• 浅田 秀樹, 2021: 三体問題 — 天才たちを悩ませた400年の未解決問題 (ブルーバックス B2167)。講談社, 257 pp. ISBN 978-4-06-522844-9.

2021年3月の新刊、縦書き (数式は横倒しになっている) の新書本。

天体力学で、天体を質点 (質量が1点に集中した物体) とみなして、天体間にはたらく力が相互の重力だけとしたとき、天体が1つならば、等速直線運動 (静止をふくむ) しかない。2つならば、軌道は楕円か放物線か双曲線となり、閉じた軌道ならば楕円ときまる。天体が3つになると運動はどうなるか? これが三体問題だ。

三体問題の本ならば、アンリ ポアンカレ (Henri Poincaré) のしごとが話題の中心かと想像した。読んでみると、ポアンカレは中ほどに出てはくるが、いわば通過点なのだ。それは、ポアンカレまでの三体問題はニュートン力学 (ニュートンの運動法則とニュートンの重力法則) を前提としたものだが、著者は一般相対論を前提とした三体問題にとりくんでいるからだ。

本題にはいるまえに、第1章・第2章では、問題が「とける」とはどういうことかを、代数方程式 (「多項式 = 0」という形の方程式) を例に考える。1次方程式の解は四則演算で得られる。2次方程式の解は四則演算と平方根で得られる。3次、4次の方程式の解も、有限回の四則演算と べき乗根 とのくみあわせで得られることがわかった。ところが、5次方程式はそのような方法ではとけない。無限級数で書くことはできることがわかった。四則演算や べき乗根の基本操作でくみたてると、無限回かかるのだ。これは、従来の意味では とけない が、ある意味では とける 状況だ。

第3章。惑星の運動は「ケプラーの法則」にしたがう楕円軌道の運動だ。ニュートンの運動法則は微分方程式の形をした運動方程式として定式化できる。そこにニュートンの重力法則による重力を入れて得られた二体問題は、積分によってとける (初期の天体の位置を知れば、その後の各時刻の天体の位置を知ることができる)。

第4章。三体問題は同様にはとけない。ただし、18世紀後半のオイラーとラグランジュの研究によって、天体が、直線上あるいは正三角形の配置にあったばあいに、その配置が持続できるという、特殊な解があることがわかった。

第5-6章。三体問題の一般解を得ようすると努力を多くの研究者がしたが、積分によって (正確には「求積法によって」) 一般解を得ることはできないことがわかった。さらに、ポアンカレによって、無限級数の形でも解がさだまらないことがわかった。

第7章。しかし、数値計算で(一般解でなく)個別の解の近似値をもとめることはできる。「十字型解」や「8の字解」がみつかっている。「8の字解」は多項式でかける図形ににているが、それと同じでないことがわかっている。

第8章。ニュートン力学はこの宇宙の正確な表現でないことがわかった。いまのところ正確と考えられているのは、一般相対性理論である。ニュートン力学の運動方程式にかわって、EIH (アインシュタイン・インフェルト・ホフマン)方程式がつかわれる。これは一般相対性理論の厳密な表現ではなく、遅い運動、弱い重力の近似をしたものである。EIH 方程式の二体問題の解は楕円軌道ではない。

第9章。EIH方程式の三体問題の研究がおこなわれている。ラグランジュの正三角形解に近いものはあるが正三角形ではない。8の字解は、ニュートン力学の8の字解とはちがうが、存在することが著者と(当時の)学生たちの研究によってわかった。

第10章。天体の位置を精密に測定できるようになった。太陽系外の惑星の運動や質量を推定するには、ドップラー効果による波長の変化や食による明るさの変化などの情報とともに、軌道計算が必要であり、それは三体以上の問題になることがある。

本題ではないが、たまたま気になった用語の問題。第3章の63ページで、著者は「零(れい)」と「ゼロ」とはちがうという。厳密にゼロではないが四捨五入するとゼロになるような量は「零」ではあるが「ゼロ」ではないというのだ。わたしは「ゼロ」と「零」とは同意語だと思っている。厳密なゼロと微小量とを区別したいことはあるが、その場ごとに、たとえば「この表の「0」は四捨五入してゼロになる微小量のばあいをふくんでいます」のように説明をくわえるしかないと思っている。「この本では「ゼロ」と「零」をこのように区別する」と宣言してつかうのならばよいと思う。

