[気候・気象学]
【[2021-06-13] 用語補足のブログ記事へのリンクを、それぞれに関連する話題のところに移動した。】

大気の力学 (1)


大気中にはいろいろな空間・時間スケールの現象があること (くりかえし)

空間スケールの大きい現象は時間スケールも大きいのがふつうである。 大まかに、現象の空間軸上の大きさ(長さ)と時間軸上の大きさ(継続時間)は比例すると言ってよいかもしれない。 ただし、鉛直スケールは大気の厚さ(さらに対流圏の厚さなど)で、 水平スケールは地球の大きさで、頭打ちになる。

空間・時間スケールがちがっても風速や現象の移動速度はだいたい 1 m/s から 10 m/s のけたで同じなのだ。


地球の大気や海洋の運動がおこる場の性質


(ニュートンの (?)) 運動方程式


大気(や海洋)の運動にかかわる力

[大気の成層と対流のおこりやすさ (1) ]では 鉛直方向に注目した。ここではおもに水平方向に注目する。

重力

地球上では、下向きに重力がはたらいている。重力の大きさは、質量×重力加速度である。 大気や海洋は地球全体にくらべて浅い層なので、重力加速度は一定値で近似するのがふつうである。

気圧傾度力

圧力は、面積あたりにかかる、面に垂直な方向の力である。 流体の内部の1点では、圧力の値は、方向によらない。 流体の内部の場所がちがえば圧力の値がちがう。 圧力を空間座標(水平でも鉛直でもよい)で微分したものを、(その軸の方向の)「圧力勾配」あるいは「圧力傾度」 (いずれも英語の pressure gradient に対応する語)ということがある。

鉛直方向については、[地球大気の概観、質量と圧力]の回にのべた。 流体の一部を箱のようにとりたてて考えると、 箱には、箱の上側の面に下向きの力(=圧力×面積)、下側の面に上向きの力(=圧力×面積)がかかっている。 この合計を、箱の体積で割ると、体積あたりの力は「圧力の差 わる 高さの差」である。 ただし、力は圧力の大きいほうから小さいほうに向かうので、負の符号がつく。 これは、高さの差を0にちかづけた極限で、鉛直の圧力勾配の符号をかえたものにひとしくなる。 質量あたりの力は、体積あたりの力をそこにある物質の密度で割れば得られる。

同様に、水平方向の圧力のちがいによる力は、体積あたりで、水平の圧力勾配の符号をかえたものにひとしくなる。

この力を「圧力傾度力」、大気のばあいは「気圧傾度力」という。

【[2021-06-11 補足] 水平方向を想定した気圧傾度力の説明が、 佐藤 (2019) 108ページの 図7-5 とその前後の本文にある。】

みかけの力 ... 遠心力とコリオリの力

(ニュートン力学の)運動方程式は、座標軸が「慣性系」である場合に成り立つ。 宇宙空間に固定した座標系は慣性系とみなせるが、 われわれは (気象学をやるときも)、自転している地球(の固体部分)に固定した座標系をつかっている。それは慣性系ではなく、慣性系に対して回転する座標系だ。 回転している座標系で、運動方程式が成り立っている形にするためには、 本来は存在しない見かけの力を補う必要がある。 見かけの力には、回転系にあるすべての物体に質量に比例してかかる「遠心力」と、 回転系に対して動いている物体に、質量と(回転系に対する)速度とに比例してかかる 「コリオリの力」がある。

ただし、気象学や海洋物理学ではふつう、地球の自転の遠心力は、重力に含め、 その合力の方向を下向きと考えてしまうので、遠心力はおもてには出てこない。

摩擦力

流体内部の摩擦を「粘性」(英語では viscosity) という。

大気のうち、地表面に接した、空間スケールが cm のけたのところでは、 本来の意味の粘性 (分子粘性) が重要である。

分子粘性がきく層の外側の、 地表面から高さおよそ 1 km ぐらいまでのところ (「大気境界層」という)では、 乱流 (大気の小規模な運動) が運動量をはこぶことが、 粘性と似たようなはたらきをする。(「渦粘性」ということがある。)

