• Edward Lorenz, 1993, paperback 1995: The Essence of Chaos. Seattle: University of Washington Press; London: UCL Press, 227 pp. ISBN 0-295-97514-8.
• E. N. Lorenz 著、杉山 勝、杉山 智子 訳, 1997: (ローレンツ) カオスのエッセンス。共立出版, 232 pp. ISBN 4-320-00895-2.

英語原書は1993年に出た本で、初版はハードカバーだったらしいが、わたしが持っているのは1995年に出たA5判のペーパーバック。日本語版は 1997年に出たA5判横書きのペーパーバック。

わたしは、1995年に日本気象学会の『天気』 (42巻 177-178ページ) に出た 余田 成男 [よでん しげお] さん (当時、シアトルのワシントン大学に滞在中) による書評記事で知って、興味をもったものの注文するほどではなかったが、1995年ごろに東京の本屋の洋書売り場の店頭に出ていたので買った。全体を読んだと思うのだが、よくおぼえていたのは、Lorenz 自身がのちにカオスとよばれる現象に出あうまでの過程についての回顧の部分だけだった。日本語版が出たので、まわりの人にすすめるために買ったが、自分ではよく読んでいなかった。2022年12月になって、授業で紹介するために、日本語版の全体に目をとおしたが、数学の話題はだいぶ読みとばしている。

— ここから 2022-12-31 追記 —
本書は一般向けの講演の記録がもとになっている。したがって本文には数式はすくない。
本文でとりあげられた数学的モデルの数式は「付録 2」に書かれている。すでに力学系の数値シミュレーションを経験している人ならばこれだけのヒントでやってみることができるかもしれないが、入門者むけの記述ではない。

第1章は序論。著者のいうカオスは、ランダムと同じことではない。力学系とよばれる種類のシステムが、周期的でない変化をおこし、そこで初期条件のわずかなちがいが拡大していくことである。

著者のカオスの話は、蝶にたとえられることがおおい。本書の英語版 (ペーパーバック) の表紙には蝶の絵が、日本語版の表紙には蝶に見えなくもない著者の論文の有名な図をまねたものがのっている。蝶が出てきた由来は 3つあり、わたしは[別ブログ 2016-05-23の記事]で紹介した。蝶が (著者自身によってでなく) 題名にふくまれた1972年の講演の記録は本書の「付録 1」として収録されている。

カオスをおこす身近な例として、ピンボール (pinball) マシンがでてくる。ただし1930年代の原始的な機種であって、人が操作して球をはねかえす板はない。わたしはこれをパチンコ台 (ただしこちらも原始的なもの) だと思った。ピンボールは斜面で、パチンコは球が鉛直に落ちるが、ピンに衝突して向きを変えることは同様だ。20世紀なかば以来 日本に住む多くの人びとが時間をついやした娯楽は、chaos generator だったのだ!?

第2章でも著者は身近な事例をつかって説明しようとする。こんどは斜面をおりるスキーヤーだ。モーグルが冬季オリンピック競技になったのはちょうど本書が出たころだが、著者は (合衆国北東部の出身だが) カナダのいなかの娯楽としてこぶこぶの斜面をおりることを知っていたようだ。ただし、数学的モデル (数式は「付録 2」の中でしめされている) をすっきりさせるつごうで、こぶこぶは等間隔で規則的にならんでおり、斜面は際限なくのびており、人のうごきは (技能は関係なしに) こぶこぶとの衝突に翻弄されるだけだ。さらに、斜面下向き方向の速度を一定に制御した「そり」のモデルで議論しているところもある。こぶに衝突するむきのわずかなちがいによって、その後の人あるいは そり の軌道は大きくちがうことがある。ありうる多数の軌道をまとめて論じるために、アトラクター (attractor) という概念がもちだされる。

第3章は、現実の大気もカオスの性質を持っているという話だ。大気の大規模な運動と基本的に同じしくみである回転水槽 (「洗いおけ」）の流体の運動の例がでてくる。数値天気予報の概略の話がある。観測された気象変数にみられる周期的でない振動の例として赤道成層圏の準二年振動がでてくる。

第4章では、まず Poincaré (ポアンカレ) の天体力学の3体問題の話、つづいて Birkhoff (バーコフ) による力学系の理論の話がある。

それから、著者がどのようにカオスに出あったのかの話になる。そのときの著者の研究課題は、数値天気予報そのものではなく、統計的天気予報だった。その方法を評価するために、真の解がある対象がほしかった。そこで数値天気予報のモデルを単純化したものを計算機で動かした。計算機をとめて、前の計算の最後よりすこし前から再開したら、そのあとの結果が一致しなかった。再開のときに、前の計算で紙に打ち出した有限けた数の小数を入力したのだが、それが計算機内の数値とはわずかながらちがっていたからだった。

