環境気象学概論

http://macroscope.world.coocan.jp/ja/edu/ris/env_met/pressure.html

[表記についての注] 数式中の分数の表記は、横線の上に分子、下に分母を書く形がのぞましいのだが、 ウェブページ用の HTML 言語のつごうで、斜線「/」をつかった表現をしている。 重要なところは黒板で横線による形をしめすことにする。 そのほかも、各自、横線で表現しなおしてみてほしい。

ギリシャ文字は [ギリシャ文字] のページを見てほしい。

気圧

[教科書 4.5 気圧とは何か]

「気圧とは何か」と問われれば、 「大気の圧力」または「空気の圧力」だと答えたうえで「圧力」を説明するのが妥当。 しかし、この回の主題はむしろ「気象学のなかでの気圧の役割」だ。

このページとかさなるが、もうすこしくわしいことを、 [(「気象・気候学」教材) 地球大気の概観、質量と圧力] に書いているので、 関心のある人はそちらも見てほしい。

圧力とは

圧力は面積あたりの力である。(しかし「圧力」と「面積あたりの力」は同じではない。)

力

運動方程式: 力 = 質量 × 加速度

静止 または 等速直線運動 のとき、力 = 0 (ひとつの物体に複数の力がはたらくとき、その合力が 0。「力がつりあっている。」)

力の SI 単位: N (ニュートン) = kg m / s2

応力と圧力

物体の境界面、あるいは物体内部に仮想的に考えた境界面にはたらく単位面積あたりの力を考える。 これが「応力) (stress) である。 3次元空間の中なので、直交する3つの平面があり、それに対して直交する3つの方向がある。

面に垂直な方向の応力を「垂直応力」(normal stress) 【 「物理学 I」 ([2021年度 教材ページ]) の教科書とした 小出 昭一郎 『力学』 82ページの用語は「法線応力」】という。 【この「垂直」は「鉛直」(上下方向)ではないことに注意。】

面に平行な方向の応力を「せん[剪]断 応力」あるいは「ずり応力」(shear stress) [注]【小出『力学』の用語は「接線応力」】という。

垂直応力 と せん断応力 の 図解 として、暫定的につぎのウェブページ (広告が多すぎて読みにくいが) を紹介する。 (機械工学の分野の材料力学のたちばで書かれている。)

応力は、数学用語でいうと (ベクトルのなかまだが、それよりも複雑な) 3×3の成分をもつ「テンソル」というものになる。 岩石や氷などの固体のばあい、3×3の成分がそれぞれちがう値をもちうるとしてあつかわないといけない。

液体や気体 (まとめて「流体」) だと話が簡単になる。 とくに、流体がとまっているとき、ずり応力はなく、同じ場所での垂直応力は向きによらず同じ値である。 静止流体の垂直応力は方向をもたない数量 (スカラー量) であらわすことができ、これを「圧力」という。 動いている流体のばあいや、固体のばあいは、応力は圧力だけではないが、応力を圧力とその他にわけて論じることはできる。

圧力が方向によらないことのデモンストレーション: 海面に比べて圧力の大きな深海に持っていったものは、 等方的に圧縮される。上下方向にだけ押されてつぶれるわけではない。

圧力の単位

圧力の SI 単位 Pa (パスカル)、気象でつかう単位 hPa (ヘクトパスカル) = 100 Pa。

圧力は単位面積あたりの力なので、その SI 単位は N/m2 = kg m-1 s-2 である。 これにパスカルの名まえがつけられた。(SIの人名にちなむ単位名の記号は、最初の字だけ大文字。)

海面に近い地表で経験する大気の圧力の代表的な値 (1) ... 100000 Pa、1000 hPa。

かつて 100000 Pa を bar (バール) といい、その千分の1を mb (ミリバール) といった。 SI単位を採用するにあたって、 理工学一般には、接頭語は千のべき乗にかぎって kPa, MPa などをつかうのが標準なのだが、 気象の分野では、mb で書かれたデータ表をかきかえたくなかったので、hPa が採用された。