地表面からおよそ 1 km 以上高いところ (「自由大気」という) では、 通常、摩擦は無視できる。 (ただし、自由大気のうちでも小さな空間スケールのうちで風速が大きくちがう状況では、 摩擦が無視できないこともある。)

大気や海洋の大規模空間スケール(約100 km以上)の運動にかかわるおもな力


回転している座標系で働くみかけの力

「遠心力」と「コリオリ (Coriolis) の力」がある。

円運動の遠心力

質点とみなせる物体 (質量 m) が 平面内で 円運動している状況を考える。 軌道の半径 r、角速度 ω [オメガ 小文字] とする。

【角速度などについて、いくつかの注意】

加速度は、常に円の中心に向かっている。 半径方向外向きの運動方程式はつぎのようになる。右辺は 質量 かける 加速度。

実際の力 = - m r ω2

ωで回転する座標で考えると、この物体は「止まっている」。 力のつりあいで考えるためには、

実際の力 + m r ω2 = 0

ここでつけ加わったm r ω2が「遠心力」。

【[授業後補足] 別の授業でつかった円運動の模式図です。 そこでは実際の力として太陽による重力を考えたので、 太陽の質量 msが書きこまれていますが、 そのほかの記号は今回の話と同じです。】

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地球の自転 Ω に、それに相対的な回転 ω がくわわった場合

地球上の物体の運動の、微小時間の部分をきりとってみると、 それは、回転運動の微小部分とみなすこともできる。

その回転軸は一般には地球の自転軸とは一致しない。 しかし、ひとまず、回転軸の向きが同じであるばあいを考えてみる。

まず、(Ω + ω) で回転している(地球に固定していない)座標系で考えると、 遠心力は (Ω + ω)2 に比例する。 これを展開すると Ω2 + 2 Ω ω + ω2 となる。

大気や海洋の力学では 地球 (の固体部分) とともに Ω で 回転している座標系で考えるので、 この各項にあたるものが、次のように扱われる。

現実には、自転の軸と、相対的な回転の軸の方向が違う。 回転の軸は3次元空間のあらゆる方向をむきうるので、 角速度は、3次元ベクトルとしてとらえることができる。 (くわしくいうと「軸性ベクトル」という種類の量である。) 上に「2 Ω ω」と書いたものは、「2 かける (ベクトルΩ と ベクトルω の 内積)」、 つまり、「2 かける (ベクトルΩの大きさ) かける (ベクトルωの大きさ) かける (Ωとωのなす角のcos)」とするべきものなのだ。

大気・海洋の大規模な運動は、水平スケールが鉛直スケールよりも大きいので、 水平に近い運動になっている。 したがって、相対的な回転 (上の ω) は、ほぼ、それぞれの地点での天頂方向の軸のまわりの回転である。 したがって、地球の自転のうちで、天頂方向の軸のまわりの成分がきく。 地球の自転角速度をΩ、緯度をφとすると、 上の議論での Ω を、Ω sin φで置きかえるとよい。

コリオリの力は、運動の向きを変えるが、 各瞬間の運動の向きに直交しているので仕事をせず、速度の大きさを変えない。

コリオリの力の向き

北半球では、上から見て、右向き(南半球では逆) [これを暗記しようとするのはうまくない。] 赤道上では0。

赤道から極に向かう流れ(北半球では南風、南半球では北風)を、 東に向かう流れ(西風)に変える向きに働く。[覚えるならばこちらを。]

(大まかには、地球の自転は西風と同じ向きなので、 もし赤道から離れる空気の塊が回転しない座標系に対する速度東西成分をたもつとすれば、 地球に対する相対的な西風の速度を得る、と考えることができる。 ただしこれを定量的に精密に計算するためには、「角運動量の保存」を考える必要がある。)

コリオリ係数、コリオリパラメータ

運動方程式の中でコリオリの力がでてくるところでは、 「2 Ω sin φ」という量がたびたびでてくる。 これが「コリオリ係数」(佐藤 2019 106ぺージの用語はこちら) または「コリオリパラメータ」とよばれることがある。 量記号は f をつかうことが多い。

