(このページは、授業の教材の補足として書きはじめたので、前置きが長い。)
別のところ(増田, 2000)にも書いたが、現代社会に生きていくには、 とりわけ、その政策決定に参加していくには、 数量判断能力(およびシステム的認識能力)をもつことが重要だと思う。
数学を苦手と感じる人も多いと思うが、 幸い数学に関してはとても多くの入門書や読みものが出ているので、 みなさんそれぞれに興味がわく入口を見つけることができると思う。 ただしわたしの観点から見て残念なのは、 そういう本の多くは、 (数学を専門とする人が書いたものが多いからだと思うが) まさに数に関するものであり、 量に関するものではないことだ。
単なる数でない量を扱うことはいろいろな職業で必要なのにもかかわらず、 「量学」というような教科はできておらず、 入門書もなかなか見あたらない。 目的をわたしの授業の内容を理解してもらうことにしぼれば、 量一般というよりは、 とくに物理に出てくる量(たとえば圧力とか、エネルギーとか)を 扱えるようになってもらいたいと思うので、 勧められる本は、物理を背景としたものがおもになる。
たとえば、杉本(2003, 2009)の本(初版は放送大学テキスト)がある。 (杉本先生は、 宇宙や星に関する、高校の科目で言えば地学に属する内容を専門としているが、 知識体系の背景に注目した意味では物理学者だと言ってよいだろう。) この本のうちには、常識さえあれば理解できそうな部分もあり、 その部分はみなさんにおすすめしたいのだが、 数学や物理に慣れていることを前提としていると思われる部分もある。 (高校の数学・物理を選択したくらいの予備知識があればついていけると思うし、 並行して勉強するのもよいと思うが。)
物理にまだ慣れていない人には、 (これだけで物理がわかるわけではないが、物理量の感覚をつかむために) この「単位がわかると物理がわかる」をおすすめしたい。
厳密ではない、雑な言いかたなのだが、 「量」が「数」と違うところは、「単位がついている」、というよりもむしろ、 「単位をつけておかないとまちがえることがある」というところにあると言える。 単位のついた量を扱ううえで注意することは、大きく2種類に分けられるだろう。
実際に数値を入れて計算するためには単位の換算も大事だが、 それぞれの数値がどういう次元のものかを理解することはもっと大事だ。 しかし、「次元」の概念を 運動方程式などの物理学的概念より先に説明するのはむずかしい。 どの量がどういう次元をもつかは、基本的な物理法則によって決まるからだ。 幸か不幸か(早く慣れるという意味では「幸」、 単位と次元の区別を理解するうえでは「不幸」だが)、 現代の物理やそれを応用する分野の多くでは、 物理量の単位を少数の基本的な次元の単位のかけ算・割り算で組み立てるのが ふつうである。 そのうちでも、国際単位系(SI)と呼ばれるものがよく使われている。 SIに従っている限り、次元と標準的な単位とはほとんど一対一に対応する。
たぶんそういうわけで、本書は、次元ということばをおもてに出さずに、 SIの単位の構成を説明することによって (うしろのほうではそれとは別の自然単位系という考えかたの紹介もあるが)、 実質的に次元の概念に慣れてもらおうという構成になっている。
本の約半分は物理学の分野で言えば力学に関するもので、 基本となる次元は長さ、質量、時間であり、 それから構成される量には速度、加速度、力、圧力、仕事、エネルギーなどがある。
続いて熱力学の話題があり、基本となる次元に温度が追加される。
基本次元「物質量」(「質量」とは別)は、 旧版では、熱力学の分子運動による解釈に続いて出てきたが、 新版では、質量に続いて説明されている。 旧版では「物質量」自体は説明されず、その単位「モル」がおもてに出ていた。 新版では「物質量」というキーワードは出てくるものの、その直接の定義はなく、 モルの定義が出てくる。 そして、分子などの「個数」を、人が扱うのに適したスケールにする便宜上、 アヴォガドロ定数(約6×1023、旧版では「アヴォガドロ数」という表現だった)個を 1モルとして扱っている、という趣旨の説明がされている。
それから電磁気学の話題となり、基本となる次元に電流が追加される。 物理学者の書いた本で単位の話となれば、 電磁気に複数の単位系があり その間では単位だけでなく次元の考え方も違うことを論じるのが むしろふつうなのだが、 本書では(新版では考え方の違いの簡単な説明はあるが)その問題に深入りしていない。 初歩段階では国際単位系さえ理解しておけばよく、 それ以外の単位が必要ならば、電磁気学をひととおり勉強してから もう少し専門的な本に進めばよいという判断なのだろう。
2014年の新版では、 SI基本単位になっているカンデラを含む、人の視覚にかかる光に関する量の単位や、 人の聴覚にかかる音に関する量の単位の説明が加えられている。 また、付録として、放射線に関する量が加えられている。 旧版でも紹介されていた「自然単位系」と根は同じなのだが別のことがらとして、 SIのキログラムの定義がこれから自然定数に基づくものに変更されようとしていることの解説もある。 新版の詳しい目次は[読書メモ]のほうに示しておいた。
(ここからは、直接に本書にかかわる話題ではないが、 2006年にこの読書ノートを書きはじめたときに同時に考えていたこと。)
数量のかけ算・割り算をしていると、 うまいぐあいに単位が消えてしまうことがある。 (単位が1になるということであって、ゼロになるという意味ではない。) 得られた数量は、「単位のない数」、もう少し精密な用語では「無次元量」である。 問題を単位のない数だけを扱う(狭い意味の)数学に持ちこむ際に、 ひとつの方法は、単純に数量を単位で割って数値だけにすることであるが、 実はもうひとつ、数量が無次元量になるように問題を変形する、 という考えかたもよく使われる。
【わたしが大学1年のとき、杉本先生の地学の授業を受けた。 黒体放射の波長別放射輝度の式だったと思うが、 先生が黒板に式をかきながら、 「このexp(...) のかっこの中は、単なる数です。 単なる数でなければ指数関数はとれません。」 と言われたのを覚えている。 この「単なる数」(表現の記憶は確かでないが)は ここでいう「無次元量」のことである。 たとえば、「exp(10)」は意味のある計算だが、 「exp(10 m)」 [このmはメートル]は意味がない、 ということはなんとかわかった。 しかし、なぜわざわざそんなことを言ったのかはわからなかった。 無次元量に注目することの意義がわかってきたのは、 物理の専門の授業、とくに流体力学の授業を受けてからだった。】