地球の形と大きさ、地球の自転と公転

地学のうち 宇宙の部 と 地球の部 とが かさなるところからはじめることにした。

浜島書店『地学図表』を図表として参照する。

事実よりも、それがどのようにしてわかったかをおさえたいので、科学史的な話になる。 ただし、科学史をきちんと述べるのではなく、理屈で再構成している。 科学史そのものを知りたい人は、科学史の本をみてほしい。 この教材をつくるうえでは、次の科学史の本が参考になった。

• Michael Hoskin 著 (2003), 中村 士 [つこう] 訳, 2013: 『西洋天文学史』 (サイエンス・パレット SP-005)。丸善出版。 [(*) 表紙画像] {板倉図書館 2階} [読書メモ]
• 西條 敏美, 2011: 『測り方の科学史 I 地球から宇宙へ』。恒星社厚生閣。 [(*) 表紙画像] {板倉図書館 2階} [読書メモ]
• 山本 義隆, 1997: 『古典力学の形成』。日本評論社。 [(*) 表紙画像] [読書メモ]

地球の形と大きさ (図表 60-61ページ)

地球の形 (現代の認識)

• 第1近似: 球
• 第2近似: 回転楕円体 ([(*) 図表 61ページ [4 A]「地球楕円体」])
• 2軸の半径の長さが同じ、第3の軸はちがう。ただし半径の差は半径の 1/300程度。
• 第3近似: ジオイド (geoid) ([(*) 図表 「地球の重力」63ページ [4]「ジオイド」])
  • 平均海面を、それぞれの地点で重力に垂直になるように延長した曲面。

大地が平面でなく球であるという認識の根拠

科学が発達するまえ、大地の形は、平面だと考えられることが多かった。 (大地のひろがりが無限であるということも考えにくいので、どこかに世界の端があると考えられることが多かった。) しかし、古代のうちにも、大地は球のような形だと認識する人もいた。 その根拠としては、つぎのようなことがあげられる。

• 水平線上の船は上のほうから(たとえば帆あるいは帆柱から)見えてくる。 ([(*) 図表 60ページ [1]「水平線に沈む観覧車」]も同様。)
  • のこる問題点: 光は直進するか? (実際、大気による屈折はある。)
• 南北方向にちがった地域に行くと、太陽の高さ(高度角)や、昼の長さ(1日のうち太陽光が地表にとどく期間)がちがう。
• 月食のとき月の暗くなる部分が、まるい形をしている ([(*) 図表 60ページ [1]「月に映る地球の影」])。 月食は、自分の位置からみて太陽と月が反対側にくるときにおこる。 月食が、太陽の光についての地球の影が月にかかることだとすると、うまく説明できる。 (月食のしくみについては [(*) 図表 「地球と月」 21ページ [4 C]「日食・月食のしくみ」])