コリオリの力 (あるいは コリオリ効果) のいろいろな説明


大気の運動方程式

座標系

球座標

気象・海洋の分野では、地球の形は楕円体とせず球ですませることが多い。 大気の運動方程式をきちんと定式化するときは、球座標がつかわれる。 球座標の表現は、応用数学や物理での流儀と、気象学や海洋学での流儀が ちがうので、どちらの流儀で書かれているか注意してつかう必要がある。

局所的直交直線座標

地球全体にくらべて小さい領域を考えるときは、球面の部分を平面で近似する。 すると、直交直線座標 (x, y, z) をつかうことができる。

xとyは水平座標である。 気象や海洋の分野では、地図を x-y平面 とみて、 x軸は図上の右向き、y軸は図上の上向きにとる。 極付近をあつかうばあい以外は、x軸は東向き、y軸は北向きにとることが多い。 zは鉛直座標で、気象では上向きにとる。 (海洋では下向きを正にとることが多いが、下向きを負にとる流儀もある)。

速度は、物体の位置の時間変化であり、 直交直線座標ならば、位置座標を時間で微分して得られる。 気象 (や海洋) の分野では、速度の3成分につぎのように (u, v, w)をつかう。

速度ベクトルには太字の v または u をつかうことが多い。 ベクトルをさす太字と成分をさす細字を区別して読む必要がある。 (今回の教材にはベクトルをさす太字は出てこない。)

p座標

鉛直方向の運動方程式が静水圧のつりあいで近似できることを前提として、 鉛直座標として、高さ z のかわりに、気圧 p をとることが、 気象の分野ではふつうにおこなわれる。

観測の面では、ラジオゾンデ (気圧計・温度計などの観測機器と電波発信機をつけた気球) による観測で、 気圧が高さよりも直接的に測定されており、 上空の天気図 (「高層天気図」) を、高さ一定の平面ではなく、 気圧が一定の面についてつくる習慣がある。

理論の面では、(x, y, p) という尺度で見た「体積」は空気の質量に比例するので、 p座標は、密度一定の流体の力学を応用するのに便利なのだ。

pは下に向かってふえるので、zの向きとpの向きが逆であることに注意する必要がある。

dp/dt = ω [オメガ小文字、こんどは角速度ではない] を「鉛直 p 速度」ということがある。 (量の次元は速度でなく [圧力/時間] である。) ωが正は下降流である。

大気が均一な理想気体で、さらに温度が一様だと仮定すると、 気圧の鉛直分布は高さの指数関数の形をしている。 その条件では、pの対数が高さに比例する。 現実のデータを見るばあいにも、近似的に高さに比例することをねらって、 p座標は対数目盛りで表示することが多い。

p座標には、地表面の座標値が一定でないという欠点がある。 気象シミュレーションのためには、p座標をさらに変形して、 地表面の座標値が一定になるようにした鉛直座標が考案されている。


運動方程式を記述する二つの態度とその関係

流体の運動方程式を記述するのに、おおきくわけて2つの態度がある。 (ラグランジュとオイラーは18世紀の物理学者の名まえで、 実際にはどちらの人も流体を両方の態度で論じたことがあるのだが、 用語としてかたまってしまった。)

(x, y, z) 座標での速度を (u, v, w) とすると、つぎの関係がある。 ∂Q/∂t を「局所変化項」、あとの3項を「移流項」とよぶことがある。

dQ/dt = ∂Q/∂t + u ∂Q/∂x + v ∂Q/∂y + w ∂Q/∂z

【[授業中に即興で話したこと] 「北風がふくと寒くなる」ということを、つぎのようにとらえることができる。 Q を 気温 T とする。 仮に dT/dt = 0 (それぞれの空気塊は温度をたもって移動する) とする。 北のほうが温度が低ければ ∂T/∂y < 0 であり、 北風がふけば v < 0 であり、両者の積の v ∂T/∂y は正である。 もし他の項が 0 ならば、∂T/∂t < 0 となる。】


大気の運動方程式

(単位質量あたりで、「加速度 = 質量あたりの力」の形で 書かれている。 加速度は全微分で書いてあるが、 実際には局所変化項と移流項にわけて計算されることが多い。)

直交直線座標での基本的な形 (摩擦項を省略)

