地学 II
地球の形と大きさ、地球の自転と公転
地学のうち宇宙の部を、地球の部とかさなるところからはじめることにした。
数研出版 『地学図録』 (2022年 新課程版) を 『図録』 として参照する。
副として、第一学習社 『地学図説』 (旧課程版 2022年 十訂版) を 『図説』 として参照することがある。
[ウェブページでの数式の表現についてのおことわり]
主要な情報源となるウェブサイト
天文・宇宙 (universe) について
地球の形と大きさについて
今回の科学史的な話題の参考書
わたしの授業では、事実の知識よりもそれがどのようにしてわかったかをおさえたいので、科学史的な話が多くなる。
ただし、科学史をきちんと述べるのではなく、理屈で再構成している。
科学史そのものを知りたい人は、科学史の本をみてほしい。
この教材をつくるうえでは、次の本が参考になった。
(この主題の科学史としてはこれを読むべきだと主張するわけではない。)
- Michael Hoskin 著 (2003), 中村 士 [つこう] 訳, 2013:
『西洋天文学史』 (サイエンス・パレット SP-005)。丸善出版。
[読書メモ]
- 西條 敏美, 2011: 『測り方の科学史 I 地球から宇宙へ』。恒星社厚生閣。
[読書メモ]
- 山本 義隆, 1997: 『古典力学の形成』。日本評論社。[読書メモ]
天体の実際の位置、みかけの位置、地球の自転と公転について補足材料
天体は実際は3次元空間にあるが、われわれは天体は天球にはりついているかのように認識する。
両者の関係は、地球の自転と公転によって変わっていく。
その変換を体験する演習をやるべきだと思うが、この授業のわくでは時間をとれそうもない。
参考になる本をいくつかあげておくので、各自、考えてほしい。
天文の入門書で、この件の図解がわりあいくわしいもの
- 縣 [あがた] 秀彦 監修, 池田 圭一 著, 2015: 『天文学の図鑑』 (まなびのずかん)。技術評論社, 143 pp. ISBN 978-4-7741-7290-4.
[読書メモ] 立正大学では「りるふぉれ」にある。
- 国立天文台 編, 2010: 『よくわかる宇宙と地球のすがた』 (理科年表シリーズ)。丸善, 137 pp. ISBN 978-4-621-08147-1.
[読書メモ] 熊谷図書館開架にある。
- 片山 真人 [まさと], 2012: 『暦の科学』。ベレ出版, 150 pp. ISBN 978-4-86064-320-1.
文庫版 2022: 『知れば知るほど面白い 暦の謎』 (知的生きかた文庫 か/72-1)。三笠書房, 206 pp. ISBN 978-4-8379-8763-5.
[単行本版の読書メモ]
[文庫版の読書メモ]
- 天文宇宙検定委員会 編, 2023: 『天文宇宙検定 公式テキスト 2023-2024年版 3級 星空博士』。恒星社厚生閣, 133 pp. ISBN 978-4-7699-1693-2.
[読書メモ]
初等中等教育を意識して、しろうとの感覚と、天文学の理屈や約束ごとを関係づける演習教材
- 松森 靖夫, 2007 a: 『学びなおしの天文学 基礎編』。恒星社厚生閣, 193 pp. ISBN 978-4-7699-1054-1.
[読書メモ]
- 松森 靖夫, 2007 b: 『学びなおしの天文学 応用編』。恒星社厚生閣, 168 pp. ISBN 978-4-7699-1055-8.
[読書メモ]
専門にたちいって勉強をしたいならば
- 福島 登志夫 編, 2009, 第2版 2017: 『天体の位置と運動』 (シリーズ 現代の天文学 第2版 13)。日本評論社, 258 pp. ISBN 978-4-535-60763-7.
