理科のどの分野でも、いろいろな規模の数量をあつかうけれども、 地学ではとくに、人体にくらべて けたちがいに大きな数量をあつかうという特徴がある。 (人体にくらべて小さな数量、たとえば光の波長も出てくるが、それは物理・化学の応用ともいえる。) とくに、時間と空間の、日常生活にくらべて大きい規模をあつかう。
時間は、過去から現在をとおって未来にむかう (1次元の) 直線のようなものとみることができる。
時間軸上の位置が「時刻」である。時間軸の原点をきめると、時刻は原点からの時間という数量で表現できる。 時間の単位をきめれば、(数学用語でいう)実数の数値で表現できる。
われわれが生きている空間は3次元空間である。 空間内の位置は3つの実数であらわすことができる。
そのひとつの方法が「直交直線座標」である。 空間の中に原点をきめる。原点をとおって相互に直交する 3つの直線をひくことができる (これは「ユークリッド空間」の性質。われわれの空間はユークリッド空間で近似できる。) それを x軸、y軸、z軸とよぶことにし、x軸とy軸をふくむ平面を「xy平面」のようによぶことにする。 点Pの位置は、点Pからyz平面、zx平面、xy平面までの距離 (xP, yP, zP) であらわせる。
3次元空間内での方向と大きさをもつ量はベクトルである。 (数学用語のベクトルはもっと広い意味をもち、ここでつかうのは限定された意味である。) 点の位置は「位置ベクトル」とみることもできる。
物体の位置の時間にともなう変化 (位置ベクトルを時間で微分したもの) が その物体の速度 (velocity) である。これは3次元ベクトルである。 「速さ」 (speed) は速度ベクトルの大きさ (絶対値) をさすとされる。 しかし実際には「速さ」と「速度」ということばが区別なしにつかわれることも多い。
空間内の位置をあらわす方法は、直交直線座標のほかに、円筒座標、球座標などもある。 地球上の位置は、ふつう、{緯度、経度、高さ} という 2つの角度と1つの長さであらわされる。 この表現方法は球座標の変形である。 天体のみかけの位置も、同様に角度をつかった表現がされる。 それはそれが実際に出てきたところで説明する。
相対論 (特殊相対論および一般相対論) によって、時間と空間は完全には区別できないことや、 実際の空間がユークリッド空間を基準とすればゆがんでいることがわかってきた。 地学では、大部分の話題はユークリッド空間を前提とするが、 電磁波 (光やそのなかま) のつたわりかたについては相対論の知識をつかうことがときどきある。
[2024-04-11] [第2回の教材] の一部分ですが、4月9日の授業でふれたので、ここにも追加しておきます。
長さの単位であるメートル (m) は、 構想段階では、標準の根拠は地球の大きさ、 寸法の規模は人体の大きさを想定して、 地球 (球よりすこし近似をたかめて楕円体とみなす [くわしくは次回]) の両極をとおる子午線の赤道から極までの弧の長さの1千万分の1として考えられた。 (子午線一周 は 4 × 107 m となる。) 実際に制定されたときの定義は、メートル原器という物体が使われた。 さらに定義は変遷して、まずある原子の振動にもとづいて時間の単位の秒を定義し、 1秒間に光が進む距離がなんメートルという形でメートルが定義されるようになった。 (単位の定義についてくわしくは『理科年表』 の 2019 以後の巻を参照。) しかし、構想段階の考えは、メートルのよい近似にはなっており、おぼえておく価値がある。
天文・宇宙の専門分野では、メートルの10のべき乗倍でない長さの単位 「光年」と「パーセク」も使う。天文の回で説明する。 (さらに「天文単位」というものもあるが、この授業では単位とはみなさない。)
「質量」(英語では mass)は、だいたい日常用語でいう「重さ」に対応する。 しかし、物体を、たとえば人工衛星にもっていくことを考えてみよう。 人工衛星上では「無重量」[注]になる。しかし、物体固有の量はかわらない。 そこで「重さ」(「重量」も同じ)と、物体固有の量としての「質量」とを区別する必要があるのだ。
質量の単位であるキログラムは、 構想段階では、長さの単位のメートルと、水という物質にもとづいて考えられた。 一辺が 10 cm (0.1 m) の立方体の体積が 1 リットル(L)とされ、 1 リットルの、水の密度[注]が最大になる温度 (約 4℃) の純粋な水の質量が 1 kg とされた。 (1 cm3 の水が 1 g と言っても同じことである。) 実際に制定されたときの定義は、キログラム原器という物体が使われた。 2018年の改訂で、プランク(Planck)定数という基本物理定数の数値を定数としてきめたうえで、 キログラムはプランク定数とメートルと秒からみちびかれることになった。
理科で出てくる量の(すべてではないが)多くは、物理量である。 (ひとまず、物理量とは、物理の方法であつかえる数量、と考えておいてほしい。) 物理量は多様だが、その多く(たとえば、体積、圧力、エネルギーなど)は、 長さ、質量、時間、温度などの基本的な「物理量の次元」のかけざん・わりざんで構成される。