鉛直方向は静水圧近似

鉛直座標として p 座標を採用


地衡風 [ちこうふう] の つりあい (佐藤 2019 7.3節)

大気の運動のうち、大規模な (水平規模が 数百 km 以上の) 現象を考える。 それにもかかわらず地球の一部分を平面で近似できると仮定する。 摩擦力が無視できない地表から高さ1 kmぐらいまでを はずす。 コリオリの力が弱い赤道から緯度南北10度ぐらいまでを はずす。 この条件のもとで、水平の運動方程式は、 水平の気圧傾度力と、コリオリの力とがつりあって、合力が0であり、 一定の風速の風が定常的にふいている (等速直線運動である) という形で近似できる。 このつりあいを、「地衡風」という。 (海洋でも同様なことがなりたつが、「地衡流」という。)

【わたしは「地衡風」ということばは気圧の分布と風の分布との関係をさすと思っているが、 気圧(の分布)があたえられたときにこの関係からきまる (風速ベクトル) のことを地衡風という人もいる。 なお、単語のくみたてとしては、「平衡」の「衡」の字をふくむので、「地球の自転とつりあった風」のようなものだろう。】

単位質量の空気塊が、(地球に対して) 速さ(速度ベクトルの大きさ) v で動いているときの コリオリの力の大きさは f v と書ける。コリオリの力の向きは速度ベクトルと直角である。 そして、f は地球の自転の角速度と、その場の緯度によって、次のように書ける。

f = 2 Ω sinφ

ただし、Ω [オメガの大文字] は地球の自転の角速度。 近似的に(2 π / 1 日)、もう少し正確には、 ここの1日は「1恒星日」(太陽ではなく宇宙空間に対して地球が同じ方向を向く周期)。 Ωの値は、有効数字2けたで、7.3 × 10-5 rad/s になる。 [rad は ラジアン。角度の単位だが、弧の長さを半径の長さでわったものなので、 無次元と考えてよい。]

φ [ファイ] は緯度。北緯が正、南緯は負。 [物理数学の球座標のφでないことに注意。] たとえば、北緯45度では、sin φ = 0.5 である。

地衡風のつりあいを、ひとまず、風が東西方向にふいているばあいを考える。 u が風速の東西成分 (西風が正)、y が南北方向の座標 (北向きが正)だとする。 南北方向の気圧傾度は Δp/Δy である。 Δp が正のとき気圧傾度力は南むきなので、気圧傾度力は -Δp/Δy である。 (実際の北半球の温帯の対流圏では、Δpが負、気圧傾度力が北向きのことが多い。) また、空気の密度を ρ [ロー] とする。 海面付近の気圧での ρの代表的な値は 1.2 kg/m3である。

地衡風のつりあいは、単位質量の空気塊について、つぎのように書ける。 [南北方向の運動方程式で、加速度を 0 とした。] 【授業のとき見せた式は単位体積あたりで書いてあったが、このページでは単位質量あたりに統一することにした。】

-(1/ρ) (Δp/Δy) = f u

これを、u をもとめるように変形すると、つぎのようになる。

u = -(Δp/Δy)/(ρ f)

p座標を採用すれば、単位質量の空気塊について、地衡風のつりあいはつぎのように書ける。

-g(Δz/Δy) = f u

これを、u をもとめるように変形すると、つぎのようになる。

u = -g(Δz/Δy)/f

【[2021-06-11] 授業中に即席でかいた模式図と同じ情報を書きなおしました。 上から見た平面図で、北半球、図の上向きが北向き、と想定しています。】


【ここまで6月10日、ここから6月17日の授業であつかいます。 ここから下の内容は、6月10日の授業後に、とくにことわらず、書きかえています。】

傾度風のつりあい (佐藤 2019 7.4節)

やはり、大規模ではあるが、平面で近似できる状況で おこりうる定常状態を考える。

等圧線 (気圧がひとしいところをむすんだ線) あるいは 等高度線 (等圧面の高さがひとしいところをむすんだ線)が 円形である状況を考える。 それは、「低気圧」(水平にみわたして中心の気圧がまわりより低い) であるか、 その反対の「高気圧」であるかのどちらかである。 (「低気圧」ということばには 3次元構造の意味もあるが、ここでは水平2次元構造の意味でつかう。)