[読書メモ]
地球の形と大きさ
図録 第1編 1節 「地球の形と大きさ」
地球の形 (現代の認識)
- 第1近似: 球
- 第2近似: 回転楕円体 (図録 第1編 1節 [B]「地球だ円体」)
- 2軸の半径の長さが同じ (赤道半径 a)、第3の軸はやや短い (極半径 b)。
ただし半径の差は半径の 1/300程度。扁平率 [= (a - b) / a] は 約 1/300。
- 第3近似: ジオイド (geoid) (図録 第1編 1節 [C] 「標高の基準」)
- 平均海面を、それぞれの地点で重力に垂直になるように延長した曲面。
- 長さの単位「メートル」 (m)
- [時間と空間、物理量の「次元」と単位、けたのちがう数量] のページの「物理量とSI単位」の「長さの単位」でのべた。
- メートルの構想では、地球を楕円体で近似し、その 子午線 (経線) の赤道から極までの弧の長さの 10の7乗分の1 がメートルとされた。
- この授業での概算としては、メートルの構想により、さらに地球の形を球で近似して、地球の大きさとメートルとを関係づける。
大地が平面でなく球であるという認識の根拠
図録 第1編 1節 [A] 「地球の概形と大きさ」 の「地球が球形でないと説明できない現象」、「月食」; 月食のしくみについては 第5編 3節 「月」の [C] 「日食・月食」
科学が発達するまえ、大地の形は、平面だと考えられることが多かった。
(大地のひろがりが無限であるということも考えにくいので、どこかに世界の端があると考えられることが多かった。)
しかし、古代のうちにも (とくに西洋文明圏では)、大地は球のような形だと認識する人もいた。
その根拠としては、つぎのようなことがあげられる。
- 水平線上の船は上のほうから(たとえば帆あるいは帆柱から)見えてくる。
- のこる問題点: 光は直進するか? (実際、大気による屈折はある。)
- 南北方向にちがった地域に行くと、太陽の高さ (仰角、あとでいう「天頂座標」の高度角) や、昼の長さ (1日のうち太陽光が地表にとどく期間) がちがう。
また、ちがった星座が見え、星の回転運動の中心 (天の北極) の高さ (注は太陽のばあいと同じ) がちがう。
【気候・気象学の序論で climate の語源として話した件】
- 月食のとき月の暗くなる部分が、まるい形をしている。
月食は、自分の位置からみて太陽と月が反対側にくるときにおこる。
月食が、太陽の光についての地球の影が月にかかることだとすると、うまく説明できる。
地球の大きさ
- 現在わかっているかぎりで、地球の大きさを、現代の観点からも基本的に正しい理屈によって、はじめて数値としてもとめたのは、
西暦紀元前230年ごろ、エラトステネス Eratosthenes という人による。
(図録 第1編 1節 [A] 「地球の概形と大きさ」の「エラトステネスが考えた地球の大きさの求め方)
- エラトステネスは、ヘレニズム時代 (ギリシャ語をつかう文明がエジプトまでひろがった時代) のアレキサンドリアの人。
(アルキメデスとは同時代の人。)
- (それまでに、古代ギリシャで、幾何学 (英語 geometry : 語源は 地 - 測定) が発達し、エウクレイデス (ユークリッド) が定式化していた。)
- 同時刻に太陽からくる光線は平行直線であることを前提とする。
(太陽から地球までの距離が地球の大きさにくらべてじゅうぶん大きいことを仮定していることにあたるだろう。)
- シエネ (いまのアスワン) で、夏至の正午に、太陽の像が鉛直の井戸の底の水面に見える。つまり、太陽が天頂にくる (天頂角がゼロ、高度角が直角)。
- [注] 地平座標 (図録 第5編 8節 [A] 「天球座標」のうち「地平座標」) での太陽の位置
- 「太陽天頂角」: 天頂 (頭の真上) 方向と太陽の方向とのなす角。
- 「太陽高度角」: 水平面と太陽の方向とのなす角。(図録 では「高度」となっている。)
- 太陽天頂角 + 太陽高度角 = 直角。(直角は90°であり(π/2)ラジアンである。πはパイ、円周率。)
- その北にあるアレキサンドリアでの太陽天頂角がわかっている。
(たとえば、鉛直にたてた棒の高さとその影の長さによる。)
- シエネ・アレキサンドリア間の距離がわかっている。
(実際には両地点をむすぶ線は南北からいくらかずれているが、エラトステネスは まっすぐ南北 (両地点は同じ経度) とみなした。)
- すると、地球の周の長さを、幾何学によって計算できる。
- 結果は、当時の長さの単位「stadion」がどれだけかについての不確かさはあるが、
