空間スケールの大きい現象は時間スケールも大きいのがふつうである。 大まかに、現象の空間軸上の大きさ(長さ)と時間軸上の大きさ(継続時間)は比例すると言ってよいかもしれない。 ただし、鉛直スケールは大気の厚さ(さらに対流圏の厚さなど)で、 水平スケールは地球の大きさで、頭打ちになる。
空間・時間スケールがちがっても風速や現象の移動速度はだいたい 1 m/s から 10 m/s のけたで同じなのだ。
地球全体にくらべて小さい領域を考えるときは、球面の部分を平面で近似する。 すると、直交直線座標 (x, y, z) をつかうことができる。
xとyは水平座標である。 気象や海洋の分野では、地図を x-y平面 とみて、 x軸は図上の右向き、y軸は図上の上向きにとる。 極付近をあつかうばあい以外は、x軸は東向き、y軸は北向きにとることが多い。 zは鉛直座標で、気象では上向きにとる。 (海洋では下向きを正にとることが多いが、下向きを負にとる流儀もある)。
速度は、物体の位置の時間変化であり、 直交直線座標ならば、位置座標を時間で微分して得られる。 気象 (や海洋) の分野では、速度の3成分につぎのように (u, v, w)をつかう。
速度ベクトルには太字の v または u をつかうことが多い。 ベクトルをさす太字と成分をさす細字を区別して読む必要がある。 (今回の教材ページにはベクトルをさす太字は出てこないが、 黒板では、太字のかわりに縦の字画を二本線にして示すことがある。)
[大気の成層と対流のおこりやすさ (1) ]では 鉛直方向に注目した。ここではおもに水平方向に注目する。
地球上では、下向きに重力がはたらいている。重力の大きさは、質量×重力加速度である。 大気や海洋は地球全体にくらべて浅い層なので、重力加速度は一定値で近似するのがふつうである。
圧力は、面積あたりにかかる、面に垂直な方向の力である。 流体の内部の1点では、圧力の値は、方向によらない。 流体の内部の場所がちがえば圧力の値がちがう。 圧力を空間座標(水平でも鉛直でもよい)で微分したものを、(その軸の方向の)「圧力勾配」あるいは「圧力傾度」 (いずれも英語の pressure gradient に対応する語)ということがある。
鉛直方向については、[地球大気の概観、質量と圧力]の回にのべた。 流体の一部を箱のようにとりたてて考えると、 箱には、箱の上側の面に下向きの力(=圧力×面積)、下側の面に上向きの力(=圧力×面積)がかかっている。 この合計を、箱の体積で割ると、体積あたりの力は「圧力の差 わる 高さの差」である。 ただし、力は圧力の大きいほうから小さいほうに向かうので、負の符号がつく。 これは、高さの差を0にちかづけた極限で、鉛直の圧力勾配の符号をかえたものにひとしくなる。 質量あたりの力は、体積あたりの力をそこにある物質の密度で割れば得られる。
同様に、水平方向の圧力のちがいによる力は、体積あたりで、水平の圧力勾配の符号をかえたものにひとしくなる。
この力を「圧力傾度力」、大気のばあいは「気圧傾度力」という。
【水平方向を想定した気圧傾度力の説明が、佐藤 (2019) 108ページの 図7-5 とその前後の本文にある。】
(ニュートン力学の)運動方程式は、座標軸が「慣性系」である場合に成り立つ。 宇宙空間に固定した座標系は慣性系とみなせるが、 われわれは (気象学をやるときも)、自転している地球(の固体部分)に固定した座標系をつかっている。それは慣性系ではなく、慣性系に対して回転する座標系だ。 回転している座標系で、運動方程式が成り立っている形にするためには、 本来は存在しない見かけの力を補う必要がある。 見かけの力には、回転系にあるすべての物体に質量に比例してかかる「遠心力」と、 回転系に対して動いている物体に、質量と(回転系に対する)速度とに比例してかかる 「コリオリの力」がある。
ただし、気象学や海洋物理学ではふつう、地球の自転の遠心力は、重力に含め、 その合力の方向を下向きと考えてしまうので、遠心力はおもてには出てこない。
流体内部の摩擦を「粘性」(英語では viscosity) という。
大気のうち、地表面に接した、空間スケールが cm のけたのところでは、 本来の意味の粘性 (分子粘性) が重要である。
