Ian Roulstone & John Norbury (2013) Invisible in the Storm — The Role of Mathematics in Understanding Weather

  • Ian Roulstone & John Norbury, 2013: Invisible in the Storm — The Role of Mathematics in Understanding Weather. Princeton University Press, 325 pp. ISBN 978-0-691-15272-1 (hardcover)

2015年7月、プリンストン大学出版から出た別の本を注文するついでに新刊案内を見たらおもしろそうだったので注文した。8月に読んだ。

気象の科学、そのうちでも、大気循環についての数学的方法による理解と、数値天気予報という応用とが発達してきた歴史に関する読みもの。重点は気候ではなく、毎日の天気と、地球をめぐる風にある。そのうちでも、中・高緯度を念頭においていて、熱帯の気象は実質的に扱っていない(終わり近くで、これからの科学にとってのchallengeであるとは言っている)。

著者はいずれもイギリスの大学で数学あるいは応用数学を専門とする職についている。ともに、Large-Scale Atmosphere-Ocean Dynamicsという本の編者でもあり、気象学の研究に踏みこんでいるが、どちらかというと数学が本拠で気象はその応用対象という態度のようだ。

本書は科学史の専門書ではない。本文の科学史的記述のそれぞれについて根拠となる文献があげられているわけではない。巻末には文献リストがあるが、さらに勉強したい人のための参考書を示すものだ。ただし、著者が古典的と考えた原論文の書誌情報はある。

対象に近い分野の科学者による科学史読み物ではありがちなことだが、科学史家から見れば「Whig史観」あるいは「勝てば官軍史観」と見えるところがあるのではないかと思う。わたしが思いあたるところとしては、Poincaréの三体問題論をLorenzのカオス論に投影して見ているようなのだ。

科学的知識の内容については、科学史家のものよりも踏みこんでいる。高校程度の数学・物理を前提としている(ただし話題がわかればよく、自分で計算することは求めていない)。気象学の知識を前提としてはいない。ただし、海岸の波うちぎわを見たことがない人にはわかりにくいだろうところもある。かこみ記事は数式を含み、大学理工系基礎程度の数学・物理の知識を前提としている。その部分は説明が少ないので、さらに気象学の教科書を参照する必要があるかもしれない。

20世紀に気象学は数学化したが、それは同時に物理化でもあった。ここでいう物理には(Eulerが定式化した形の)Newton力学と、熱力学が含まれる。本書ではVilhelm Bjerknes (1862 – 1951)とCarl-Gustaf Rossby (1898 – 1957)の働きが重視されている。わたしは数値天気予報の発達をRichardsonを中心に見てきたのだが、本書のRichardsonの位置づけは、Bjerknesの研究プログラム【この表現はわたしがLakatosの用語を借りたものだが】のうちで一つの(prognosisのほうの)枝だけを追求して行き詰まった人のように見える。

本書の後半では、決定論的な考えによる数値天気予報の行き詰まりと、それを克服する動きが扱われている。名まえが出てくる主要人物はEdward N. Lorenz (1917 – 2008)で、その位置から過去をふりかえってHenri Poincaré (1854 – 1912)の仕事が話題になる。

本書では、還元主義あるいはbottom-up approachと、holismあるいはtop-down approachという概念の対比がたびたび使われている。著者がそれらの概念を首尾一貫して使っているかどうかはよくわからない。空間的なミクロとマクロの区別である限りは理解できる。流体の運動方程式は微分方程式なので、空間的微小部分に分けてそれぞれの変化を考えるのを還元主義的、地球大気全体の流れの特徴を考えるのがholisticだと言っている。

本書の順序では第2章だが、まずBjerknesよりも前の気象学について見ておく。

Galileo, Torricelliやその時代の人たちが、物理量による気象観測を始め、大気圧を認識した。イギリスのRoyal Society, フィレンツェのAccademia del Cimento, フランス科学アカデミーなどが、それぞれ気象観測を一定の標準で行なってデータの表をつくる活動をした。また、航海によって知識が集まってきた。Halley (1686年)は貿易風の図を作った。またその理論的説明を試みた。太陽がひっぱるという考えはまちがっていたが、対流、赤道と極の加熱差、などは今の考えと共通だ。Hadley (1735年)は地球の自転を考慮し、貿易風については今でも通用する説明をした。まだ数量ではなくことばによる記述だった。

微積分を使った定量的説明ができるためには、まずEuler (1757年)による流体力学の運動方程式の定式化が必要だった。また、19世紀の間に熱力学が発達した。気象に力学を適用するには、地球の自転の効果(Coriolisの力)を含める必要がある。アメリカのFerrel (1817 – 1891)は1850年代に、それの項を入れた大気の運動方程式を示し(ただしCoriolisの仕事を参照していない)、(その式を解いたわけではないが参考にして)大気大循環を論じた。