海面に近い地表で経験する大気の圧力の代表的な値 (2) ... 「1気圧」、1013.25 hPa。 日本の「計量法」という法律を補助する政令「計量単位令」によれば 101325 Pa。 (教科書は 1013.245 hPa を採用しているが、計量単位令の数値とちがう理由は未確認。) SI 制定よりもむかしに、水銀柱 760 mm とされた。 それを、標準 (おそらく 0℃、1気圧) の 水銀の密度 と標準の重力加速度を仮定して換算し、 101325 Pa が得られた。 いまの計量単位令では (血圧につかわれている) 「水銀柱 mm」のほうが (101325 / 760) Pa と定義されている。

気圧傾度力

傾度 あるいは 勾配 (gradient)

本来は、地表面の高さ z の水平位置座標 x, y による(偏)微分 「(∂z/∂x, ∂z/∂y)」 という2次元ベクトル、あるいはその大きさ。

一般化して、3次元空間の物理量 Q(x, y, z) の 位置座標による(偏)微分 「(∂Q/∂x, ∂Q/∂y, ∂Q/∂z)」 という3次元ベクトル。 「grad Q」 あるいは「∇ Q」 (・も×も入れない) と書くことがある。

Qが圧力 p ならば、気圧の勾配 (3次元ベクトル) は grad p = (∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z)

気圧傾度力

圧力の差があると、力がはたらく。 力は、圧力の大きいほうから小さいほうにむかう。 3次元ベクトルで、鉛直成分も水平成分もある。

図に、鉛直のばあいをしめす。z 軸は上向き。ここでは鉛直方向の力だけを考える。 (密度と重力については、あとの「静水圧のつりあい」のところであつかう。)

pressure.png

Δx, Δy, Δz の直方体の箱を考える。 下側の圧力 p, 上側の圧力 p+Δp とする。

下の面にかかる力 p Δx Δy、上の面にかかる力 -(p+Δp) Δx Δy

箱の中の流体にかかる力の合計は -Δp Δx Δy

単位体積あたりにすると -Δp/Δz

Δz → 0 の極限で、もしx, y, t について一様ならば -dp/dz, 一般には偏微分で -∂p/∂z。マイナスがついていることに注意。

「気圧傾度力」というが、「気圧勾配力」とは (なぜか) いわない。

「気圧傾度の むき」という表現は実際にはあまりつかわないが、 「grad p の むき」と 「気圧傾度力 の むき」とは 逆であることに注意。

静水圧のつりあい

[教科書 4.5.3 静水圧平衡]

鉛直方向の運動方程式 ... 加速度、気圧傾度力(鉛直)、重力

加速度を省略。静水圧のつりあいによる近似。 水平スケールが数十 km以上の現象に有効。

p(x,y,z,t), ρ(x,y,z,t)として

∂p/∂z = -ρg

あるいは、静水圧のつりあいがなりたっていれば、気圧 p を鉛直座標にとれるので (「気圧座標」 「p座標」という)、

z(x,y,p,t), ρ(x,y,p,t)として

∂z/∂p = - 1/(ρg)

気圧と気柱の質量

[教科書 4.5.1]

静水圧の関係を、地表面から「大気上端」まで合計(積分)する。 (「大気上端」は、ここでは (当面の目的のためには) そこから上にある空気の質量が無視できる高さである。)

pressure2.png

単位面積あたりの質量 = 地表気圧 / g

(実際の地表気圧であって、あとでいう海面更正気圧でないことに注意)

静水圧のつりあいを前提として、水銀柱、水柱、大気柱のいずれでも、 面積あたりの質量が同じならば、その下の圧力が同じである。 水の標準の密度 1 g/cm3 で、標準の重力加速度 9.80665 m/s2 で計算すると、 1気圧は、水柱 10.33227 m にあたる。

[教科書 4.5.2 トリチェリとパスカルの実験]

トリチェリ以前に、 吸い上げポンプでは水が 10 m 以上持ち上げられないことが知られていた。 押し上げポンプは別。 1643年、トリチェリは水銀で実験し、 管の 760 mm (まだメートルという単位はなく、当時の実験で得られた数量がどれだけか、わたしは確認していないが) より上に真空とみなせる空間ができることを観察し、 大気圧は水銀柱 760 mm、水柱 10 m に相当すると考えた。

1648年、パスカルの姉の夫 ペリエ が、ピュイ ド ドーム山頂と山麓の気圧を、 それにつりあう水銀柱の高さによって、比較し、 その結果はパスカルの著作として出版された。