地球の大きさ

• 現在わかっているかぎりで、地球の大きさを、現代の観点からも基本的に正しい理屈によって、はじめて数値としてもとめたのは、 エラトステネス(Eratosthenes)という、 西暦紀元前230年ごろ、ヘレニズム時代 (ギリシャ語をつかう文明がエジプトまでひろがった時代) のアレキサンドリアの人。 [(*) 図表 60ページ [2 A] 「エラトステネスの方法」]
  • (それまでに、古代ギリシャで、幾何学 (英語 geometry : 語源は 地 - 測定) が発達し、エウクレイデス (英語読み ユークリッド) が定式化していた。)
  • 同時刻に太陽からくる光線は平行直線であることを前提とする。
  • シエネ (いまのアスワン)で、夏至の正午に太陽が天頂にくる(天頂角ゼロ、高度角が直角)。
    • [注] 地平座標 ([(*) 図表 「天球の座標」48ページ [2 A]「地平座標」]) での太陽の位置
      • 「太陽天頂角」: 天頂(頭の真上)方向と太陽の方向とのなす角。(図表 [2 A] では「天頂距離」となっている。)
      • 「太陽高度角」: 水平面と太陽の方向とのなす角。(図表 [2 A] では「高度」となっている。)
      • 太陽天頂角 + 太陽高度角 = 直角。(直角は90°であり(π/2)ラジアンである。)
  • その北にあるアレキサンドリアでの太陽天頂角と、シエネ・アレキサンドリア間の距離がわかっている。
  • すると、地球の周の長さを、幾何学によって計算できる。
  • 結果は、当時の長さの単位「stadion」がどれだけかについての不確かさはあるが、 桁 (order of magnitude) だけでなく、有効数字1桁まで、正しいようだ。
  • (実際には、両地点をむすぶ線は南北からいくらかずれているが。)
• 近代の測量・測地 ... 17世紀ごろからヨーロッパの国ぐにで測量技術が発達し、18世紀に地球の大きさ(とくに緯線の長さ)の測量がおこなわれた。
  • 望遠鏡の発明、三角測量技術(幾何学の応用)の発達、政治的需要もあって、地図づくりがすすむ。
    • 地図づくりのための測量については、 [(*) 図表 「地殻変動の測定」131ページ [2 A]「水準点」、[2 B]「三角点」]も参照。
    • 三角測量の原理は「三角形の1辺の長さとその両端の内角がわかれば のこりの辺の長さがわかる」ことをくりかえしていくこと。
    • (現代ではレーザー光の往復時間によって距離をはかるほうが角度よりも精度がよいので、3辺の長さで三角形を決めていく「三辺測量」のほうがふつうになった。)
    • 水準測量の原理は、水平(重力に垂直)に見通すことと、鉛直(重力の方向)の高さの差を測定することとをくりかえしていくこと。
  • ニュートンの力学、および、地球は変形しうる物体でその形は重力と遠心力による平衡状態にあるという仮定から、地球は扁平であるという説がたてられた。 しかし、逆に縦長の楕円体であるという説もあり、たしかめるためには測量が必要だと考えられた。
  • さらに、長さの単位としてのメートルを地球の大きさをもとに決めたいという動機がくわわった。
  • 測量の結果、地球の形(の第2近似)は扁平な楕円体であり、極半径は赤道半径よりもその約300分の1だけ小さいことがわかった。
  • なお、重力は単純に地球中心にむかっているわけではなく「重力異常」があることもわかった。(そして、重力の方向に垂直な曲面としてジオイドを考えるようになった。)
• 人工衛星が利用可能になった。(最初の人工衛星は1957年、ソヴィエト連邦のスプートニク)
  • 地球に関する寸法が精密になった。精密な情報の需要も生じた。
  • また、人工衛星と電波を利用した地上の位置の決定の技術も開発された。
  • そのうちの GPS (Global Positioning System)が1990年代からひろく利用可能になった。 ([(*) 図表 60ページ [2 B]「宇宙から地球をはかる」のうち「GPS」]) ただし、「GPS」はアメリカ合衆国が運用する衛星群のなまえとされており、 同類の技術を一般的にさすばあいは、GNSS (Global Navigation Satellite System)というようになった。
  • GNSSによる位置決めの原理をごく単純化して言うと、 「4次元時空のなかで、位置のわかった4点からの距離がわかれば、自分の位置がわかる。」 ただしこの「位置」は4次元時空のなかの位置であり、3次元空間での位置と時刻とをあわせたものである。

地球上の位置 ... 緯度・経度・高さ

• 3次元空間のうちの点の位置は、3つの実数値で指定できる。
  • 直交直線座標 ... 3つの長さ x, y, z
  • 球座標 ... 1つの長さ r と、2つの角度 θ [英語読み シータ]、φ [英語読み ファイ]
  • ギリシャ文字については [別ページ「ギリシャ文字」]、図表 付表 217ページ[11]「ギリシャ文字とその読み方」参照。
• 緯度・経度・高さ
  • この授業では、地球の形を球で近似したばあいの説明をする。 正確には、緯度・経度を知るためには地球楕円体を、高さを知るためにはジオイドを使う必要がある。
  • 地球を球で近似したばあいの緯度と経度の模式図: [別ページ「緯度・経度・高さ」] ← かならず見てほしい。
  • 「緯度・経度」は、球座標のなかまだが、数学・物理でつかう球座標(r, θ, φ)とは定義がちがうことに注意。
    • 球座標の r の原点は球の中心だが、高さ z のゼロは球の近似では「地球の半径」の球面上 (現実の地球ではジオイド面)。
    • 球座標のθは極からはかるが、緯度は赤道からはかる。緯度は (直角)-θに対応する。 (球座標のθは「余緯度」とよばれることがある。)
  • 経度は、球座標のφに対応する。経度の原点は(約束として)イギリスのグリニッジ旧天文台。
  • (まぎらわしいことだが、気象学では緯度にφの字を使い、経度をλ[ラムダ]とする。 気象学の文献と数学・物理の文献の数式をあわせて使おうとするときは注意が必要。)