第1章では、物理に基づく気象の研究プログラムを打ち出すまでのV. Bjerknesの経歴をたどっている。

父Carlが物理学者で、エーテルという流体の運動に基づく電磁気学を研究していたので、Vilhelmはそれを手伝うところから物理にかかわり始めた。Hertzのもとで学び、渦に注目した研究をして、1892年に博士号をとった。

Stockholm大学の教員になった。同僚に、Arrhenius、気球やたこによる気象観測を企画したNils Ekholm、海洋観測をし漁業のための海流予測に関心をもっていたOtto Pettersson 【Osiris 26のBohnの論文[読書メモ]にも出てくる化学者。本書ではPetterssenとつづられているが本書のまちがいだろう】などがいた。Kelvinの循環定理(渦は不生不滅)に合わない条件を見つけ、Bjerknesの循環定理(論文1898年)として定式化した。圧力と密度が一意的に対応しないならば渦は生成しうるのだ。

19世紀後半にはイギリスなどで天気予報が始まったが、その根拠は不明確だった。物理法則に基づいて気象を予測するという考えについて、まず1901年にアメリカのAbbeの論文、続いて1904年にBjerknesの論文が出た。Bjerknesは必要な仕事をdiagnosisとprognosisに分けているが、diagnosisは観測に基づいてprognosisの初期値を得る仕事を含む。また時間空間を粗視化することを考えている。Abbeの紹介でアメリカのCarnegie InstitutionがBjerknesを知り、1906年、35年間の研究費を約束した。

Bjerknesは1913年にLeipzig大学の地球物理学の教授に就任した。その際の講演は、1914年にMonthly Weather Reviewにのった。そこでは、気象学を(天体力学のような) “exact science” にすることをめざし、現実の現象に間に合わないとしても、物理法則に基づく予測型計算ができることを目標とすると言っている。

第3章の初めの部分ではRichardsonの数値天気予報研究を紹介している。短いながらしっかり説明しているが、[Richardsonの本の読書ノート]と重なるところが多いので紹介は省略する。著者は、Richardsonの失敗はdeeper understanding in meteorologyが不足していたのだとする。【1970年代の用語で言えば、大気の運動をRossby波モードと重力波モードに分けてとらえる必要があったということなのだろう。】

第3章の残り大部分では、1917年にノルウェーのBergen大学に移ってからのBjerknesとその部下・弟子たちの仕事をたどる。

Bjerknesは気象の観測と予報の農業・航空・国防への意義を認識し、国に働きかけて、Bergen大学で実地の気象予報業務もすることにした。1924年にOsloにノルウェー政府の気象官庁ができてからもBergenの気象業務も存続した。

Bjerknesは循環定理を重視した。風の観測値から収束は精度よく計算できないが渦度はできたので、水平面あるいは等密度面上の運動を、渦度が流され、収束によって渦度が集まる、という考えかたでとらえようとした。

研究室には若手職員として、Bjerknesの息子のJacob、Solberg、Bergeronがいた。彼らが、前線を伴う温帯低気圧の概念モデルを構築した。また、「気団」という考えが発達した。気団の起源と経路を考えることは実地の予報に有用だった。

本書の著者はここまでを次のようにまとめる。Bjerknesが1904年の論文で提示したような物理の基礎方程式にもとづくbottom upのアプローチは、Richardsonが試みて行き詰まった。Bjerknesは、まず(渦度と収束に注目したsynpoticな観察で)現象の構造をとらえ、それを説明する理論を(渦度方程式に基づいて)構成するというtop downのアプローチで成功した。【bottom upとtop downについてはわたしはよくわからない。】

第4章は、気象の予測がむずかしい理由のひとつである「非線形性」について。これはBjerknesの1904年の論文でもすでに指摘されている。簡単に言えば、Eulerの運動方程式に、風速が風速で流される項があるからだ。【式を見れば、風速の空間微分に風速がかかっているのだが、本文では、風速に風速がかかるというような表現になっていて、読者に正のフィードバックの印象が極端な形で伝わってしまいそうだ。】

関連して、Interlude (間奏曲)というかこみ記事で、次のようなことを言っている。物理法則に基づくシミュレーションをしようとすると、現実にある因果関係によるフィードバックを表現すべきだが、その連鎖はきりがない【どこかで打ち切らないとシミュレーションが実行できない】。還元主義に加えてholismの洞察が必要だ。