低地よりも、山の上のほうが、地上気圧が低い。

余談

ピュイ ド ドーム山は火山である。 どんな火山かについては、小山 真人 先生 (静岡大学) による紹介がある。

ピュイ ド ドームには、1875年に地球物理観測所がつくられ、いまもある。 その所長をしていた ブリュン (Brunhes) が (場所はその山ではないが) 岩石残留磁気から、 地磁気が逆転していた時期があったことをしめした。つぎの本に紹介されている。

気圧と高さの関係

[教科書 4.5.4 状態方程式と測高公式]

状態方程式

圧力・温度・体積 (あるいは密度) の関係式 ... 状態方程式。 理想気体のばあい簡単な形になる。 地球大気には理想気体の状態方程式が適用できる。 ただし変数のとりかたに気象独自の約束がある。(モルあたりでなく単位質量あたりで考える。)

気温一定と仮定したばあいの気圧あるいは密度の鉛直分布

地球大気中で、圧力や密度はけたちがいに変化するが、温度はけたちがいには変化しない。 ひとまず、温度を一定値として、 静水圧平衡の式と状態方程式とをくみあわせると、 高さの関数としての圧力 (あるいは密度) の高さによる微分がそれ自身に比例するという常微分方程式になるので、 その解は、圧力、密度いずれも、高さの指数関数型になる。 高さが約 5.5 km あがるごとに、圧力、密度がそれぞれ 1/2 になる。

p_z.png

指数関数 exp(x), exは、 df(x)/dx = f(x) をみたす f(x) のうち、f(0) = 1 となるものである。

(合成関数の微分をつかうとわかるが) a が定数のとき、 d{exp(a x)}/dx = a exp(a x) である。 x が大きくなるとともに、 a が正ならば増大 (無限に大きくなる)、a が負ならば減衰 (0にちかづく)。

【なお、大気物理の理論計算には、 密度が (1/2 でなく) 1/e になる高さをつかい、「scale height」という。 e = 2.718... である。 Scale height は、密度が 1/2 になる高さの log(e)/log(2) 倍、 log が 自然対数ならば 1/log(2) 倍、約 1.44倍 である。 地球大気の scale height は 約 8 km である。】

気圧と高さの関係式を「測高公式」ということがある。 (気圧計で高さを知るのにつかわれたから。)

地球大気の質量のうちどれだけのわりあいが、高さ___ から上にあるか?

  5.5 km ...    1/2
 11   km ...    1/4
 22   km ...    1/16
 55   km ... 約 1/1000

指数関数型になる理屈

Tを定数とし、静水圧のつりあいの式 [p, ρは z だけにより x, y, t によらないとみなして全微分記号をつかった]

dp/dz = -ρ g

と、理想気体の状態方程式

p = ρ Rair T

との組み合わせからρを消去すれば、 zの関数としてのpに関する常微分方程式

dp/dz = - (g/(Rair T) p

となる。

Rair T / g = H

とおけば、

dp/dz = -(1/H) p

となり、その解は

p = p0 exp(-z/H)

の形になる。ただしp0は積分定数 (微分方程式の解としては任意の値でありうる)だが、 z = 0での気圧の値に対応する。

Hはスケールハイトscale heightと呼ばれる、長さの次元をもつ量 (T, g, Rair がそれぞれ定数という仮定のもとでは定数) である。 z が H だけふえるごとに、pあるいはρが (1/e) になる [e = 2.718...]。 指数関数の入力となる変数は無次元量であるべきであり (経験式では常用の単位ではかった数値がはいることもあるが)、 ここでは 長さの次元をもつ z を 長さの次元をもつ H でわることによって無次元量になっている。

気圧の水平分布と天気図

[教科書 4.5.5 天気図上の高気圧と低気圧]

