• Olivier DARRIGOL, 2005; paperback 2009: Worlds of Flow: A history of hydrodynamics from Bernoullis to Prandtl. Oxford: Oxford University Press, 356 pp. ISBN 978-0-19-955911-4 (pbk.)

流体力学は気象学にとって必須の基礎のひとつであり、わたしが大学院生時代(1980年代)に勉強した知識のうち大きな部分をしめる。その中では、人名がついた法則、定理、方程式、近似、波、渦、不安定現象、「数」(無次元量)などにたくさん出会った。しかし名まえが出てくる人物たちのかかわりかたはほとんど知らないままだった。

たとえば、流体力学の運動方程式のたてかたに、ラグランジュ(Lagrange)型とオイラー(Euler)型というものがある[別ブログ2012-04-17の記事]。流体の動く小部分(流体素分)について式をたてるのがラグランジュ型、空間座標に固定した位置の数量について式をたてるのがオイラー型なのだ。これはほんとうにラグランジュとオイラーが考えたことなのか、それはどこに最初に示されたのか、知りたいと思ったが、わたしが見たかぎりの流体力学の教科書では見あたらなかった。オイラーやラグランジュが考えたことについて彼らの著作にあたって研究している有賀暢迪(ありが のぶみち)さんにたずねたところ、流体力学の件ならばDarrigolの本にあるはずだということだった。(わたしがその前回にこの件を疑問に思ったときにはまだなかった本だ。) すぐ注文したのだが、実際に読むのが2年近くあとになってしまった。本書1章によれば、「オイラー型」はEulerの1755年の論文、「ラグランジュ型」はLagrangeの1761年の論文と1788年の『解析力学』の本が代表的出典と言えるようだ。しかしEulerは1751年に書かれ1760年に出版された川の流れの論文では今でいう「ラグランジュ型」の扱い、Lagrangeは1781年の論文では「オイラー型」の扱いもしている。

著者はフランスの科学史家である。対象となる時代の文献を多数参照している。ただし本書での数式は現代のベクトル・テンソル表現により表記を統一している。昔の表現を引用して説明を書いたらなん倍もの長さになるだろう。

記述対象の時代が1930年代までなので、わたしが直接著作を読んだ人はほとんど出てこない。法則などに名まえがついている人物が次々に現われる。(他の事例では実際の功労者と違う人の名まえがつくことが多いと聞くが、本書で気づいた限りの事例はいずれも実際貢献した人であるようだ。独立発見のうちだれを選ぶかという問題はあるが。) 初めて知る人名もあるが、話題はつながっているので、どこも読みとばす気になれなかった。ただし数式は理解しようとつとめないことにした。断続的にだが10日かかってようやく読めた。これまで名まえしか知らなかった1930年以前の科学者たちについて遠近感ができた。

流体力学は、fluid dynamics、fluid mechanicsともいうが、本書ではhydrodynamicsとしている。ひとつには、著者が本書の主題を設定するのに際して熱が重要な役割を果たすような話題をはずしたことを反映しているようだ。もうひとつには、これが本書の対象時期の初めから使われていたことばなのだ。Daniel Bernoulliが1738年にHydrodynamicaというラテン語の本を出した。すでにhydraulics (水理学、今でも土木工学の分科としてある)とhydrostatics (水の静力学、今は分科名としてはないが形容詞形は物理過程の分類に使う)があって、それをつなぐ学問を構築しようという意図があったらしい。7章の話はおもに空気を扱っておりaerodynamics (空気力学)とも呼ばれ、航空という需要と、風洞という技法があって発達した分野だ。これはhydro-とは別に扱うことも考えられると思うが、本書にとっては、「物体が水の流れから受ける抵抗」という二百年ごしの懸案の解決のきっかけが空気力学から得られた、という結果的事情があったので必須の部分になっている。ただし航空や気象の話題はこの文脈にからむものだけを視野内に入れ、あとは省略している。