折りかえしのあとにくわしい目次をつける。
<--more-->
== 目次 ==
まえがき
目次
1章 解ける方程式
– 1-1 方程式とはなにか
– 1-2 1次方程式
– 1-3 図形として1次方程式を眺める
– 1-4 1次方程式の解の個数
– 1-5 2次方程式
– 1-6 2次方程式に対する厳密な解
– 1-7 2次方程式の近似的な解
– 1-8 逐次解のココロ
– 1-9 2次方程式に対する解の個数
2章 解けない方程式
– 2-1 3次方程式と4次方程式も解けた
– 2-2 5次方程式は解けない!
– 2-3 5次方程式の秘密
– 2-4 5次方程式の解が見つかる
3章 ケプラーの法則とニュートンの万有引力
– 3-1 彷徨う[さまよう] 星
– 3-2 国外追放された天文学者
– 3-3 彷徨う星は規則的に動いていた
– 3-4 天空の法則を地上の科学で解き明かす
– 3-5 ニュートンの力学
– 3-6 万有引力の法則
– 3-7 万有引力の法則で観測事実を説明できる
– 3-8 ベルトランの定理
– [コラム] 観測的「二体問題」
4章 三つの天体に対する解を探して
– 4-1 一体問題と二体問題
– 4-2 三体問題 — 何に対する方程式なのか
– 4-3 「解く」とは何ぞや
– 4-4 もつれ合う方程式 — 三体問題のつづき
– 4-5 オイラーの直線解 — 5次方程式が再登場
– 4-6 ラグランジュの正三角形解
– 4-7 ラグランジュ点
– 4-8 仮想的な数式が現実となる — トロヤ群の発見
5章 一般解とはなにか
– 5-1 方程式を解くための礼儀作法
– 5-2 一定速度で移動する物体と微分方程式
– 5-3 微分方程式を解く作法
– 5-4 積分の登場
– 5-5 積分を用いて微分方程式を解く
– 5-6 可積分とは その1 — はじめに
– 5-7 可積分とは その2 — 別の座標系を用いる
– 5-8 可積分とは その3 — 運動の定数を用いた簡単クッキング♪
– 5-9 可積分とは その4 — スパイスが決め手
– 5-10 可積分とは その5 — 2種類目のスパイス: 角運動量
– 5-11 可積分とは その6 — 求積法とその限界
6章 つわものどもが夢のあと
– 6-1 「三体問題」の一般解への挑戦
– 6-2 ハミルトンの力学理論
– 6-3 「三体問題」とリウヴィルの定理
– 6-4 求積法作戦の頓挫
– 6-5 ポアンカレの登場
– 6-6 カオスの発見
– 6-7 人類 vs. AI
7章 三つの天体に対する新しい解が見つかる
– 7-1 特殊な解
– 7-2 8の字解
– 7-3 その他の面白い解
– 7-4 四体問題の解
8章 一般相対性理論の登場
– 8-1 一般相対性理論の誕生前夜
– 8-2 アインシュタインの一般相対性理論登場
– 8-3 ニュートン vs. アインシュタイン
– 8-4 逆2乗帝国の崩壊 — 水星の近日点異常
– 8-5 新しい運動方程式および逆2乗則に対する補正
– 8-6 二体問題でさえ解けない!?
– 8-7 重力波の存在
9章 一般相対性理論の効果を入れた三つの天体のユニークな軌道
– 9-1 一般相対性理論における「三体問題」
– 9-2 EIH方程式に対する「三体問題」を解く
– 9-3 8の字解は生き残れるか?
– 9-4 8の字軌道の天体からの重力波
– 9-5 非常に強力な重力場での三連星は見つかるのか
– 9-6 PSR J0337+1715
10章 天体の軌道を精密に測る
– 10-1 天体の軌道を観測する
– 10-2 位置天文学
– 10-3 恒星の位置を精密に測るハイテク天文衛星
– 10-4 銀河中心の巨大ブラックホール
– 10-5 太陽系以外の多重惑星をもつ恒星たち
あとがき
さくいん