第5章はおもにRossbyの業績をたどる。Rossbyはスウェーデン人で、Stockholm大学で数理物理、BergenとLeipzigでBjerknes流の気象学を学び、Stockholmにもどって気象庁で働きながらFredholmのもとで博士論文を出した。1925年から25年間アメリカ合衆国で働き、1928年からはMIT、1941年からはシカゴ大学で気象学の大学院教育の中心となった。組織者でもあったが、洞察の人でもあった。数学的・定量的であり、しかも単純な表現を求める仕事をした。

まず、Bergen学派の天気図解析に基づいて高気圧・低気圧の分布を見て、それらが出現しやすいところに作用中心(centers of action)というものを考えた。停滞する現象や、ゆっくり動く現象に注目し、それを理論的に説明することを考えた。

Rossbyは物理法則のうち保存則、とくに角運動量保存あるいはBjerknesの循環定理に注目した。(Richardsonと違って)問題を単純化した。摩擦、地形、熱源、水の凝結などを省略し、厚みの小さい、密度一定の流体層を考える。【鉛直方向には一様な水平2次元の運動を想定した場合の話のようだ。】 密度を一定としたので音波は現われない。コリオリ項の緯度による違いは含める。水平の運動方程式(運動量の式)を微分して気圧を消去し、渦度の保存の式にする。地球に固定した座標系で見るので、ふつうに渦度を定義すると地球に相対的な回転をあらわすことになるが、それに地球の自転のぶんを「惑星渦度」としてたした「絶対渦度」(本書の表現ではtotal vorticity)の保存を考える。

絶対渦度保存から、Rossbyの重要な仕事は2つに分かれる。ひとつは、一様に西風がふいている状態を基本として、それに微小な正弦波が加わったとした場合を考えた摂動論だ。その解となる波の構造がRossby波と呼ばれるようになった。

もうひとつは、温度や密度の変化を、渦管ののびちぢみとして表現し、絶対渦度の保存を拡張して、potential vorticityの保存を考えることだ。類似の理論は、BerlinのErtelとその理論を学んだKleinschmidtも考えていた。

第6章は第2次大戦直後から1950年代初めまでの理論気象学の発展と数値予報の始まり。ただし、数値予報モデルについては、準地衡風モデルのうち、1950年の論文で使われた1層モデルの話が中心で、その後の多層モデルについては概略だけ述べている。

この時代には気象学の革新・数学化が大きく進んだ。そのひとつは、基本場に微小振幅の波が加わったと考える摂動論だ。Rossby波のような正弦波(振幅は時間によって変わらない)のほかに、指数関数的に増幅する波を扱う不安定論、とくに温帯低気圧の発達を表現する傾圧不安定論(Charney 1947, Eady 1949)がつくられた。これは微小振幅でない現実を直接には扱えないが、微小でない振幅で見られる低気圧の構造も「適者生存」的考えかたで理解できるようだった。Charneyの論文は数学化の勝利であり、Eadyの論文は物理的直観にうったえるもので教育的範例になった。

もうひとつは、非線形のまま、数値解を求めることで、数値天気予報研究として進んだ。ただし、Richardsonのやりかたのままでは、計算機があっても実行困難であり、方程式の各項の量の大きさを考慮して体系的に近似する「スケール解析」という考えかた(Charneyの1948年の論文など)によって可能になった。ただしそのスケール解析は中高緯度の大気に特化したものであり、熱帯の扱いはあとに残された。

数値予報プロジェクトの動機、von Neumann, Rossby, Charneyがそれぞれどんな動きをしたかも論じられているが、ほかの本、たとえばHarper (2008)[読書ノート]と重なるので紹介は省略する。

【わたしにとって新しかったこととしては、Charneyは、母親がピアニストで、少年時代の友だちにMenuhinがいるなど、音楽に親しんで育ち、研究者になってからも音楽の比喩をよく使った。】

第7章はLorenzのカオス。初期値のわずかな違いが時間とともに拡大することである。

本書の著者は、実際の運動を追うことよりも、状態空間で考えることを重視する (top-down approachと見ている)。【しかし、3元連立常微分方程式のLorenzモデルなど、自由度の低いモデルならば、状態空間を人が認識することができるが、現実的な大気モデルは自由度が高いので、むりやり単純化した状態空間しか扱えないだろう。】 保存則によって、状態空間のうちで現実にとりうる領域が限定される。

現実空間の話になるが、保存量をもつ流体要素が流れるとき、うまく座標系をとると、要素のもつ面積あるいは体積が保たれる。ただし(無限小でない)要素の形は細長くなり、そのしめる空間範囲は広がっていく。等温位座標系でのpotential vorticityの保存と変形はこの考えかたで見通しがよくなる例だ。【粘性・熱伝導による散逸が無視できるという仮定がはいっているはず。】