空気塊が等圧線にそって円運動する状況を考える。摩擦はないとする。 気圧傾度力とコリオリの力の合力が、円運動の向心力となる。

次の模式図は、上から見た平面図で、北半球を想定している。 風速 (青の点線でしめした) は力ではない。 空気塊に働く力は気圧傾度力とコリオリの力である。 2つの力はつりあっておらず、合力が円運動の向心力になる。

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佐藤 (2019) 7.4節の説明や、 小倉 (2016) の 図6.11 (142ページ)は、 (気象学でふつうの地球とともに回転する座標系ではなく) 円運動する空気塊といっしょに回転する座標系でとらえたものになっている。 このとらえかたでは、円運動の「遠心力」があらわれ、 それをふくめた合力はゼロになっている。

このようにして、円軌道の運動が定常的につづく状況を、 力のつりあいとみなして、「傾度風のつりあい」という。 (「傾度風」という風を論じることはあまりない。) わたしはこの用語は変だと思うが (気圧傾度と風が出てくるつりあいは地衡風をはじめ いくらでもあるので)、 「世の気象学者がつかっている用語」という意味で紹介する。

高気圧のまわりの傾度風の関係をつくりうる気圧傾度力には限界がある。 (速度の1乗に比例する項と2乗に比例する項をふくむ2次方程式になり、 実数解のないばあいがある。) 佐藤 (2019) 111ページ 図7-7 とその前後の本文、 小倉 (2016) 143ページ 図6.12 とその前後の本文を参照。


地表面に近い大気での低気圧・高気圧のまわりの風

現実の大気の、地表に近い部分 (高さおよそ 1 km 以下) では、摩擦がある。 摩擦力の向きは、風ベクトルに対して、おおまかには、反対向きである。

しかし、くわしくいうと、反対向きからずれている。 大気の中の摩擦力は、風速、つまり地表面に対する空気塊の速度ではなく、 風速の鉛直勾配、つまり、空気塊とそのちょっと下にある空気塊との速度の差に応じて生じるからだ。 このことは、気象学の入門書のうちでは、島貫 『気象の理』の 8.4節 「地表近くの風」 (102-107ページ) で論じられている。 同様なことは海洋の海面のすぐ下でも起こっていて、流速ベクトルの鉛直分布が らせん状になるので 「エクマン (Ekman) らせん」というキーワードで知られている。 たとえば、保坂『謎解き・海洋と大気の物理』の3-5節「らせん」(136-140ページ)、 花輪 『海洋の物理学】の8.1節「風に対する海洋の応答 --エクマン層の理論」(93-96ページ) などに説明がある。 ただし、これをていねいに計算するには、 地表面付近の乱流に関する情報が必要で、一般的にのべるのがむずかしい。

「傾度風」のばあいと同様に等圧線が円形だとすると、 摩擦力があるせいで、風が円運動からずれて、 低気圧ではいくらか中心にむかって吹きこみ、 高気圧ではいくらか外にむかって吹き出す。

つぎの模式図も、上から見た平面図で、北半球を想定している。 風速 (青の点線でしめした) は力ではない。 空気塊にかかる力は、気圧傾度力、コリオリの力、摩擦力の合力である。 等圧線が円形なので気圧傾度力は円の中心に向かっている。 コリオリの力の向きは風速に直角である。 摩擦力の向きは厳密には風速の反対ではないがそれに近い。 合力はかならずしも0ではないが値は小さくなっている。

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摩擦があると、運動エネルギーが失われていく。 また、気圧の大きいほうから小さいほうに流れが生じることは、 静水圧のつりあいのもとでは、その上に乗っている空気の質量のちがいを減らすことになり、 気圧傾度をよわめることになる。 しかし、もし気圧傾度を維持する作用がつづいている (有効位置エネルギー [これは説明していない専門用語だが] が供給されている) ならば、 摩擦をふくむ流れの形が定常的につづくことがありうる。

摩擦力の件の文献


2021-06-10, 2021-06-11, 2021-06-13
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
[「気候・気象学」目次] [立正大学用教材目次] [教材目次]