Newton力学を今も使われている微分方程式の形に定式化したEulerやLagrangeによって、流体の基本方程式も定式化された。そして、水路や管の流量を知りたい、船や橋脚に働く抵抗を知りたいなどの社会的需要もあった。研究者の多くはそれぞれに応用を意識したが、理論が応用の需要にこたえられる局面は非粘性では「波」、分子粘性を加えても「細い管の流れ」に限られた。応用の水力学は理論とは別に経験則によらなければならない時代が長く続いた。ようやく1930年代に、水の抵抗を含む多くの問題について、理論と応用とがつながってきたのだ。

第1章「力学の方程式」。18世紀ヨーロッパ。
Daniel Bernoulliが、容器の水位と管から流れ出る流速の関係を、「活力」(のちの概念で近いのは力学的エネルギー)によって説明しようとし、今も「ベルヌーイの法則」と呼ばれる関係を導いた。その父のJohann Bernoulliも重要な仕事をしている。
d’Alembertは、その名で知られる力学の原理を流体に適用した。潮汐力が風を起こす理屈を考えた(あとから見れば不完全な考えだが)。物体のまわりの流れについては、物体におよぼす抵抗が(実験ではあるのに)理論的にはゼロになるというパラドックスを示した。本書の二百年ごしの問題というのはこれに始まるものだ。
そして上に述べたようにEulerとLagrangeが連続体の運動方程式の表現を確立した。
彼らがおもに速度ポテンシャルのある流れ(渦なしの流れ)を扱ったために、その後約百年間の理論家の関心はそれに集中してしまった。

第2章「波」。18世紀末から19世紀のフランスとイギリス。
初期の流体力学の理論は、水の自由表面にできる波への応用にはすぐに役にたった。波の復元力はおもに重力で、波長の短いものでは表面張力がきくものもある。その大部分は、ちぢまない流体、渦なし、粘性なしという理想化で扱うことができた。孤立波(有限振幅であることが必要)も早い段階で(Scott Russellによって)課題として出されているが、大部分の研究は、微小振幅の波の理論(線形論、弱い非線形論)であり、三角関数成分に分解するフーリエ解析の方法とともに発達した。
潮汐の計算はLaplaceによる厚さ一定の計算から、海底地形を考慮したものに発達した。

第3章「粘性」。19世紀のフランスとイギリス。
粘性とは流体内部の摩擦である。Eulerの運動方程式に粘性項を加えたものをNavier-Stokes方程式という。これにはフランスのNavierのほかCauchy, Poisson, Saint-VenantとイギリスのStokesがそれぞれ貢献している。忘れられて再発見されたようだ。ここに出てくるフランス人の学者は、いずれもÉcole Polytechniqueで教育を受け、そこまたはÉcole des Ponts et Chaussées (土木学校)そのほかの応用技術の高等教育機関で働いた人だ。ただしNavierは応用志向だったのに対してCauchyは数学的理論家、というように各人の志向の違いはある。Navierは分子運動論的な考えをもとに直観的に応力の形を考えた。連続体の内部に働く応力として定式化したのはCauchyの功績といえそうだ。
イギリスではこの分野の研究は遅れて始まった。Stokesは、測地に使われていたふりこの空気による遅れを定量したいという動機から流体から固体に働く力を考えるようになった。
Navier-Stokes方程式で、細い管の流速はかなり説明できるようになった。しかし開水路には役にたたず、水理学はあいかわらず経験則にもとづくものだった。

