別の方法として、微分の逆演算[不定積分という]をしておき、得られた関数に数値を入れることでも、体積の数値がえられる。

次に、グラフの曲線の下の面積をもとめる話。区間を分割し、小部分を長方形で近似して、集計する。ここで、定積分が出てくる。(ちょっと残念なことに、定積分と不定積分との関係は、明確にのべられていない。)

さて、第1部にもどる。わたしの気にかかったことだけを列挙する。

本の副題になっている 「社会が数学を要求している」というのは、大学の数学科の教員として、ちかごろ数学科卒業生の求人が多い、という状況を実感していたらしい。保険会社のアクチュアリーという数学の専門家は昔からいたが、たとえば裁判官も数学を必要とすることがある、という話もある。Operations researchへの期待がのべられているところは、いかにも1960年代だと思う。

アメリカ合衆国の教育では、1957年にソ連が人工衛星Sputnikをあげるまで、算数・数学のあつかいが軽かった。著者はそれはデューイの影響だという(ほんとうだろうか?)。 日本も、第2次大戦後、アメリカのやりかたがはいった。Sputnikの後、「数学教育の現代化」が推進された。

著者は日本で「数学教育の現代化」を推進していた。小学校の算数については「水道方式」をとなえた。「水道方式」ということばとそれで使われる「タイル」という道具は、第1部第2節に(「分析と総合」につづいて)ちょっと出てくる。著者が水道方式の本でしていた主張は第2節(一般性重視)と第3節(当時の数学教育の批判)に出てくる。【わたしは中学生のときこの部分が印象にのこらなかった。水道方式の本(たぶん『算数に強くなる』 国土社, 1961年) を、子どもとしてわかるところだけ拾い読みしていたので、すでに知っている主張だったからだと思う。】

一般性重視の論点の例として、二次方程式のときかたをあげている。千年ほどまえのアルクワリズミは二次方程式を6つに分類してそれぞれときかたを考えたが、いまでは(係数がゼロや負であるという考えかたをするので) 1つの公式でよい。

そして著者は(当時の)数学教育の重点のおきかたを批判する。(現状についてわたしはあまりよく知らないが、上の3つは変わったが、因数分解重視は変わっていないだろうと思う。)

  • 暗算偏重
  • ツルカメ算など … 代数の方程式をたてればすなおにとける。
  • 初等幾何の難問 … 直線や円ばかり。実用性をめざすなら放物線などをやるべき。
  • 因数分解 … 特殊な場合にしかできない。できる場合は解の公式の応用でよい。

折りかえしのあとに くわしい目次をつける。

== 目次 ==
はしがき
目次
I. 数学はこわくない 9
1. 社会が数学を要求している 10
– 今までの常識はくつがえされた
– 数に弱い人の働く場所はますます狭くなる
– オペレーションズ・リサーチの登場
– 資本主義の国も社会主義の国も
– 社会生活の集団化と数学
– 世界のすべての文明国で
2. 数学とはどんな学問か 21
– 数学は特別な言語である
– 一般性
– 記号化
– 分析と綜合
– はじめはやさしい
– 特殊と一般
– 一般化の威力
– 筆算の威力
3. 数学恐怖症の原因と療法 40
– 数学を嫌いにさせる数学教育
– 実力本位の学問
– 暗算偏重
– 難しい応用問題
– 頭脳の鍛錬主義
– 初等幾何の難問
– 因数分解
– 入学試験が数学をゆがめた
– 受験数学
II. 新しい数学 三つの柱 67
1. 論理の数学 — 記号論理 68
– 集合論
– 集合と要素
– 部分集合
– ∩と∪の法則
– 補集合
– 命題の論理
– 「すべてとある」
– 集合の論理と命題の論理
– 真理値
– 身のまわりにある論理
– スイッチ回路
– 論理の計算と数の計算
– 樹型
– 順列
– 組合わせ
2. ベクトルと行列 — 線型代数 120
– 「線型」の三つの利点
– ベクトル
– 行列
– 行列の計算
– 行列のたし算とひき算
– 行列のかけ算
– 内積
– かけ算の実例
– かけ算の法則
– 座標
– 面積
– 交代数
– 連立1次方程式の解法
– 3元連立方程式
– 逆行列
– 線型代数で解ける問題の例
3. 微分 積分 179
– 道具
– 数の関数
– 自然法則の表示
– 関数のグラフ表示
– 三角関数
– 指数関数と対数関数
– 微かに分る, 分った積りになる
– 無限分割
– 微分
– 積分
参考書 224[-225]

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