フィードバックと指数関数

フィードバックがあるということは、ある量 X が変化すると、 それが、何かを介して、X 自体の変化を引きおこすということである。

これを表現したもののうちで、いちばん単純な数理モデル(微分方程式)は 次のようなものである(ただし a は定数)。

d X / d t = a X ... (1)

この解は、
X = X₀ e^{a t}
同じことであるが、
X = X₀ exp( a t )
という形になる。ここでexpは指数関数、X₀は時刻t = 0での Xの値である。

a の値が正なら、Xの絶対値は時間とともにどんどん大きくなっていく。 しかも、その大きくなりかた(時間あたりの変化)自体も、同じ形で 大きくなる。

a の値が負なら、Xの絶対値は時間とともに0に近づいていく。 しかし、0に一致はしない。

現実に起こる現象では、量が指数関数型に無限に大きくなることはない。 それは、質量保存、エネルギー保存、エントロピー増大などの制約を受ける からである。 そのような現象を表わす式は、Xの絶対値が小さいあいだは(1)式で近似できる かもしれないが、それが大きくなるにつれて、(1)式で近似する際に省略した 項が重要になる(あるいは、a が定数とみなせなくなる)。