そこで著者は主題をわずかな誤差の拡大に移した。Barry Saltzman の提案をうけて対流のモデルを単純化した3変数のモデルを採用した。その解の「アトラクター」の構造を検討して、1963年に論文を出した。それを出した場がアメリカ気象学会誌だったので、数学者には注目されなかった。

1971年に、数理物理学者の Ruelle (ルエル) が strange attactor ということばをつかった。Lorenz が 1963年の論文でしめしたものも、その類にふくまれていた。

1975年になって、数学者の Li と Yorke が「カオス」ということばを題名にふくむ論文を出した。Yorke の同僚の気象学者がその話をきき、Lorenz の論文がそれに関係するかもしれないと Yorke に言った。Yorke がそれをとりあげ、それ以来、Lorenz の 1963年の論文も「カオス」の代表例になった。

第4章ののこりでは、幾何学的な例をつかって、strange attractor が生じることを実演している。Lorenz の 1963年の論文であつかわれた理論的問題では時間は連続だ (数値シミュレーションでは有限の時間ステップの変化を計算するので時間離散になるが)。しかし、ピンボールやスキー場の例もふくめて、著者が説明のためにもちだす例では、時間は離散的ステップであつかわれている。概念の導入にはそのほうがよいという判断があるのだろう。

第5章では、「カオス」と意味のひろがりのかさなりはあるが同じではない「非線形性」「複雑性」「フラクタル」とのあいだの概念整理をしている。

日本語版の訳者の 杉山 勝さんは大学の工学の教員で出版時の専門は統計物理学・非線形力学、杉山 智子さんは学歴からみておそらく英語学の修士だ。応用数学用語の選択はたしかだと思う。気象学用語は気象の習慣とちがうところがある (たとえば気象の人ならば「大循環モデル」というものを「地球的循環モデル」としている) が、理解にさしつかえはないと思う。

現在、版元品切れだが、2021年のノーベル物理学賞の背景説明に出てきた話題でもあるので、再版してほしいと思う。

折りかえしのあとに目次をつける。英語版の項目のあとに「#」につづいて日本語版のものを書いた。「#」ではじまる行は日本語版だけ、「@」ではじまる行は英語版だけの項目。

== 目次 ==
@The Jessie and John Danz Lectures
@Contents
Preface #はじめに
#目次
Chapter 1. Glimpses of Chaos #1章 カオスってどんな顔?
– It Only Looks Random #ただのでたらめみたい
– Pinballs and Butterflies #ピンボールと蝶々
– It Ain’t Got Rhythm #リズムなんかありゃしない
– Zeroing In on Chaos #カオスにねらいを定めよう
Chapter 2. A Journey into Chaos #2章 カオスへの旅
– Chaos in Action #カオスが動いている
– The Heart of Chaos #カオスのハート
– Broken Hearts #ブロークンハート
– Chaos of Another Species #別種のカオス
– In and Out of Chaos #カオスを出たり入ったり
Chapter 3. Our Chaotic Weather #われらがカオス的気象
– Prediction: A Tale of Two Fluids #予報: 2つの流体の話を1つ
– Meteorology: Two Tales of One Fluid #気象学: 1つの流体の話を2つ
– The Unperformable Experiment #無理な実験
– Voices from Dishpans #洗いおけからの声
– The Five-Million-Variable Dynamical System #500万変数の力学系
– The Consequences #結果
Chapter 4. Encounters with Chaos #カオスとの遭遇
– Prologue #プロローグ
– Recognition #認知
– In Limbo #忘却の渕に
– Searching #探し求めて
– The Strange Attractor #ストレンジアトラクター
– The Ubiquity of Chaos #カオスは遍し
– Make Your Own Chaos #あなたもカオスをつくってみよう
– Is Randomness Chaos? #ランダム性はカオスか?
Chapter 5. What Else Is Chaos? #カオスの仲間たち
– Nonlinearity #非線形性
– Complexity #複雑性
– Fractality #フラクタル性
Appendix 1. The Butterfly Effect #付録1 バタフライ効果
– Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?
# 予測可能性: ブラジルで1匹の蝶がはばたくとテキサスで大たつまきが起こるか
Appendix 2. Mathematical Excursions #付録2 数学的散策
– Numerical Integration #数値積分
– The Butterfly #バタフライ
– The Ski Slope #スキースロープ
– Volume-Preserving Chaos #体積を一定に保つカオス
– Hill’s Reduced Problem #ヒルによる簡約化された3体問題
– The Logistic Equation #ロジスティック方程式
– Lyapunov Exponents and Dimensionality #リャプノフ指数と次元性
– Homoclinicity and the Horseshoe #ホモクリニック性と馬蹄
Appendix 3. Brief Dynamical-Systems Glossary #付録3 力学系についての手短な用語集
Bibliography #参考文献
#訳者あとがき
Index #索引