気候システム論

ここでの「システム」の意味

システム(system, 日本語では「系」ともいう)ということばはいろいろな意味に使われる。 この授業の中でも、必ずしもいつも同じ意味に使われているわけではない。 しかし、その多くの場合に、意味の共通するところはある。 それはいわば、 物質・エネルギー循環系フィードバック・システムの両方の考え方を同時に適用すること、 と言えると思う。

【物質・エネルギー循環系は、熱力学でいう「系」と関係があるが、それと同じことではない。】

【地球(表層と内部を含む)の場合に即してシステムの考えを述べた文献としては 吉田(2002), 鳥海ほか(1996)などがある。 また、もう少し広い意味のシステムに関しては、 島津ほか(1975), de Rosnay (1975), Meadows (2008)なども参考になると思う。 計測・制御工学的な見かたを中心とした入門書として、 とりあえず星野(1993)をあげておく (もっと適切なものを見つけたらさしかえるかもしれない)。】

物質・エネルギー循環系

やや一般的に言うと、ここでいうシステムは部分(仮に「箱」と呼ぶ)に分かれ、 それぞれの箱の中に、ある量の「たまり」があり、 箱と箱との間には、その量の「流れ」があり、 「たまり」は「流れ」によって変化するのだ。

箱の数はたくさんあってもよい。 実際、気象学では、質量やエネルギーのたまりと流れを、 連続量である時間・空間座標の関数とみなして、微分方程式をたてるのだが、 それは、無限小の大きさの箱が無限個ならんだような形を考えることに相当する。

ここでいう「量」としては、「保存則」という性質を、 厳密でなくてもよいが近似的には、満たしているものを考える。 ここでいう「保存」とは(日常用語の「保存」とはだいぶ違って)、不生不滅ということである。 ただし、流れのある場合には、この不生不滅は、たまりの量が時間とともに変化しないことにはならず、 たまりの量が流れによる正味の出入り(はいる量から出る量をひいたもの)だけ変化することになる。 保存則が厳密でなく近似的に成り立つ量の場合は、出入りのほかに、生成・消滅(=負の生成)の項もある。 たとえば「エントロピー」という量の場合は、熱力学第2法則によって、生成は正の値をとることがわかっている。

「物質・エネルギー循環系」とは、質量、エネルギーという二つの保存量の たまりと流れのあるシステムである。 (実際には、全部の物質の質量ではなくて、物質の種類別の質量を考えることが多い。 その場合は、化学変化などは、それぞれの物質の質量保存の式に対する生成・消滅の項になる。)

【関連する話題は、「地球システムを考えるうえで重要な物理法則」のページの最初の部分を参照。】

[図 (仮)]

力と運動の関係は、標準的には運動方程式によって表現されるが、 これも、「運動量」あるいは「角運動量」という量の「たまり」と「流れ」に注目した扱いをすることもできる。 その場合、運動が続いていることが「たまり」であり、力のやりとりは「流れ」にあたるものになる。 ただし、運動量・角運動量はそれぞれ違った意味で方向と大きさをもつ量であり、 それを考慮した定式化が必要だ。 わたしの授業ではそれを具体的に説明する予定はないが、質問があれば教科書的文献を紹介する。

平均滞在時間と時定数

フィードバック・システム

フィードバック・システム(feedback system)は、計測・制御工学の概念である。

【また、数学でいう力学系(dynamical system)の理論でも使われる。 吉田(2002)はその基礎に立って議論している。】

機能をもった箱のようなものを考え、「要素」と呼ぶことにする。 その機能は、片側から信号を受け取り、それを変換したものを反対側から出すことだとする。 受け取る信号、出す信号をそれぞれ入力出力という。 「力」という字がはいっているが物理でいう力とは直接関係ない。 英語ではinput, outputである。

【これは、そのような機能のために作られた人工物を考えるとわかりやすいだろう。 たとえば速度計では、入力は速度であり、出力は針の位置であったり電圧であったりする。】

複数の要素をつなぎ、お互いに一方の出力が他方の入力になるようにする (各要素にはそれ以外の入力・出力があってもよい)。 すると、自分の出力が変換されたものが自分の入力に返ってくることになる。 これがフィードバックである(feedは動物にえさを食わせることである)。 フィードバックがあると、ない場合に比べて、 信号が強められる場合(正のフィードバック)もあれば、 弱められる場合(負のフィードバック)もある。

