熱容量: 物体の温度を単位温度(1 K = 1℃)上げるのに必要なエネルギー量。
比熱容量 (比熱): 単位質量あたりの熱容量。 【「比...」は多くの場合「単位質量あたりの...」】。 【比熱は比熱容量の省略表現と見てよい。】 同じ物質の同じ相(固体・液体・気体の別)では、比熱容量は厳密には一定ではないが 近似的に一定とみなせることが多い。
大気を扱うときには、単位質量あたりで扱うことが多い。 【気圧を鉛直座標として使うこともこれに関連する。 (x,y,p)空間の「体積」は質量に比例する。】
物体のもつエネルギーが内部エネルギーだけと見てよい場合、
Δu = cv ΔT ... (小倉3.23)
ただし、u は単位質量あたりの内部エネルギー、
Δuはuの変化(あとの状態から前の状態をひいたもの)。
ΔTはそれにともなう温度の変化。cvは比熱容量だが、
この表現が意味があるのは体積変化が無視できる場合なので、
cvは「体積一定での」(定容または定積)比熱容量である。
ある空気「塊」を考える。
uは内部エネルギー、Δuはその変化。
Δu = ΔQ - ΔW ... (小倉3.19変形)
ΔQはこの空気塊とその外との熱のやりとりで、空気塊が熱をもらうほうを正とする。
ΔWはこの空気塊とその外との仕事のやりとりで、空気塊が外に仕事をするほうを正とする。(ΔQ、ΔWは状態量の変化量ではない。)
仕事が、圧力pで隣の空気塊を押して距離Δxだけ動かすことだとする。 隣の空気塊との境界面の面積をAとすると、力はpA、仕事はpAΔxとなる。 AΔxは体積変化ΔVなので、空気塊が隣にする仕事はpΔVとなる。
以ここからはu, Δu, ΔQ, ΔWはいずれも単位質量の空気塊に関するものとする。
体積変化も単位質量あたりで考えることにする。
単位質量あたりの体積を「比容」といいαで示す。密度ρとの関係はα=1/ρ。
ΔW = p Δα ... (小倉3.21)
これを(3.19)に入れると
ΔQ = Δu + p Δα ... (小倉3.22)
ΔQ = cv ΔT + p Δα ... (小倉3.24)
体積一定(Δα=0)の場合、ΔQだけの熱を与えるとΔTだけの温度変化が起こる。 このときの比熱容量がcv。
理想気体の状態方程式から出発する。
ただし、質量あたりの形を使う。
[大気の状態方程式]のページ参照。
なお、ここでは R は空気に対する気体定数を表わすことにする。
p = ρ R T。 ここでρ = 1/αなので
p α = R T
これの微分をとると、d(p α) = p dα + α dpなので、
p dα + α dp = R dT ... (二宮20.12)
これを(小倉3.24)に入れると(以下小倉の本に合わせてΔで表現)
ΔQ = (cv + R) ΔT - α Δp
もし気圧が一定(Δp = 0)ならば、
温度をΔTだけ変えるのに必要な熱は(cv + R) ΔTなので、
圧力一定での(定圧)比熱容量をcpとすれば
cp = cv + R ... (小倉3.27)
ΔQ = cp ΔT - α Δp ... (小倉3.26)
圧力一定での変化を中心に考える場合は、温度Tの空気は、 cp T だけのエネルギーを持っていると考えたほうがわかりやすい。 このエネルギーをエンタルピー(enthalpy)という。 これは、内部エネルギーcv Tと、 体積変化に伴う項 p αの合計である。[2010-10-19 訂正あり]
断熱とは熱のやりとりがないこと。ΔQ = 0。 仕事の形でのエネルギーのやりとり(ΔW)はありうる。
(以下準備中)