• 遠山 啓 [ひらく], 1952: 無限と連続 — 現代数学の展望 (岩波新書 青版 96)。岩波書店, 194 pp.

家にあるのは、わたしが生まれるよりまえの1952年にでた縦書きの新書本 (くわしくいうと1952年9月の第2刷)、定価 100円とある。数式はよこだおし (左から右を上から下で表示) になっていることが多い。現代かなづかいだが、漢字は旧字体 (康煕字典字体) である。紙は酸性紙らしく変色が進んでいる (まだ文字を読むのにさしつかえるほどではない)。製本が、本体はまだ分解しないが 表紙、背表紙ははがれかけている。

これも「わたしをつくった本」のひとつといえる。わたしは、たぶん中学生のころ (1970年代のはじめごろ) に読んで、わからないところだらけだったがともかく全体に目をとおした。わたしがかよっていた中学校は実験的な教材開発をやっていて、わたしは「整数の集合はかけざんについて閉じている」といった用語をつかった、本書の第2章とにた内容の授業をうけた。どちらがさきで、そのおかげで他方をうけいれやすかったのか、よくおぼえていない。そして、その件が本書にあったかどうかはわすれていた。ともかく、そのころのわたしにはめずらしく、書名と著者名が記憶にのこった。記憶にのこった内容は、無限集合の要素の個数をかぞえると整数の個数と有理数の個数は同じだが実数の個数はそれよりも大きいという話 (第1章) と、射影幾何学という体系からユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学がみちびかれるという話 (第4章) だった。その後のわたしが、ものごとを集合の含む・含まれる関係としてとらえる習慣ができたことと、「投影」(どちらかというとアフィン変換だが) に関心をもったことの、きっかけになったとおもう。

2020年代になって、ふと本屋さんの店頭にあるのを見たら、横書きで版組みされていた。(CiNii Books の書誌情報を参考にすると、1980年の改版かららしい。) 文字列検索をしたいという理由で、Kinoppy の電子書籍を買った。電子版は2019-10-24 発行、それがもとづいた紙版は 第65刷 2018-10-05 ISBN 4-00-416003-0 とある。電子版のページ数は 203 だが、これには表紙などもふくむ。電子版には紙版のページ番号ははいっていないが、ページレイアウトをたもっているとすれば紙版の最大ページ番号はおそらく195だ。

本書には、章よりもこまかい節の見出しがないので、目次は簡単なものだ。
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はしがき
第1章 無限を数える
第2章 「もの」と「はたらき」 (電子版では「働き」となっている)
第3章 つくられた空間 (電子版では「創られた」となっている)
第4章 始めに群ありき (電子版では「初めに」となっている)
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【初版と電子版の文字づかいのちがいのうち、「働き」と「初めに」はわたしが1960年代の小学校でならった国語の規範にあっているが、「創られた」は1980年ごろ規制がゆるめられた規範によるものだろう。】

第1章 「無限を数える」では、まず「集合」というものと、その演算の説明がある。そして、集合の要素をかぞえる話になる。要素の個数が無限である集合については、「部分が全体にひとしい」という、有限のばあいの常識に反することがおこる。たとえば、分数の集合の要素の個数は整数の集合の要素の個数にひとしい (「可付番」である) ことが、カントールの対角線論法によって証明されるのだ。「代数的な数」 (整数の係数を持つ代数方程式の解) も「可付番」である。ところが、「直線上の点全体の集合の計数は 可付番 よりも大きい」。実数の集合の要素の個数は可付番よりも大きいのだ。

わたしが少年のときは読みとれなかったが (「社会性」などというたとえがかえって理解をむずかしくしたとおもう)、「集合論は、要素間の関係を破壊し、計数だけをもった。」というのがこの章のまとめらしい。

わたしはこの本で実数の連続性についての議論もまなんだと記憶していたのだが、本書にはその議論は見あたらず、わたしはそれをどこで最初にまなんだかおもいだせない。第3章のトポロジー [本書初版では「トポロギー」、電子版では「トポロジー」となっている] のところで連続性がでてくるが、それは集合間の写像によって点どうしの近さがたもたれる、そして、近さをちぢめていく極限をとることができる、といった議論である。本書3, 4章の議論をおいかければ、ユークリッド幾何学がトポロジーからひきついだものとして、数直線を構成する実数の連続性も言えるのだとおもうが、明示されてはいない。