第4章「渦」。19世紀後半のドイツ。ほぼHelmholtzひとりの仕事をめぐる話題。
Helmholtzは感覚の物理、生理、心理にまたがる関心をもっていた。その例としてパイプオルガンの音を扱い、管の境界条件に合う振動解を求める努力をした。1-3章に登場した人々と違って、Helmholtzは流体の運動が渦運動を含むのは当然ととらえていた。5章に登場する人々と逆に、電磁気学から流体力学への類推をした。渦度が集中した渦面(vortex sheet)があり、そこには流れの不連続もあると考えた。2次元の問題を複素平面でとらえる方法も開発した。等角写像の特異点で速度が不連続となる。
気象にもたびたび関心を示した。大気は渦に満ちたものであると考え、不連続も重視した。熱力学の発達にも貢献したHelmholtzのことなので当然のことながら、熱がかかわるプロセスも重視した。
-嵐の原因にEspyの対流説を受け入れたうえで低気圧性渦と結びつけた(これは今も有効な考え)。
-大気大循環に大規模な不連続面を考えた(これは今から見ると正しくないがBjerknes親子の前線論のさきがけとはいえるだろう)。
-密度が不連続な2層の間で波が急激に発達する条件(今の用語でKelvin-Helmholtz不安定)を示した。

第5章「不安定」。19世紀後半のイギリス。
この章ではいろいろな非定常流や渦に満ちた流れの研究が進んだことがとりあげられている。
不安定という概念の狭い意味では、なめらかな流れに細かい摂動が加わるとき、摂動が増幅する場合に、なめらかな流れが不安定なのだ。この意味での主要な成果としては、平行流は流速プロファイルに変曲点があると不安定であるというRayleighの理論がある。
ただし、William Thomson (Kelvin)をはじめイギリスの多くの学者のおもな関心は、現実の水や空気よりも、光・電磁気をエーテルという流体の現象として説明すること(のち相対論によって否定された考え)にあった。

第6章「乱流」。19世紀のフランスとイギリス。
19世紀のフランスでは、水路や管への応用のため、実験にもとづく研究が行なわれた。流速が速くなると流れが乱れ、抵抗の流速依存性の形が変わることが認識された。Saint-VenantやBoussinesqが理論化を試みた。
19世紀後半のイギリスで、おもにReynoldsによって、実験を説明する理論を考える態度で研究が進んだ。粘性ゼロの極限と粘性なしの問題の解とは違うこと、渦の集団が粘性のように働くこと(Reynolds応力の考え)、数量の比が重要であること(次元解析の考え)、そしてのちにReynolds数(Re)と呼ばれる慣性項と粘性項の比に臨界値がありReが小さいと層流、大きいと乱流になることを示した。

第7章「抗力と揚力」。重要な部分は20世紀の最初の3分の1くらいのドイツのPrandtlを中心とする人々。
物体のまわりの流れについて、19世紀フランスのSaint-VenantやBoussinesqは、層流の場合については理論的に、乱流の場合は経験的に扱った。
Helmholtzは不連続面(渦面)を考えた。
船が動くときの水の抵抗は、船が遅いうちは船の構造や積載量に比べて重要視されず、蒸気船の時代になって重要視されるようになった。イギリス科学振興協会(BAAS)が1831年に発足するとすぐにこの課題に関する委員会がつくられた。それをきっかけにRankineやFroudeがおもに模型実験による研究を進め、実用になる式が得られたが、それは実験式であり理論はしっかりしていなかった。
20世紀初め、PrandtlはまずHannover工科学校(Techniche Hochschule)、のちGöttingen大学で、風洞実験と理論による研究をした。境界層や混合距離理論の概念を構築し、翼のまわりの流れと抵抗が求められるようになった。(翼の後面で流れの剥離と呼ばれる現象が起こる条件も研究されたが、剥離したあとの流れについては今もよくわからない。)
飛行機の開発は、初期のWright兄弟などは実験はしたがまったく経験的だった。PrandtlおよびイギリスのLanchesterの研究成果が広まって、航空の科学と技術が結びついた。