桁(order of magnitude)だけでなく、有効数字1桁まで、正しいようだ。
- 近代の測量・測地 ... 17世紀ごろからヨーロッパの国ぐにで測量技術が発達し、18世紀に地球の大きさ(とくに緯線の長さ)の測量がおこなわれた。
- 望遠鏡の発明、三角測量技術(幾何学の応用)の発達、政治的需要もあって、地図づくりがすすむ。
- 三角測量の原理は「三角形の1辺の長さとその両端の内角がわかれば のこりの辺の長さがわかる」ことをくりかえしていくこと。
- (現代ではレーザー光の往復時間によって距離をはかるほうが角度よりも精度がよいので、3辺の長さで三角形を決めていく「三辺測量」のほうがふつうになった。)
- 水準測量の原理は、水平 (重力に垂直) に見通すことと、鉛直 (重力の方向) の高さの差を測定することとをくりかえしていくこと。
- 図録 第1編 9節 [D] 「地殻変動と測量」の「水準測量による鉛直方向の変動の観測」
- 第一学習社 『図説』 3章7節 (新課程版では 1章10節) 「地殻変動の測定」の
[2] 「垂直方向の地殻変動と測定」のうちの
(*)「水準点と水準測量」
(*)「水準測量の方法」
- ニュートンの力学、および、地球は変形しうる物体でその形は重力と遠心力による平衡状態にあるという仮定から、地球は扁平であるという説がたてられた。
しかし、逆に縦長の楕円体であるという説もあり、たしかめるためには測量が必要だと考えられた。
- さらに、長さの単位としてのメートルを地球の大きさをもとに決めたいという動機がくわわった。
- 測量の結果、地球の形(の第2近似)は扁平な楕円体であり、極半径は赤道半径よりもその約300分の1だけ小さいことがわかった。
- なお、重力は単純に地球中心にむかっているわけではなく「重力異常」があることもわかった。そして、重力の方向に垂直な曲面としてジオイドを考えるようになった。
- 人工衛星の利用
- 最初の人工衛星は 1957 年にソ連 (ソヴィエト連邦) があげたスプートニク。
背景: 1957-58 国際地球観測年 (International Geophysical Year)
- 地球に関する寸法が精密になった。精密な情報の需要も生じた。
- また、人工衛星と電波を利用した地上の位置の決定の技術も開発された。
- そのうちの GPS (Global Positioning System) が1990年代からひろく利用可能になった。
ただし、「GPS」はアメリカ合衆国が運用する衛星群のなまえとされており、
同類の技術を一般的にさすばあいは、GNSS (Global Navigation Satellite System) というようになった。
- 第一学習社 『図説』 3章7節 (新課程版では 1章10節) [3] (*)「宇宙からの測量」
- GNSSによる位置決めの原理をごく単純化して言うと、
「4次元時空のなかで、位置のわかった4点からの距離がわかれば、自分の位置がわかる。」
ただしこの「位置」は4次元時空のなかの位置であり、3次元空間での位置と時刻とをあわせたものである。
地球上の位置 ... 緯度・経度・高さ
- 3次元空間のうちの点の位置は、3つの実数値で指定できる。
- 直交直線座標 ... 3つの長さ x, y, z
- 球座標 ... 1つの長さ r と、2つの角度 θ [英語読み シータ]、φ [英語読み ファイ]
- ギリシャ文字については、別ページ [ギリシャ文字]
- 緯度・経度・高さ
- この授業では、地球の形を球で近似したばあいの説明をする。
正確には、緯度・経度を知るためには地球楕円体を、高さを知るためにはジオイドを使う必要がある。
- 地球を球で近似したばあいの緯度と経度の模式図: [別ページ「緯度・経度・高さ」] ← かならず見てほしい。
- 「緯度・経度」は、球座標のなかまだが、数学・物理でつかう球座標 (r, θ, φ) とは定義がちがう。
気象学などの地球科学の文献と数学・物理の文献の数式をあわせて使おうとするときは注意が必要。
- 球座標の r の原点は球の中心だが、高さ z のゼロは球の近似では「地球の半径」の球面上 (現実の地球ではジオイド面)。
- 球座標のθは極からはかるが、緯度は赤道からはかる。緯度は (直角)-θに対応する。
- 経度は、球座標のφに対応する。経度の原点は (約束として) イギリスのグリニッジ旧天文台。
- (まぎらわしいことに、気象学では緯度のほうにφの字を使い、経度をλ[ラムダ]とする。)
天体の見かけの日周運動 と 地球の自転
天体の見かけの日周運動
図録 第5編 9節「地球の自転」 [A] 「天体の日周運動」