【速度計の出力をエンジンを制御する装置の入力につないで、 速度が上がりすぎたらエンジンの回転を落とすとすれば、 これは負のフィードバックのあるシステムを組んだことになる。】

ここでは、システムを、入力・出力が定量的変数であるものに限る。 そういうシステムのうちには、線形という性質をもつものがある。

【線形というのは英語linearまたは同様な他のヨーロッパ語からの不適切な訳である。 本来は曲線的ではなく直線的という意味だったはずだ。 しかし、この形で定着してしまっている。】

システムが線形であるとは、 (雑な言いかただが)入力がたしざんであれば出力もたしざんになることである。 入力xに対する出力をf(x)のように書けば、f(x+y) = f(x) + f(y)なのである。 また、kを定数とすれば、f(kx) = k f(x)である。 つまり、(ある意味でだが)出力が入力に比例すると言ってもよい。

ただし、ちょっとわかりにくいのだが、 時間に関する微分や積分の演算も線形である。 むしろ、運動方程式が加速度つまり速度の時間に関する微分を含んでいるように、 現実のシステムを表現する式は、 微分や積分を含んでいることが多い。

線形システムを解析したりその時間変化を予測したりする理論は発達している。 したがって、人工システムを組む場合には、 そのふるまいが、線形システムでよく近似されるようにすることが多い。 もちろん、現実の物理量は無限に大きくはなれないので、 現実のシステムにはそれぞれに線形近似ができる限界が存在する。

線形でないことを非線形(non-linear)という。 非線形システムの解析や予測の方法は、 線形システムの場合のようによくわかってはおらず、 厳密な意味では不可能と思われる場合もある。 自然に存在するシステムのほとんどは非線形である。 とくに、気体や液体(あわせて流体という)では、 流れによって運動量(速度かける質量)が流されるため、 速度の時間変化を決める式に、速度かける速度のようなものがはいってくる。 どちらかの速度を一定値で近似できない限り、非線形性は避けられない。

非線形システムの解析や予測に使われる方法には、次のようなものがある。

(1) 線形システムから出発して少しずつ近似を高めていく。 システムに平衡状態があれば、 平衡状態から少しだけずれた状態に注目すれば、 そのずれの量に関する線形システムで近似できることがある。 次の段階(2次の近似)では、ずれの量を2つかけたものは無視しないが、 3つ以上かけたものは無視する、という扱いをする。 3次の近似では3つかけたものまでをとりあげる、というふうにして近似を高めていくことができる。 このような方法で、平衡状態に近い状態については精密な議論ができるが、 どんな平衡状態からも遠い状態は扱えないことが多い。

(2) システム全体の大局的な性質に関しては確実なことが言えることがある。 システム内で起こる個々のできごとについてはわからないが、 それでも、起こりうることを制約するという意味がある。

(3) システムを要素にわけ、 各要素のふるまいをシミュレート(まね)するモデル(実体はふつう計算機内のプログラム)をつくる。 それを組み合わせてシステム全体のモデルをつくる。 モデルについても、そのふるまいをすっきりした理論で記述することはなかなかできないが、 特定の入力を与えれば、それに対する応答としての出力やシステムの状態に関する数量を細かく計算することができる。 いろいろなわかった入力を与えることによって、 自然のシステムを観察するだけよりも詳しくシステムの特性を論じることができる。 もちろん、モデルが対象システムの特性を正しく表現しているかという疑問は残る。

フィードバックと指数関数

[図 (仮)]

両方の特徴が重なるシステム

気候システムをフィードバックシステムとしてみたときの各部分の状態量は、 物質・エネルギー循環系としてみたときの「たまり」の量に対応することが多い。 (「温度」は「たまり」の量でないが、 システムの部分のエネルギーのたまりの量と関連づけることができる。)

また、フィードバックシステムとしてみたときの信号となる変量は、(すべてではないが) 物質・エネルギー循環系としてみたときの「流れ」の量に対応することが多い。

したがって、気候システムをフィードバックシステムとしてみたときと、 物質・エネルギー循環系としてみたときの構造は、同様なものとみなせることが多い。 (しかし、完全に同じではない。 詳しく考えるときは、どちらの観点を優先させるかを決める必要がある。)

文献


2007-06-25; 更新 2009-04-02, 2014-04-09, 2015-04-14
増田 耕一
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