第2章 「「もの」と「働き」」は、おもにガロアの群論を論じている。群は、集合と、その要素間の「結合」とからなる。たとえば、整数の集合について、たしざんという演算を「結合」とすれば、群がなりたつ。(わたしの中学の先生は「群」ということばをさけながら群の話をしていたらしい。)

集合の要素間の関係には、反射律、対称律、推移律 (初版の表現では「移動律」) がなりたつものがある。これらをまとめて「同値律」という。著者がかんがえる数学での集合は、要素自体は固有の性質をもたないのでそれによって分類することはできないが、要素間の同値関係によって類を構成することはできる。

また、要素どうしの順序をつけられることがある。順序は、「群」とは別の「束」[そく] という体系で重要となる。数学的帰納法は、自然数にかぎらず、順序をもつ集合に適用できる。

第3章 「つくられた空間」は、幾何学から話をはじめ、トポロジーにいたる。

平面は2つの実数、3次元空間は3つの実数に対応づけられる。「ピタゴラスの定理」をみたす距離の概念をたもちながら、(抽象的な) 空間の次元数をふやすことができる。「距離」の概念はかわってくるが、関数を点とみなす関数空間を考えることもできる。

トポロジーでは、距離は考えないが、集合が本来もつ性質にくわえて、「遠い・近い」は考える。「「極限をとる」という手続きに対して閉じている」ことが重要になる。

トポロジーで、家系図のようなもの (点と線によるグラフ) を論じることもできる。(ここで「閉集合」という概念が重要であることはわかるのだが、その概念のなかみをわたしはよく理解しないままきている。)

第4章 「始めに群ありき」。章の名まえからはけんとうがつかないが、この章は幾何学の話である。非ユークリッド幾何学を数学のなかでどのように位置づけるかについて、クラインによる概念整理にもとづいてのべたものらしい。

ここで「射影幾何学」という理論体系がでてくる。(少年のころのわたしは読みとばしていたのだが、それをつくった人として、デザルグ (1593-1662) と ポンスレー (1788-1867) の名まえがあげられている。) それは、トポロジーとユークリッド幾何学の中間に位置づけられる。わたしのことばでいえば、トポロジーでは直線性も距離も意味をもたない。ユークリッド幾何学では直線性も距離も意味をもつ。射影幾何学では直線性は意味をもつが距離は意味をもたない。われわれの知っている空間 (ユークリッド空間と言ってよいだろう) の中で、射影変換を考える。直線はは射影変換によって直線になる。直線の集合は射影変換について閉じているか? そのままでは閉じていないが、「無限遠直線」を追加すれば閉じたものにすることができる。

射影幾何学に条件をつけて限定する。射影変換のうちで 無限遠直線が無限遠直線に変換される変換 (「アフィン変換」) にかぎると、アフィン幾何学になる。本書では、初版、電子版とも「擬似 (アフィン) 変換」という表現をしているが、この概念をさす「擬似」という日本語表現をわたしは本書以外で見たことがない。(「擬似幾何学」といわれれば「幾何学に似ているが幾何学でないもの」とおもってしまうだろう。) 1952年当時、日本語圏にとってとてもあたらしい概念であり、用語が模索中だったのだろう。

アフィン幾何学からさらに限定すると、ユークリッド幾何学にいたる。(「無限遠直線上の2点を変えない」という条件だそうだが、くわしい話は省略されている。)

しかし、射影幾何学から、無限遠直線とはちがう曲線を特別あつかいすると、ボヤイとロバチェフスキーの幾何学と、リーマンの幾何学 (せまい意味のほう) の、ふたつの非ユークリッド幾何学にいたることができる、ということだ。

あとで遠山さんが「水道方式」の人であることも知ってから、本書第3・4章の思考様式は「一般的なトポロジーおよび射影幾何学の高みから、特殊化されたユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を見わたす」というものであり、「水道方式」と共通だとおもった。

本書には、学者の逸話がときどきはさまる。(少年のころのわたしは、数学の本題にとっては必然性がないので、読みとばしていた。大学教員になってから読むと、気になる。) ポンスレーは砲兵士官で、ナポレオンのロシア遠征で捕虜となりロシアの牢獄で考えた。ロバチェフスキーは大学教員だったが、研究業績がとまったのは 大学行政業務で多忙になったからだろう。大学の総長をしていたとき来客を案内し、来客は、門番とおもったが、門番にしては知識があると感心した、という逸話がある。