有効数字の考えかた

このページは、とりあえず書いたもので、さらに改訂しようと思っています。

不確かさ、誤差

自然科学で 【おそらく社会科学でも日常生活でもそうだが】 あつかわれる数量は、 それぞれに不確かさをともなっている。 ここでいう「不確かさ」【英語では uncertainty】は、 単純に「確かではない」という意味ではなく、 むしろ「誤差」に近い意味である。

「誤差」【英語では error、ただしerrorは「誤差」とちがう意味のこともある】は、 「真の値からの差」という定義が可能だが、 現実には、真の値を知ることができないばあいがほとんどなので、 誤差の値 自体ではなく、 誤差の確率分布の特徴をしめす数値がとりあげられる。

「不確かさ」は特定の数量をさすことはなく、 「誤差」の概念をふくんでもうすこしひろい概念である。

測定値は、測定の方法にともなう不確かさをもつ。 測定値をもとに演算によってえられた数量も、測定値の不確かさをひきつぐ。

たとえば、わたしは自分の体重を、だいたい70 kg 【kgはキログラム】だと思っていた。 【「重さ」と「質量」【英語では mass】の関係は別の回にあつかうが、 ここでは「体重」とは「人体の質量」のことであり、 したがってその数値はキログラムという単位で表現される、としておこう。】 ただし、それは不確かさをもつ数値で、60 kg かもしれないし、80 kg かもしれない。 これを、70 kg ± 10 kg とあらわすこともある。ここでの 10 kg は、いわば「誤差のめやす」である。

体重計で体重をはかったら、78.9 kg だった。 体重計の説明文によれば、この体重計の測定の精度は、体重が 100 kg までのばあい、100 g、 つまり 0.1 kg だ。 ひとまずそれを信頼するとすれば、 体重の測定値は、78.9 ± 0.1 kg あるいは 78.9 ± 0.05 kg ということができる (どちらがよいかは、ここでは保留しておく)。

有効数字

不確かさのある数量の数値をかくとき、 「有効数字」【英語では significant digits】という概念がつかわれる。

体重の例で考えてみる。

測定しないで推測していた、 60 kg であるかもしれないし 80 kg であるかもしれなかった 「70 kg」という数値の、2けための「0」は、数値としては意味がない。 【しかし、0をかかないで 7 kg としたら全然ちがう量になってしまうから、 位どりのために書かれている。】 これは「無効数字」なのだ。 このばあいの「70 kg」という数量の有効数字は、1 けた だ。 有効数字を明確にするために、10の べき乗 をつかった表現をすることがある。 このばあいならば「7 × 101 kg」となる。 実際には、10の べき乗 表現をするのは、 単純な小数で書くと けたが多くなってしまう数値のことが多いが、 そのときは、無効数字があらわれない表現がえらばれる。

体重計でえられた「78.9 kg」という数値の有効数字は、3 けた だ。 単位換算して、「78900 g」としても、ふたつの 0 は無効数字であって、 有効数字が 3 けたであることはかわらない。

「78.9 kg」という有効数字 3 けたの数値を知っていても、 わざと有効数字をへらして表現することもある。 有効数字 2 けた ならば、「79 kg」となるだろう。 有効数字 1 けた ならば、「80 kg」、無効数字を書かない表現では「8 × 101 kg」となるだろう。

不確かさの めやす としての 有効数字の けた数

有効数字のけた数は、不確かさの おおまかな めやす になる。 「有効数字 1 けた で 70 kg」とあれば、 「1 kg のくらいを四捨五入すると 70 kg」、つまり、およそ、「70 ± 5 kg」であると解釈することが多い。 【ここで「四捨五入」はおおまかな意味でつかっており、ぴったり 75 kg だったばあいのあつかいを気にしていない。】 「有効数字 3 けた で 78.9 kg」ならば、「78.9 ± 0.05 kg」であると解釈することが多い。

有効数字のけた数は、不確かさの尺度のうちとくに、相対誤差 (誤差 わる 数量自体) の めやすとなる。 しかし、有効数字のけた数は、相対誤差の精密な尺度ではない。 たとえば「99 kg (± 0.5 kg)」は有効数字 2 けた、「101 kg (± 0.5 kg)」は有効数字 3 けただが、 相対誤差は、どちらもおよそ ± 0.005 で、ほとんど同じである。 「10 kg (± 0.5 kg)」は 有効数字 2 けただが、相対誤差でいえば ± 0.05 で、 まえの2つとはだいぶちがう。

かけざん・わりざんと有効数字

不確かさをもつ数量どうしを演算して得られた数量は、不確かさをもつ。 その不確かさがどのようになるかは、「誤差の伝播」として論じられている。 ここではその話題に深入りせず、有効数字にどのようにあらわれるかだけを考える。

有効数字をもつ数量どうしの かけざん の結果の有効数字の けた 数としては、 演算のもとになった数量の有効数字のけた数のうち、すくないほうをとるのが適切だ。 (へたをすると、実際の有効数字はもっと すくないこともあるが。)

