けたがちがう数量をあつかうこと

理科のどの分野でも、いろいろな規模の数量をあつかうけれども、 地学ではとくに、人体にくらべて けたちがいに大きな数量をあつかうという特徴がある。 (人体にくらべて小さな数量、たとえば光の波長も出てくるが。)

物理量とSI単位

理科で出てくる量の(すべてではないが)多くは、物理量である。 (ひとまず、物理量とは、物理の方法であつかえる数量、と考えておいてほしい。) 物理量は多様だが、その多く(たとえば、体積、圧力、エネルギーなど)は、 長さ、質量[注1]、時間、温度などの基本的な「物理量の次元」の かけざん・わりざんで構成される。 そして、物理量をあらわす単位として、「国際単位系」(SI)の単位を使うことが奨励されている。 その単位は、長さはメートル(m)、質量はキログラム(kg)、時間は秒(s)、 温度はケルビン(K) [注2] から、かけざん・わりざんで組み立てられたものである。

長さの単位であるメートルは、 構想段階では、標準の根拠は地球の大きさ、 寸法の規模は人体の大きさを想定して、 地球(楕円体とみなす)の両極をとおる子午線の赤道から極までの弧の長さの1千万分の1として考えられた。 (子午線一周 は 4 × 107 m となる。) 実際に制定されたときの定義は、メートル原器という物体が使われた。 さらに定義は変遷して、まずある原子の振動にもとづいて時間の単位の秒を定義し、 1秒間に光が進む距離がなんメートルという形でメートルが定義されるようになった。 しかし、構想段階の考えは、メートルのよい近似にはなっており、おぼえておく価値がある。

質量の単位であるキログラムは、 構想段階では、長さの単位のメートルと、水という物質にもとづいて考えられた。 一辺が 10 cm (0.1 m)の立方体の体積が 1 リットル(L)とされ、 1 リットルの、水の密度[注]が最大になる温度(約 4℃)の純粋な水の質量が 1 kg とされた。 (1 cm3 の水が 1 g と言っても同じことである。) 実際に制定されたときの定義は、キログラム原器という物体が使われた。 2018年の改訂で、プランク(Planck)定数という基本物理定数の数値を定数としてきめたうえで、 キログラムはプランク定数とメートルと秒からみちびかれることになった。

【メートルなどのSI単位の現在の定義については、『理科年表』「物理・化学」の部の「単位」の項に書いてある。 ただし、キログラムなど複数の単位の定義は2018年に大きく変更され、 『理科年表 2020』以後の物理・化学の部の単位の章に紹介されている。 正確な定義は専門用語で書かれているので、 専門外の人が理解するためにはかなりくわしい説明が必要である。 それを知りたい人は、和田ほか(2014)、安田(2018)などの本を見てほしい。 ただしそこには2018年の標準改訂が案として書かれていることに注意してほしい。】

図表』の「付表」 216ぺージの「[3] 地学でよく使われる単位」に、 おもな物理量、そのSI単位、SI以外だが地学でつかわれることがある単位の一覧がある。

10のべき乗

理科では、数量を、「a かける 10のn乗」(nは整数) という形であつかうことが多い。 たとえば、アヴォガドロ定数の近似値は、6 × 1023 である。 (ここで10が採用されたのは、ヒトの手の指の数が10だったからにすぎず、 自然界の必然ではないのだが、何か一定の数値のベキ乗[冪乗]という形を使うことは必然だろう。)

国際単位系には、「10の n 乗」をあらわす単位名の接頭語がある。 おもなものは、n が 3の倍数である。つまり、千倍・千分の一が基本になっている。 キロ(k)、メガ(M)、ギガ(G)、テラ(T)と、 ミリ(m)、マイクロ(μ)、ナノ(n)、ピコ(p)の意味を理解して使えるようになってほしい。 『図表』の「付表」217ページの「[10] 10の整数乗倍の接頭語」に一覧がある。 (ただし、日常生活でも、専門でも、実際にどの接頭語を使うかは、習慣によっている。 たとえば、メガメートルはめったに使われず、 「何千キロメートル」のような表現が使われる。) 気圧(大気の圧力)の単位 ヘクトパスカル(hPa)のヘクト(h)は 100倍 (10の2乗倍)である。

時間の単位

長さの特殊な単位

天文・宇宙の専門分野では、メートルの10のべき乗倍でない長さの単位 「光年」と「パーセク」も使う。天文の回で説明する。

数値の指数型表現 (10の何乗) の性質

【このページの数式の表現は、たとえば「ak」の「k」が、 上つき添え字として読めることを前提としています。 もし「ak」のようにしか読めないばあいは、 まず、添え字として読める場をさがしてください。 わたしの授業をとっている人で、どうしても添え字として読めないばあいは、 わたしに相談してください。】

数量を、たとえば、「6×1023」(6 かける 10の23乗) のように、指数型で表現することがある。

「10のn乗」というとき、 n が「指数」、英語では exponent だ。 10 が「底 (てい)」、英語では base だ。

指数型で表現された数の演算をするとき、 指数の演算と数値の演算との対応の法則性を知って、応用できるようにしておくのがよい。

【ここでは一般的に、底を「B」と書いておく。 Bに10を入れてつかってみてほしい。 指数には「j」「k」 などの文字をつかってみる。 (指数は整数でなくてもよいのだが、ここではそれが整数のばあいを考えてみてほしいので、 整数につかわれることがおおい文字をえらんだ。 「i」は、複素数の「虚数単位」につかうので、さけた。)】

指数のたしざんは、数値のかけざんに対応する。

指数の正負の符号をかえることは、数値の逆数 (「X」に対する「Xぶんの1」) に対応する。 つまり、「Bのマイナスk乗」は、「{Bのk乗}ぶんの1」である。 (つぎの式では便宜上、分数を斜線で表現したが、分数は横線で表現することをすすめたい。)

指数のひきざんは、数値のわりざんに対応する。

2分の1乗」は平方根である。 (つぎの式は うまく書けませんでしたが、左辺は「2分の1」が指数になっているのです。 右辺は上の横線がBの上につづくのが正しいです。)

同様に、「n分の1乗」はn乗根である。

長さのスケールを10のべき乗で変えてみる

長さ規模を10倍ずつ変えて、何が見えるかを追っていく、有名な動画がある。 Eames [イームズ]夫妻が1977年につくった「Powers of Ten」というものだ。 (表題は日本語で言えば「10のベキ乗」だ。 「10の n 乗」を、英語では「n-th power of ten」という。) 日本語で説明をつけた動画が Youtube におかれている。 (動画を見るのにじゅうぶんなインターネット接続ができている人は) 見てほしい。 この画像は、人体に近い規模の部分は実写だが、 巨大なところや微細なところは、作者が当時の科学知識をもとに想像して作図したものであり、 今の学問的な知見からみると正しくないところもある。 (したがって、細部にこだわらないほうがよい。) しかし、さまざまな空間規模の現象があるのだということを考えさせる価値は、 今でもあると思う。

この動画に関連して、次の本も出ている。

同じ主題で、最近、つぎの本も出た。(話題がもりだくさんすぎるような気もするが。) 動画ではない。


2021-04-11
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
[地学 II]