- (北半球の中緯度での観察によれば)
大部分の天体は、東から出て、南でいちばん高くなり (「南中」し)、西にしずむ。
ただし、北のほうの天体は、しずまず、低いところを西から東に動く。
(図録のうちの「恒星の見え方」)
- そのうちの大部分の天体は、相互の位置関係をかえない。
そのような天体を (ひとまず) 「恒星」とよぶ。
(ここでいう恒星は、現代の天文学の用語 (別の回にあつかう) では、星であるかもしれないし、遠方の銀河やクエーサーかもしれない。)
- 恒星は天球にはりついていて、天球が「天の北極」 (北極星に近い位置) と
観測者の位置をとおる軸のまわりで回転している、と解釈できる。
天球の座標
図録 第5編 8節「天球座標と暦」[A] 「天球座標」
- 天体の見かけの位置をのべるとき、天体は天球にはりついているかのように考える。天体の見かけの位置は2つの数値(いずれも角度)で表現できる。
- 地平座標: 地平面、それに垂直な天頂・天底の軸。天体の位置は「(高度角, 方位角)」または「(天頂角, 方位角)」。
(図録のうちの「地平座標」)
- 赤道座標: 天の赤道面(地球の赤道と平行な平面と天球のまじわる面)、それに垂直な天の北極・天の南極の軸。天体の位置は「(赤経、赤緯)」。
(図録のうちの「赤道座標」)
地球の自転の直接の証拠
図録 第5編 9節 「地球の自転」 [B] 「フーコーの振り子」
- フーコーのふりこ (レオン・フーコー Léon Foucault、1851年)
- ふりこのふれる平面は、「慣性系」に対して (おおざっぱにいうと、宇宙空間に対して) 同じ方向をたもつので、
自転する地球に固定した座標でみると、まわっていく。
- 緯度によって、方向がかわっていく周期がちがう。北極・南極で地球の自転周期と同じ (1 恒星日)。赤道では無限大。緯度のサイン(sin)に反比例する。
これは、「地球の自転角速度のうち、天頂方向の軸のまわりの成分がきく」と とらえることができる。
- ジャイロスコープ (これもフーコーの発明)
- 人工衛星の軌道。宇宙空間に対して同じ面にあるので、地球に対してはまわっていく。
(図録 のうちの「国際宇宙ステーション (ISS) の軌道」)
地球の公転
図録 第5編 10節 「地球の公転」; 惑星の公転とケプラーについては 11節「惑星の運動」
地球中心説 (天動説)
- 恒星がはりついた天球が地球のまわりをまわる。
- 太陽 ... 地球のまわりをまわる。その運動は天球の回転からすこしずつずれていく。
- 惑星 ... みかけの運動は、(天球上の) 速さが一定ではなく、逆行するばあいもある。
それを定量的に予測するために、惑星が「周転円」の円周上をまわり、周転円の中心が地球のまわりをまわる、というような、
複数の円運動のくみあわせによる説明が発達した。
太陽中心説 (地動説)
- コペルニクス Copernicus (代表的著作の出版年 1543年)
- 地球でなく太陽を中心と考えた。複数の円運動のくみあわせはあいかわらず。
(図録 第5編 9節 「地球の自転」 Column 「天動説と地動説」)
- ケプラー Kepler (同 1609年、1619年)
- 太陽中心を前提として、火星などの惑星の軌道をきめた。
- この段階で、惑星の軌道の大きさ (たとえば長半径の長さ) の相互の比はわかったのだが、
長さの寸法はわからなかった。そこで、地球の軌道の長半径を単位としてそのなん倍という形で表現した。
地球の軌道の長半径 が「天文単位」(au) とよばれることがある (この授業ではこの用語を積極的にはつかわない)。
- 図録 第5編 11節「惑星の運動」 [C]「ケプラーの法則」
- [第一法則]
- 軌道は楕円である。
- 楕円には長軸上に2つの「焦点」がある。太陽は惑星の軌道の一方の焦点にある。
- 軌道が長軸とまじわるところの一方が近日点 (太陽からの距離が最小)、反対側が遠日点となる。
(図録 では第二法則の図にでてくる。)
- 長半径を a、短半径を b とする。
- 楕円が円からずれたどあいは「離心率」であらわす。
離心率は、焦点と中心との距離 sqrt(a2 - b2) と 長半径 a との比であり、
扁平率と関係があるが同じではない。地球の現在の軌道の離心率は 0.0167。
- [第二法則]
- 太陽のまわりの公転の角速度は一定ではなく、「面積速度」が一定である。
- (ニュートンよりあとの人の理解によれば「角運動量の保存」が基本で、面積速度一定はそこからみちびかれる。)
- 太陽・惑星間の (時間で重みづけた) 平均距離は、長半径 (長径の半分) にひとしい。