たとえば、たて 345 m (有効数字 3けた)、よこ 6 m (有効数字 1 けた)の 長方形の面積は、形式的には 2070 m2 となるが、 実質の有効数字は 1 けた であり、「2 × 103 m2」あるいは 「約 2000 m2」といった形でのべるのが適切だということになるだろう。

わりざんは、「A わる B」を「A かける Bの逆数」つまり「A かける (1/B)」と考えればよい。 Bの逆数 の 有効数字のけた数は、(だいたい) B の有効数字のけた数と同じと考えればよい。 したがって、有効数字の伝播の問題としては、わりざん は かけざんと同様に考えてよい。

たとえば、345 年 (有効数字 3けた) と 3 年 (有効数字 1けた) との比は、 形式的には 115 となるが、実質の有効数字は 1 けた なので、「約 100」というのが適切だろう。 【[2020-11-28 補足] しかし、「345年を3等分する」という計算ならば、この「3」は表現は1けただが、 じゅうぶん多いけた数の有効数字をもつ数値とみなして、「115年」とするのがよいと思う。】

実際の計算では、まず、結果の数量の有効数字のけた数を、 材料となる数量の有効数字のけた数と、計算の目的をもとに、仮にきめる。 そして、演算の過程で有効数字がうしなわれる可能性も考慮して、 中間結果の有効数字のけた数は、得たい結果の有効数字のけた数よりも、 やや多めにとるのがふつうである。 わたしの計算課題では、結果の有効数字は 2 けたでよいが、 中間結果は 3~4 けた とることを勧めることが多い。 数値の最上位けたが 1 であるときは、5~9 であるときにくらべて、 有効数字を 1けた多めにとることを勧めることもある (たとえば、9.8 が 出てくるならば、10.2 は 10 としないで 3 けた とる)。

計算機で演算するときは、 中間結果については計算機内での数値表現の有効数字 (8けたくらいであることが多い)だけを考慮し、 現実世界の数量の有効数字は、最終結果についてだけ考慮することが多い。

たしざん・ひきざんと「けた落ち」

有効数字をもつ数量どうしの たしざん・ひきざんでは、 有効数字のけた数よりも、数量を同じ尺度にならべたときの けた、 つまり、数量の規模 (英語でいう order of magnitude、日本語でも「オーダー」ということがある)が問題になる。

たとえば、有効数字 3 けたで 78900 g のものと、 有効数字 2 けたで 15 g のものをあわせた質量は、 形式的には 78915 g となるが、有効数字 3 けたで 78900 g と区別がつかない。 このばあい、15 g のものを たしたことは、無視されてしまう。 それでよいことが多いだろう。

しかし、78900 g に、 15 g ぐらいのものが、多数個 たされるならば、 毎回無視されてしまったのでは、まずいことになる。 そのようなばあいは、あらかじめ、 15 g ぐらいのものどうしのたしざんをしておいて、 その結果を 78900 g に たす、というように、演算の順序をくふうする必要があるだろう。

ひきざんも、正・負の符号をかえた数を たす と考えれば、たしざんと同様にあつかうことができる。

似た数量どうしのひきざんと「情報落ち」

日常生活にもあるが、とくに自然科学では、よく似た数量どうしのひきざんをすることが多い。 このとき、結果の有効数字のけた数が、材料となる数量の有効数字のけた数よりも小さくなることが多い。

たとえば、345 m (有効数字 3 けた)と 339 m (有効数字 3 けた)の差は、6 m (有効数字 1 けた)となる。

この現象を「けた落ち」と言ってしまうことがあるが、 上にのべた「けた落ち」と区別する必要があるので、 ここでは、いくつかの数値計算の教科書的文献で見かけた「情報落ち」という表現をすることにする。

このような ひきざん は必要なので、情報落ちは さけられない。 情報落ちが予想されるばあいは、材料となる数量の有効数字を、 情報落ちにたえるように多くとっておくことが必要になる。

正・負の値をとる数量をあつかうばあいは、形式的に たしざん であっても、 ここでいう似た数量どうしの ひきざん にあたる演算になるばあいがある。

誤差と「まちがい」

このページの主題から はずれるので簡単にのべるだけにするが、 数量の不確かさには、定量的な「誤差」のほかに、定性的な「まちがい」というべきものがある。 【英語での表現は一定しない。】 わりあい わかりやすいものとしては、 数量のけたを書きまちがえる (たとえば 0.1 とすべきところを 1 とする)、 文字を書きまちがえる、別のものの数量ととりちがえる、などのまちがいがある。 もっとわかりにくいまちがいもある。 まちがいを検出すること、訂正すること、まちがいを発生させないことは、 完全にはできないが、よりよくするくふうはある。


(2020-09-20, 2020-09-25, 2020-11-28) 2021-04-11
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
[地学 II]