天球の座標 (図表 48-49ページ)

• 天体の見かけの位置をのべるとき、天体は天球にはりついているかのように考える。天体の見かけの位置は2つの数値(いずれも角度)で表現できる。
• 地平座標: 地平面、それに垂直な天頂・天底の軸。天体の位置は「(高度角, 方位角)」または「(天頂角, 方位角)」。 ([(*) 図表 48ページ [2 A]])
• 赤道座標: 天の赤道面(地球の赤道と平行な平面と天球のまじわる面)、それに垂直な天の北極・天の南極の軸。天体の位置は「(赤経、赤緯)」。 ([(*) 図表 48ページ [2 B]])

地球と惑星の公転 (図表 52-55ページ)

地球中心説 (天動説)

• つぎのように考えられていた。
  • 恒星がはりついた天球が地球のまわりをまわる。
  • 太陽・月 ... 地球のまわりをまわる。天球上の恒星に相対的な位置はだんだんずれていく。
    • 天球上の太陽の軌道が「黄道」。 [(*) 図表 52ページ [1] 「太陽の年周運動」の下の図]を参照。
  • 惑星 ... 周期的だが(天球上の)速さが一定ではなく、逆行するばあいもある。
• 惑星の運動を予測するために、複数の円運動のくみあわせによる説明が発達した。

太陽中心説 (地動説)

• コペルニクス Copernicus (代表的著作の出版年 1543年): 地球でなく太陽を中心と考えた。複数の円運動のくみあわせはあいかわらず。
• ケプラー Kepler (同 1609年、1619年): 太陽中心を前提として、火星などの惑星の軌道をきめた。軌道は楕円である。太陽は楕円の焦点のひとつにある ([(*) 図表「惑星の運動」55ページ [2]「ケプラーの法則」[A]])。 太陽系の惑星の公転周期と太陽からの距離 (楕円の長半径)とには一定の関係がある。 ([(*) 同 [B]])。
• ガリレオ Galileo (同 1610年): 望遠鏡で惑星・衛星の運動の新知識を得た。また、地上の物体の運動(落体、ふりこ)の法則性を定式化した。
• ニュートン Newton (同 1687年): 運動の法則と重力(万有引力)の法則を定式化した。 (ただし、現在つかわれる運動方程式の形にしたのはのちの人、 代表としてひとりあげればオイラー Euler の1730～1760年代の業績である。) ケプラーが得た惑星の軌道の規則性を説明できた。 天体の運動と地上の物体の運動を同じ法則で説明できた。(現象がちがう理由は地上では摩擦が大きいことである。)
• 惑星の軌道の大きさ(たとえば長半径の長さ)の相互の比はケプラーの段階でわかったのだが、長さの寸法はどうやってわかったか?
  • 西條 (2011) の本の第3章第1節1-4の記述を参考にすると、 1670年代に、火星の視差 (地球上で離れた2地点から同時に見た火星の天球上の位置の差) から三角測量の原理で火星までの距離を知った。 (同時刻であることは、火星・地球・太陽が特殊な位置関係 (たとえば一直線上) になることできめた。) これとケプラーが得た比率とをくみあわせると、太陽・地球間の距離を知ることができた。

地球の公転の直接の証拠

• 年周光行差 ... 光の速さと地球の公転運動の速さの比による星の見かけの位置の変化。1727年に観測された。([(*) 図表 53ページ [4]「年周光行差」])
• 年周視差 ... 地球の公転軌道を基線とした星までの距離の三角測量のようなもの。1838年に観測された。([(*) 図表 53ページ [3] 「年周視差」])