- [第三法則]
- 同じ太陽のまわりの複数の惑星について比較すると、
公転周期の2乗と軌道長半径の3乗とが比例関係にある。
- ガリレオ Galileo Galilei (同 1610年, 1632年, 1638年)
- 望遠鏡で惑星・衛星の運動の新知識を得た (木星の衛星、金星の満ち欠けなど)。
- 地上の物体の運動 (落体、ふりこ) の法則性を定式化した。
- ニュートン Newton (同 1687年)
- 運動の法則 と 重力 (万有引力) の法則を定式化した。
- (ただし、現在つかわれる方程式の形にしたのはのちの人、代表をあげればオイラー Euler である。)
- ケプラーが得た惑星の軌道の規則性を説明できた。
- 天体の運動と地上の物体の運動を同じ法則で説明できた。(現象がちがう理由は地上では摩擦が大きいことである。)
- カッシーニ Cassini たち (1670年代)
- 火星の視差 (地球上で離れた2地点から同時に見た火星の天球上の位置の差) から三角測量の原理で火星までの距離を知った。
- (同時刻であることは、火星・地球・太陽が特殊な位置関係 (たとえば一直線上) になることできめた。)
- これとケプラーが得た比率とをくみあわせると、太陽・地球間の距離を知ることができた。
- (西條 (2011) の本の第3章第1節1-4の記述を参考にした。)
地球の公転の直接の証拠
- 年周視差 ... 地球の公転軌道を基線とした星までの距離の三角測量のようなもの。1838年に観測された。
- 図録 第5編 10節 [B]「地球の公転」のうちの「年周視差」
- 図録 第5編 15節 「恒星の性質」 [C]「恒星までの距離」 のうちの「年周視差法」
- 年周光行差 ... 光の速さと地球の公転運動の速さの比による星の見かけの位置の変化。1727年に観測された。
- 図録 第5編 10節 [B]「地球の公転」のうちの 「年周光行差」
地球の自転と公転
地球は自転しながら公転している
- 回転の向きは自転・公転とも北極側からみて反時計まわり。
- 太陽に対する自転周期 (太陽日、「1日」) と宇宙空間に対する自転周期 (恒星日、「自転周期」) はちがう。
- 図録 第5編 8節「天球座標と暦」 [C] 「時刻」のうちの「恒星日と太陽日」
- 「地球は、太陽に対して同じ方向を向くまでを1回転として何回転するあいだに、
宇宙空間に対して同じ方向を向くまでを1回転として何回転する」というふうに整理してみよう。
地軸の傾き
- 地球の自転軸は公転の軸(公転軌道の垂線)に対して傾いている。その角度は現在 23.4°である。
- 地軸の傾きは、22°～25°くらいのあいだを約4万年周期で変動することが、天体力学の計算でわかっている。原因は 他の惑星 (木星など) の重力。
- 図録 第4編 1節「気候変動」の [Zoom up]「ミランコビッチ サイクル」
- (地軸の傾きの大きさの変化とは別に) 地軸がどちらむきに傾くかも、他の惑星の重力を原因として、約2.6万年周期で変わっていく。
これを「歳差運動」という。
- 図録 第5編 9節 「地球の自転」 [C]「歳差運動」
- 天球で考えた太陽の軌道を「黄道」という。黄道面は地球の公転軌道面である。
地軸の傾きは、黄道面と赤道面のなす角でもある。
天球上で黄道面と赤道面がまじわるところが、春分点と秋分点である。
春分点は、天球上で春分のとき太陽が見える方向なので、太陽中心で考えれば地球が秋分のときにくる方向である。
- 図録 第5編 10章「地球の公転」 [A]「太陽の年周運動」の「太陽の年周運動」の図
- 地球上の季節ができるしくみ (別の回に説明する予定だが、とりあえず、地平座標で太陽高度のちがいに注目)
- 図録 第5編 10章「地球の公転」 [A]「太陽の年周運動」の「南中高度の変化」の図
- 歳差運動にくわえて、宇宙空間の中での地球の軌道の近日点 (地球が太陽にいちばんちかづく点) の方向もかわっていくので、
近日点の季節は、約2万年周期で変わっていく。
(これも「ミランコビッチ サイクル」の話題の一部分。)
この件は別の資料があるので、時間がとれれば紹介したい。
興味のある人のために暫定的に他大学の授業でつかったページを部分改訂したもの
[第四紀の氷期サイクルと地球の軌道要素] へのリンクを置く。
(2021-04-20, 2021-05-15, 2022-04-18, 2023-04-18), 2024-04-08, 2024-04-16
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