分子粘性がきく層の外側の、 地表面から高さおよそ 1 km ぐらいまでのところ (「大気境界層」という)では、 乱流 (大気の小規模な運動) が運動量をはこぶことが、 粘性と似たようなはたらきをする。(「渦粘性」ということがある。)
地表面からおよそ 1 km 以上高いところ (「自由大気」という) では、 通常、摩擦は無視できる。 (ただし、自由大気のうちでも小さな空間スケールのうちで風速が大きくちがう状況では、 摩擦が無視できないこともある。)
「遠心力」と「コリオリ (Coriolis) の力」がある。
質点とみなせる物体 (質量 m) が 平面内で 円運動している状況を考える。 軌道の半径 r、角速度 ω [オメガ 小文字] とする。
加速度は、常に円の中心に向かっている。 半径方向外向きの運動方程式はつぎのようになる。右辺は 質量 かける 加速度。
実際の力 = - m r ω2
ωで回転する座標で考えると、この物体は「止まっている」。 力のつりあいで考えるためには、
実際の力 + m r ω2 = 0
ここでつけ加わったm r ω2が「遠心力」。
【[補足] 別の授業でつかった円運動の模式図です。 そこでは実際の力として太陽による重力を考えたので、 太陽の質量 msが書きこまれていますが、 そのほかの記号は今回の話と同じです。】
地球上の物体の運動の、微小時間の部分をきりとってみると、 それは、回転運動の微小部分とみなすこともできる。
その回転軸は一般には地球の自転軸とは一致しない。 しかし、ひとまず、回転軸の向きが同じであるばあいを考えてみる。
まず、(Ω + ω) で回転している(地球に固定していない)座標系で考えると、 遠心力は (Ω + ω)2 に比例する。 これを展開すると Ω2 + 2 Ω ω + ω2 となる。大気や海洋の力学では 地球 (の固体部分) とともに Ω で 回転している座標系で考えるので、 この各項にあたるものが、次のように扱われる。
現実には、自転の軸と、相対的な回転の軸の方向が違う。 回転の軸は3次元空間のあらゆる方向をむきうるので、 角速度は、3次元ベクトルとしてとらえることができる。 (くわしくいうと「軸性ベクトル」という種類の量である。) 上に「2 Ω ω」と書いたものは、「2 かける (ベクトルΩ と ベクトルω の 内積)」、 つまり、「2 かける (ベクトルΩの大きさ) かける (ベクトルωの大きさ) かける (Ωとωのなす角のcos)」とするべきものなのだ。
大気・海洋の大規模な運動は、水平スケールが鉛直スケールよりも大きいので、 水平に近い運動になっている。 したがって、相対的な回転 (上の ω) は、ほぼ、それぞれの地点での天頂方向の軸のまわりの回転である。 したがって、地球の自転のうちで、天頂方向の軸のまわりの成分がきく。 地球の自転角速度をΩ、緯度をφとすると、 上の議論での Ω を、Ω sin φで置きかえるとよい。
2022-06-16の授業ではこのあたりまで説明しました。 ただし、天頂方向と天の北極方向とのなす角の cos が 緯度の sin にひとしいことの 説明がじゅうぶんではないので、次回 (2022-06-23) はその話からはじめます。
コリオリの力は、運動の向きを変えるが、 各瞬間の運動の向きに直交しているので仕事をせず、速度の大きさを変えない。
北半球では、上から見て、右向き(南半球では逆) [これを暗記しようとするのはうまくない。] 赤道上では0。
赤道から極に向かう流れ(北半球では南風、南半球では北風)を、 東に向かう流れ(西風)に変える向きに働く。[覚えるならばこちらを。]
(大まかには、地球の自転は西風と同じ向きなので、 もし赤道から離れる空気の塊が回転しない座標系に対する速度東西成分をたもつとすれば、 地球に対する相対的な西風の速度を得る、と考えることができる。 ただしこれを定量的に精密に計算するためには、「角運動量の保存」を考える必要がある。)
運動方程式の中でコリオリの力がでてくるところでは、 「2 Ω sin φ」という量がたびたびでてくる。 これが「コリオリ係数」(佐藤 2019 106ぺージの用語はこちら) または「コリオリパラメータ」とよばれることがある。 量記号は f をつかうことが多い。
[大気の力学 (2)]につづく。