地球の自転 (図表 50-51ページ)

地球は自転しながら公転している

• 回転の向きは自転・公転とも北極側からみて反時計まわり。
  • (約束として、北極側から見たときの向きを言う。「北極に向かって見る」と逆になることに注意。)
  • [[余談] 時計の身になってみたら時計の針は時計まわりなのか]
• 太陽に対する自転周期 (太陽日、「1日」)と宇宙空間に対する自転周期 (恒星日、「自転周期」)はちがう。 ([(*) 図表 49ページ [3] 「恒星日と太陽日」])
  • (「地球は、太陽に対して同じ方向を向くまでを1回転として何回転するあいだに、 宇宙空間に対して同じ方向を向くまでを1回転として何回転する」というふうに整理してみよう。)

地球の自転の直接の証拠

• フーコーのふりこ (レオン・フーコー Foucault、1851年) ([(*) 図表 51ページ [3 A] 左の図])
  • ふりこのふれる平面は、「慣性系」に対して (おおざっぱにいうと、宇宙空間に対して) 同じ方向をたもつので、 自転する地球に固定した座標でみると、まわっていく。 ([(*) 図表 51ページ [3 A] 右の図])
  • 緯度によって、方向がかわっていく周期がちがう。北極・南極で1恒星日。赤道では無限大。緯度のサイン(sin)に反比例する。 これは、「地球の自転角速度のうち、天頂方向の軸のまわりの成分がきく」と とらえることができる。 [(*) 図表 51ページ [3 B] 左] [(*) [3 B] 右])
• ジャイロスコープ (これもフーコーの発明)
• 人工衛星の軌道。宇宙空間に対して同じ面にあるので、地球に対してはまわっていく。

地軸の傾き

• 地球の自転軸は公転の軸(公転軌道の垂線)に対して傾いている。その角度は現在 23.4°である。
• 天球で考えた太陽の軌道を「黄道」という。黄道面は地球の公転軌道面である。 地軸の傾きは、黄道面と赤道面のなす角でもある。 天球上で黄道面と赤道面がまじわるところが、春分点と秋分点である。 春分点は、天球上で春分のとき太陽が見える方向なので、太陽中心で考えれば地球が秋分のときにくる方向である。 ([(*) 図表 52ページ [1] 「太陽の年周運動」の左の図]を参照。)
• 地球上の季節ができるしくみ。 ひとまず [(*) 図表 52ページ [2]「公転と季節変化」の図]を参照。

地球の自転・公転の軌道要素の万年～十万年の時間スケールでの変化

• 地軸の傾きは、22°～25°くらいのあいだを約4万年周期で変動することが、天体力学の計算でわかっている。原因は他の惑星(木星など)の重力。 図表「過去の気候変動」 160ページ [1 D] 「ミランコビッチ サイクル」に時系列グラフがあるが、 あまり精密な図ではないようだ。下の図の (c) を見てほしい。
• (地軸の傾きの大きさの変化とは別に) 地軸がどちらむきに傾くかも、他の惑星の重力を原因として、約2.6万年周期で変わっていく。 これを「歳差運動」という。 ([(*) 図表 51ページ [4]「歳差運動」])。
• 歳差運動にくわえて、宇宙空間の中での地球の軌道の近日点(地球が太陽にいちばんちかづく点)の方向もかわっていくので、 近日点の季節は、約2万年周期で変わっていく。 160ページ [1 D] 「ミランコビッチ サイクル」の図の「歳差」はこれなのだが、この図はあまりよくない。 下の図の (b) を見てほしい。
• この件はあらためて紹介したい。興味のある人のために暫定的に [2020年度春学期のページ「第四紀の氷期サイクルと地球の軌道要素」]へのリンクを置く。

図: 地球の公転・自転の軌道要素 (計算値)

横軸は時間で、40万年前から現在を過ぎて10万年後まで。

• (a) 公転軌道の離心率 (無次元量)。
• (b) 緯度別・季節別の大気上端に入射する太陽放射に影響する近日点の季節の効果 (無次元量)。 この値が正のとき北半球の夏の日射量が長期平均よりも小さい。
• (c) 地軸の傾き (度)。