第8章「結論」。
(力学、電磁気学、熱力学は基礎が発達してからすぐ応用ができたが) 流体力学は、現実世界への応用の期待があったにもかかわらず、基礎方程式から、高いReynolds数のもとでの抵抗の式が得られるまで、約2世紀かかった。あとでわかった困難として、無限の自由度、非線形性、不安定性があった。(不安定性は他の力学では特殊現象だが、流体ではありふれたことなのだ。) 理論も直観もあまり役にたたず、具体的現象に手がかりを求めた。
応用から基礎への影響が(著者によれば、他の分野に比べて)重要だ。影響の与えかたには、細かいほうから、 新しい近似などの方法、新しい派生的概念、基礎の再構成、基礎の置きかえがある。
「このような学問の発達のしかたは、Kuhnの通常科学にも科学革命にもあてはまらない」と著者はいう。しかし、わたしの考えでは、本書に書かれた発展全体を巨視的にみれば「パラダイムをもつ科学の誕生」であり、細かく分けて見れば多くの局面で「支配的発想の行き詰まり→周辺の他分野からの新発想の導入→支配的発想の交代」という「パラダイムの交代」として認識できることが起きていると思う。

気象学の立場から見ると、気象学に応用されている流体力学の前史として、Navier-Stokes方程式に加えて、Helmholtzが考えたことと、Reynoldsが考えたこと、乱流境界層という考え、境界層の流速プロファイルがある理想化のもとで対数型になること(von Kármán, 1930年)などは重要だ。
しかし、気象学の発達を述べるならば、本書が対象とする時期と重なる1930年代までの動きとして、次のものごとを追加する必要があるだろう。
まず気象学に含まれる分野の動きとして
-V. Bjerknesによる物理的気象観。 渦や不連続線の概念はHelmholtzからつながるのだと思う。
-Richardson (1922年)による基礎方程式に基づく予測型計算の構想。(Richardsonは大気を渦に満ちたものととらえていた。どちらかといえばReynoldsからつながるのだろうか? なお、1922年の本では地表面での摩擦やエネルギー交換も論じているのだが、思えばまだその定量化に使える境界層理論は未完成だったのだ。)
それから、基礎の流体力学に含まれる分野の動きとして
-G.I. Taylorとその後の英語圏(あえて中心地をあげればCambridge)の流体力学
-ソ連のKolmogorovの確率過程論、それが合流した乱流理論
をおさえておく必要があると思う。