物理量をあらわす単位として、「国際単位系」(SI)の単位を使うことが奨励されている。 [SIは、英語でいえば international system (of units) にあたるフランス語からきた略語である。] その単位は、長さはメートル(m)、質量はキログラム(kg)、時間は秒(s)、 温度はケルビン(K) [注] から、かけざん・わりざんで組み立てられたものである。 SIでは、同じ次元の物理量には (原則として) 同じ単位がつかわれる。
【メートルなどのSI単位の現在の定義については、『理科年表』「物理・化学」の部の「単位」の項に書いてある。 ただし、キログラムなど複数の単位の定義は2018年に大きく変更され、 『理科年表 2020』以後の物理・化学の部の単位の章に紹介されている。 正確な定義は専門用語で書かれているので、 専門外の人が理解するためにはかなりくわしい説明が必要である。 それを知りたい人は、和田ほか (2014)、安田 (2018)、臼田 (2019, 2022), 佐藤・北野 (2018) などの本を見てほしい。 ただし、2018年に標準が改訂されるまえに出た本には改訂の案の段階のものが書かれていることに注意してほしい。】
数研出版『地学図録』 (2022 新課程版) の「巻末資料 8. 地学学習のための基礎知識 C. 単位と定数」 の「地学でよく使われる単位」には、原則としてSI単位がしめされている。 温度の ℃ と 角度の 度、分、秒 だけが SI からはずれたものである。
理科では、数量を、「a かける 10のn乗」(nは整数) という形であつかうことが多い。 たとえば、アヴォガドロ定数の近似値は、6 × 1023 である。 (ここで10が採用されたのは、ヒトの手の指の数が10だったからにすぎず、 自然界の必然ではないのだが、何か一定の数値のベキ乗[冪乗]という形を使うことは必然だろう。)
国際単位系には、「10の n 乗」をあらわす単位名の接頭語がある。 おもなものは、n が 3の倍数である。つまり、千倍・千分の一が基本になっている。 キロ(k)、メガ(M)、ギガ(G)、テラ(T)と、 ミリ(m)、マイクロ(μ)、ナノ(n)、ピコ(p)の意味を理解して使えるようになってほしい。 (ただし、日常生活でも、専門でも、実際にどの接頭語を使うかは、習慣によっている。 たとえば、メガメートルはめったに使われず、 「何千キロメートル」のような表現が使われる。) 気圧(大気の圧力)の単位 ヘクトパスカル(hPa)のヘクト(h)は 100倍 (10の2乗倍)である。
【このページの数式の表現は、たとえば「ak」の「k」が、 上つき添え字として読めることを前提としています。 もし「ak」のようにしか読めないばあいは、 まず、添え字として読める場をさがしてください。 わたしの授業をとっている人で、どうしても添え字として読めないばあいは、 わたしに相談してください。】
数量を、たとえば、「6×1023」(6 かける 10の23乗) のように、指数型で表現することがある。
「10のn乗」というとき、 n が「指数」、英語では exponent だ。 10 が「底 (てい)」、英語では base だ。
指数型で表現された数の演算をするとき、 指数の演算と数値の演算との対応の法則性を知って、応用できるようにしておくのがよい。
【ここでは一般的に、底を「B」と書いておく。 Bに10を入れてつかってみてほしい。 指数には「j」「k」 などの文字をつかってみる。 (指数は整数でなくてもよいのだが、ここではそれが整数のばあいを考えてみてほしいので、 整数につかわれることがおおい文字をえらんだ。 「i」は、複素数の「虚数単位」につかうので、さけた。)】
指数のたしざんは、数値のかけざんに対応する。
指数の正負の符号をかえることは、数値の逆数 (「X」に対する「Xぶんの1」) に対応する。 つまり、「Bのマイナスk乗」は、「{Bのk乗}ぶんの1」である。 (つぎの式では便宜上、分数を斜線で表現したが、分数は横線で表現することをすすめたい。)
指数のひきざんは、数値のわりざんに対応する。
「2分の1乗」は平方根である。 (つぎの式は うまく書けませんでしたが、左辺は「2分の1」が指数になっているのです。 右辺は上の横線がBの上につづくのが正しいです。)
同様に、「n分の1乗」はn乗根である。とくに、4分の1乗は4乗根である。
長さ規模を10倍ずつ変えて、何が見えるかを追っていく、有名な動画がある。 Eames [イームズ]夫妻が1977年につくった「Powers of Ten」というものだ。 (表題は日本語で言えば「10のベキ乗」だ。 「10の n 乗」を、英語では「n-th power of ten」という。) 日本語で説明をつけた動画が Youtube におかれている。 (動画を見るのにじゅうぶんなインターネット接続ができている人は) 見てほしい。 この画像は、人体に近い規模の部分は実写だが、 巨大なところや微細なところは、作者が当時の科学知識をもとに想像して作図したものであり、 今の学問的な知見からみると正しくないところもある。 (したがって、細部にこだわらないほうがよい。) しかし、さまざまな空間規模の現象があるのだということを考えさせる価値は、 今でもあると思う。
この動画に関連して、次の本も出ている。
同じ主題で、最近、つぎの本も出た。(話題がもりだくさんすぎるような気もするが。) 動画ではない。
『図録』 巻頭 11ページ 「指数」・対数と対数グラフ