水平方向の気圧傾度力 ... 大気の運動を考えるうえで重要

地表面付近で観測した気圧をそのまま地図上に表示すると、 海上では大気の大規模な場が反映されているが、 陸上ではおもに地面の標高のちがいが見える。

そこで、気圧の観測値を「海面更正」する。 気圧計の高さと海面の高さのあいだに空気があると仮定して、海面の高さでの気圧をもとめる。

(仮定した空気の温度をどうあたえるかに任意性があるので、 地面の標高が高いところでは値が信頼できなくなる。 標高 約 1 km 以上のところの気圧の水平分布をつかむには、 地上天気図を見るよりも 850 hPa 面や 700 hPa 面 の 高層天気図を見たほうがよい。)

低気圧と高気圧

「低気圧、高気圧」は水平2次元の構造をさすばあいと、3次元の構造をさすばあいがある。

水平2次元の構造としては、 高さ一定でくらべて、 まわりよりも気圧が低いところを「低気圧」、まわりよりも気圧が高いところを「高気圧」という。 低気圧は気圧がいくら以下という しきい値 はない。 地上天気図では海面更正気圧の等値線 (「等圧線」) をひく。 (気圧は空間座標の連続関数なので) 等圧線が閉じているところは、低気圧か高気圧かのどちらかである。 静水圧平衡から、低気圧はその上の空気の質量が少ないところ、高気圧はそれが多いところでもある。

上空をあつかうときは、静水圧平衡を前提として、気圧 p を鉛直座標にとる。 高さ z のほうが変数となる。 上空の天気図 (「高層天気図」) では、 気圧が指定された値となる曲面 (「等圧面」) の高さの等値線 (「等高度線」) をひく。 等圧面高度がまわりより高いところは、 それに近い平面で見ると気圧がまわりより高いところなので、「高気圧」と言ってよい。「低気圧」も同様。 したがって、高層天気図の「高・低」「H・L」を (その気圧レベルでの) 高気圧・低気圧と読んでよい。

【次の図は、ひとまず緯度との関係を気にしないで、500 hPa 面高度に注目して見てほしい。】

thickness.png

「温帯低気圧」や「熱帯低気圧」などは、 地上天気図 (海面更正気圧の等圧線図) でみて低気圧であるような 3次元の構造である。 上空で水平2次元的にみると、低気圧であるばあいも、そうでないばあいもある。

低気圧は cyclone (サイクロン) ともよばれる。 これは直接には、風が渦巻いていることをさしている。 現代の気象学用語として、熱帯低気圧は tropical cyclone、 温帯低気圧は (熱帯以外の低気圧という意味で) extratropical cyclone という。 ただし、cyclone という用語は強い低気圧にかぎってつかわれることが多い。 高気圧のまわりも風がまわっているが、回転のむきが低気圧と反対なので (その理屈は次回)、 高気圧は anticyclone とよばれることがある。

ひとまず観測事実として、北半球の地上風は、上から見て 【気象専門家は地上から見上げるのではなく天気図を見るたちばでのべる習慣がある】、低気圧では反時計まわり、 高気圧では時計まわり。南半球では逆になっている。

また、まわる成分よりも不明確だが、地上風は、低気圧にふきこみ、高気圧からふきだしている。 このような風は、低気圧・高気圧の上にある気柱の質量の不均一をならすむきに働いている。

天気図を見る

気象庁の天気図についての説明はここにある。

気象庁の地上天気図はここにある。

気象庁の高層天気図はここにある。

天気図の記述方式には「国際式」(WMO (世界気象機関) の約束) と 「日本式」(気象庁の前身である中央気象台がきめたもの) があり、 とくに各地点の天気や雲量のしめしかたにちがいがある。 第1回 [気象と気候] の「天気」のところでふれた。 日本のラジオ気象通報や新聞天気図などでは「日本式」がつかわれてきた。 上にしめした気象庁の天気図には「国際式」がつかわれているものがある。 「ラジオ気象通報」で読み上げられている情報 (日本式) へのリンクが、上記リンクさきの「天気図について」のページの「各地の観測値と低気圧や前線の位置」というところにある。)

小課題

高さと気圧の関係を、スケールハイトが 8000 m の指数関数型だとする。

海面での気圧を 1000 hPa とする。つぎの高さでの気圧はそれぞれいくらか。 結果の有効数字は2けた程度でよい。

2021-10-18, 2021-10-25, 2021-11-10, 2021-11-27, 2022-10-21, 2022-10-25, 2023-10-23, 2024-10-22
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
[環境気象学 (増田担当分) のページ]