折り返しのあとに、詳しい目次をつける。

[Preface [v-x]
Contents [xi-xii]
Convention and notation xiii[-xiv]
1. The dynamical equations 1
– 1.1 Daniel Bernoulli’s Hydrodynamica 4
– – 1.1.1 The principle of live forces
– – 1.1.2 Efflux
– – 1.1.3 Bernoulli’s law
– 1.2 Johann Bernoulli’s Hydraulica 9
– – 1.2.1 Translation
– – 1.2.2 Gorge
– 1.3 D’Alembert’s fluid dynamics 11
– – 1.3.1 The principle of dynamics
– – 1.3.2 Efflux revisited
– – 1.3.3 The cause of winds
– – 1.3.4 The resistance of fluids
– 1.4 Euler’s equations 23
– – 1.4.1 The Latin memoir
– – 1.4.2 The French memoirs
– 1.5 Lagrange’s analysis 26
– – 1.5.1 Methods of resolution
– – 1.5.2 Continuum dynamics
– – 1.5.3 The Lagrangian picture
2. Water waves 31
– 2.1 French mathematicians 32
– – 2.1.1 Laplace’s attempt
– – 2.1.2 Lagrangian foundations
– – 2.1.3 Poisson’s thorny, but thorough analysis
– – 2.1.4 Cauchy’s prize-winning memoir
– – 2.1.5 Apparent confirmations
– 2.2 Scott Russell, the naval engineer 47
– – 2.2.1 A horse’s discovery
– – 2.2.2 The great, solitary wave
– – 2.2.3 Wave-lined vessels
– – 2.2.4 Taming water waves
– – 2.2.5 The four orders
– 2.3 Tides and waves 56
– – 2.3.1 Russell’s illumination
– – 2.3.2 From Newton to Whewell
– – 2.3.3 Airy’s wave theory of tides
– – 2.3.4 From river tides to ocean tides
– – 2.3.5 The inverse method, for and against Russell
– 2.4 Finite waves 69
– – 2.4.1 Stokes’s BA [British Association] report
– – 2.4.2 Stokes on finite oscillatory waves
– – 2.4.3 Gerstner’s waves and ship rolling
– – 2.4.4 From wedge-shaped waves to solitary waves
– – 2.4.5 Boussinesq on solitary waves
– – 2.4.6 Torrents and tidal bores
– – 2.4.7 Rayleigh on the solitary wave
– – 2.4.8 The so-called KdV equation
– 2.5 The principles of interference 85
– – 2.5.1 Group velocity
– – 2.5.2 Thomson’s fishing line
– – 2.5.3 Rayleigh’s solution
– – 2.5.4 Houston’s paradox solved
– – 2.5.5 Echelon waves
– – 2.5.6 The stationary-phase method
– – 2.5.7 After-math
3. Viscosity 101
– 3.1 Mathematicians’ versus engineers’ fluids 103
– – 3.1.1 Resistance and retardation
– – 3.1.2 Fluid coherence
– – 3.1.3 Girard’s capillary tubes
– – 3.1.4 The retional and the practical
– 3.2 Navier: molecular mechanics of solids and fluids 109
– – 3.2.1 X+Ponts
– – 3.2.2 Laplacian physics
– – 3.2.3 Elastic beams and plates
– – 3.2.4 The general equations of elasticity
– – 3.2.5 A new hydrodynamic equation
– – 3.2.6 Boundary conditions
– – 3.2.7 A useless equation
– 3.3 Cauchy: stress and strain 119
– – 3.3.1 The stress system
– – 3.3.2 Strain and motion
– – 3.3.3 The perfectly inelastic body
– – 3.3.4 Final foundations?
– 3.4 Poisson: the rigors of discontinuitiy 122
– – 3.4.1 Laplacian motivations
– – 3.4.2 Sums versus integrals
– – 3.4.3 Navier’s defence
– – 3.4.4 Fluids as temporary solids
– 3.5 Saint-Venant: slides and shears 126
– – 3.5.1 Le Pont des Invalides
– – 3.5.2 Vicat’s ruptures
– – 3.5.3 Molecules, slides, and approximations
– – 3.5.4 On fluid motion
– – 3.5.5 A first-class burial
– – 3.5.6 Re-founding Navier’s equation
– – 3.5.7 Fluid resistance
– 3.6 Stokes: the pendulum 135
– – 3.6.1 A swimming mathematician
– – 3.6.2 The pendulum
– – 3.6.3 Fluid friction
– – 3.6.4 Elastic bodies, ether, and pipes
– – 3.6.5 Back to the pendulum
– 3.7 The Hagen-Poiseuille law 140
– – 3.7.1 Hagen’s pipes
– – 3.7.2 Dr Poiseuille’s capillary vessels
– – 3.7.3 A slow integration
4. Vortices 145
– 4.1 Sound the organ 146
– – 4.1.1 From acounsics to mathematics
– – 4.1.2 Organ pipes
– 4.2 Vortex motion 146
– – 4.2.1 Fundamental theorems