第8章の前半は、カオスによる数値予報の限界を克服するアンサンブル予報という方法。確率的予報をめざすのだが、実際にはわざと少しずつ変えた初期値から出発した決定論的シミュレーションをいくつもやって、初期値のわずかな違いが時間とともに拡大することを具体的数量で評価するのだ。

また、Bjerknesがdiagnosisとして提起した、よい初期値をどう得るかという課題もある。今ではデータ同化と呼ばれる。【そこでは結果から原因を知る inversion を使うと言っている。放射伝達の式から温度分布を求めることなどはinversionという表現が適当なのだが、力学の式を使う同化手法を inversion で代表させるのは雑な表現だと思う。また最小二乗法も出てくるのだが、誤差二乗和最小と尤度最大を同じとみなしている。それは正規分布の場合に限るのではないか?】

そのほか、いま研究の先端にある課題を列挙している。【ただしいずれも説明が充分でない。】

  • 災害をもたらす極端現象の予測のための、準地衡風近似ではノイズ扱いされていた大気重力波などを表現できる予報モデル。多くは全世界規模ではなく領域限定である。
  • Semi-Lagrangian積分技術。(本書では第2章でEuler型の時間発展計算を説明しているが、Lagrange型の計算を説明していないのだが。)
  • 熱帯の気象の理解と予測。
  • 気候予測の問題。大気だけでなく、海洋、雪氷、生物圏が変化する。【Hadley Centreの21世紀気候予測の全球平均気温のグラフを示しているが、本文には二酸化炭素が気候にどう影響するかの話は見あたらない。オゾンホールの話はある。これも気候の話と言えなくはないが、その典型例に見えるのはまずいと思う。】
  • 格子では表現困難な不連続的な現象をどう扱うか。Parcelを追う方法ではできるか?

気象にはまだまだ謎があり、その解決には数学のことばでの表現が重要だ、と著者は考える。

折り返しのあとに詳しい目次をつける。

Contents
Preface
– Acknowledgments
Prelude: New Beginnings
1. The Fabric of a Vision
– A Phoenix Arises
– [Tech Box 1.1.] Circulation and the Sea Breeze
– Stormy Waters
– Solving the Unsolvable
– A Ghost in the Machine
2. From Lore to Laws
– Renaissance
– From Comets to Calculus and a Theory of the Trade Winds
– Parceling Up Fluids
– [Tech Box 2.1.] Euler’s Equations for Fluid Motion
– Matters of State: From Force to Energy
– [Tech Box 2.2.] A Closer Look at the Hydrostatic Equation
– [Tech Box 2.3.] Math Gets into the Picture: The Seven Equations in Seven Unknowns
– The Importance of Spin
– [Tech Box 2.4.] Coriolis, the Rotating Earth Term
3. Advances and Adversity
– The Father of Numerical Weather Prediction
– [Tech Box 3.1.] Calculus and the Anatomy of Derivatives
– The Anatomy of an Error
– The Cradle of Modern Meteorology
– From the Sea Breeze to the Polar Front
– [Tech Box 3.2.] The Backbone of Weather I: The Vorticity Equation
– A Top-Down View Paves the Way to Progress
4. When the Wind Blows the Wind
– Getting to the Heart of the Matter
– Exceeding the Force of Any Human Mind
– [Tech Box 4.1.] A Nonlinear Problem We Can Solve
– From Pendulums to Parcels
– Beyond a Million-Dollar Challenge
Interlude: A Gordian Knot
5. Constraining the Possibilities
– In Pursuit of Bjerknes’s Vision
– Conserving Order
– The Expediency Man
– Rossby’s Stately Waltz
– [Tech Box 5.1.] Rossby Waves in the Upper Atmosphere
– The Invisible Choreographer
– [Tech Box 5.2.] Potential Temperature Measures Heat Energy
6. The Metamorphosis of Meteorology
– Brainstorming in Princeton
– Waves Are All Around Us
– Scales and Symphonies
– [Tech Box 6.1.] The Long Wave Problem: Eady’s Paradigm
– Second Time Around
– It’s Snowing in Washington!
Color Insets
7. Math Gets the Picture
– A Butterfly Emerges
– Behind the Portrait of a Butterfly
– Constraining the Possibilities in State Space
– Geometry and State Space
– The Global Picture
– [Tech Box 7.1.] The Backbone of Weather II: Potential Vorticity in Isentropic Coordinates
8. Predicting in the Presence of Chaos
– Prognosis and Probability
– Diagnosis and Data Assimilation
– [Tech Box 8.1.] Determining Causes from Effects
– Listening to the Overtones
– From Seconds to Centuries
– The Fabric of Our Vision
Postlude: Beyond the Butterfly
Glossary
Bibliography
– Books: General
– Books: Technical
– Articles
– Classic Papers
Index

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