– – 4.2.2 The electromagnetic analogy
– – 4.2.3 Vortex sheets, lines, and rings
– – 4.2.4 German approbation, British enthusiasm, and French suspicion
– – 4.2.5 Friction
– 4.3 Vortex sheets 159
– – 4.3.1 Discontinuous motion
– – 4.3.2 Conformal mapping
– – 4.3.3 Pipe blowing
– 4.4 Foehn, cycloes, and storms 166
– – 4.4.1 Outdoor thermodynamics
– – 4.4.2 General circulation
– – 4.4.3 Tropical storms
– 4.5 Trade winds 172
– – 4.5.1 A revelation
– – 4.5.2 The thermal genesis of discontinuity surfaces
– – 4.5.3 Corrections and additions
– – 4.5.4 Anticipations
– 4.6 Wave formation 178
– – 4.6.1 From atmospheric waves to water waves
– – 4.6.2 A minimum principle
– – 4.6.3 Dubious idealizations
5. Instability 183
– 5.1 Divergent flows 184
– – 5.1.1 Fluid jets
– – 5.1.2 The pendulum
– – 5.1.3 Ether drag
– 5.2 Discountinous flow 188
– 5.3 Vortex atoms 190
– – 5.3.1 Hydrodynamic analogies
– – 5.3.2 A new theory of matter
– – 5.3.3 Labyrinthine degradation
– – 5.3.4 Delusion
– 5.4 The Thomson-Stokes debate 197
– – 5.4.1 Conflicting ideals
– – 5.4.2 Coreless vortices, goring, and dead water
– – 5.4.3 Birth of discontinuity surfaces
– – 5.4.4 Separation and boundary layer
– – 5.4.5 Epilogue
– 5.5 Parallel flow 208
– – 5.5.1 From dancing flames to the inflection theorem
– – 5.5.2 Reynolds’s instabilities
– – 5.5.3 Thomson’s proofs of stability in viscous cases
– – 5.5.4 Challenging Thomson
– – 5.5.5 Rayleigh’s paradox
– – 5.5.6 Reynolds’s energetic approach
6. Turbulence 219
– 6.1 Hydraulic phenomenology 221
– – 6.1.1 Hydraulics versus hydrodynamics
– – 6.1.2 B{‘e}langer’s backwater theory
– – 6.1.3 Hydraulic jumps
– – 6.1.4 Backwater energetics
– – 6.1.5 Rivers and torrents
– 6.2 Saint-Venant on tumultuous waters 229
– – 6.2.1 Tumultuous flow
– – 6.2.2 The effective viscosity
– – 6.2.3 Darcy’s and Bazin’s measurements
– 6.3 Boussinesq on open channels 233
– – 6.3.1 Terrestrial physics
– – 6.3.2 Eaux courantes
– – 6.3.3 Coriolis revisited
– – 6.3.4 Praise and neglect
– 6.4 The turbulent ether 239
– – 6.4.1 A hydraulic anomaly
– – 6.4.2 Turbulent rigidity
– – 6.4.3 The vortex sponge
– 6.5 Reynolds’s criterion 243
– – 6.5.1 Hagen’s transition
– – 6.5.2 An eccentric philosopher-engineer
– – 6.5.3 Revealing vortices
– – 6.5.4 The dimensional properties of matter
– – 6.5.5 Guessing the criterion
– – 6.5.6 Testing the criterion
– – 6.5.7 The two kinds of instability
– – 6.5.8 Private calculations
– – 6.5.9 Pipe discharge
– – 6.5.10 The Reynolds legend
– – 6.5.11 Color bands, magic cubes, and military discipline
– – 6.5.12 The philosophy of scales
– – 6.5.13 Proving the criterion
7. Drag and lift 264
– 7.1 Tentative theories 265
– – 7.1.1 Early iews on fluid resistance
– – 7.1.2 Discontinuity surfaces
– – 7.1.3 Turbulent wakes and shear layers
– 7.2 Ship resistance 273
– – 7.2.1 Rankine’s friction layer and stream lines
– – 7.2.2 Froude’s models
– 7.3 Boundary layers 283
– – 7.3.1 Prandtl’s Heidelberg paper
– – 7.3.2 Prandtl’s heuristics
– – 7.3.3 Lanchester and Rayleigh
– – 7.3.4 Slow reception
– – 7.3.5 Turbulent layers
– – 7.3.6 Instabilities
– – 7.3.7 Developed turbulence
– – 7.3.8 The mixing length
– – 7.3.9 The logarithmic profile
– 7.4 Wing theory 302
– – 7.4.1 Lanchester’s theory
– – 7.4.2 Kutta’s and Joukowski’s theories
– – 7.4.3 Prandtl’s theory
8. Conclusion 323
Appendix A. Modern discussion of d’Alembert’s paradox 326
Bibliography 329
– Bibliographic abbreviations 329
– Bibliography of primary literature 330
– Bibliography of secondary literature 344
Index 350[-356]