大気の質量と気圧

圧力とは (厳密な定義ではないがここでの文脈で有効な説明)

物体の境界面、あるいは物体内部に仮想的に考えた面で働く 面積あたりの力を「応力」という。 応力のうち、面に垂直な応力を「圧力」という。 流体(液体や気体)中では、ある場所の圧力は、考える面の方向によらないので、 方向を指定しないで値を考えることができる。 また、流体中では、摩擦が無視できるならば、応力としては圧力だけを考えればよい。

【海面に比べて圧力の大きな深海に持っていったものは、 等方的に圧縮される。上下方向にだけ押されてつぶれるわけではない。】

圧力の次元は力わる面積なので、 その国際単位はN/m² = kg m^-1 s^-2であり、 これにPa (パスカル)という名前がついている。 100 PaをhPa (ヘクトパスカル)といい、気象ではふつうこの単位を使う。 ミリバール(mb)は、hPaと同じことである。

静水圧のつりあい、気柱の質量

• 地球上の大気や海洋の運動を考えるうえでは、 第1に地球の重力が働いている場であること、 第2に自転している地球上にあることが重要である。 ここではまずその第1だけを考える。 地球の重力の働く向きが鉛直下向きである。 大気や海洋の運動にとって、鉛直方向と水平方向は違った性質をもつ。 なお、大気や海洋は地球全体に比べると浅い層なので、 重力加速度 g は一定値(9.80665 m/s² または 9.8 m/s²)とみなすことが多い。
• 大気や海水は実際には動いているが、 鉛直方向の運動に関して、空間スケール数十キロメートル以上で平均した状態を考える際には、 近似的に静止しているとみなすことができる。 鉛直方向の運動方程式は、重力と圧力による力のつりあいで近似される。
• 一定面積Aの空気の柱を考える(次の図ではA = Δx Δyとした)。 その柱のうち高さzから高さz+Δz (Δはデルタ、Δzでひとつの数値)までの 板のような部分を考える。 板の空気の(平均)密度をρとする(ρはギリシャ文字のロー)。 板の空気には、下向きにρgAΔzの重力が働いている。 ただし、gは重力加速度、ここでは一定値(9.8 m/s²)とみなしてよい。 板の空気に働くその他の力は、板の上面と下面にかかる圧力によるものだけである。 下面の圧力をp、上面の圧力をp+Δpとすると、 下面では上向きにp A、上面では下向きに(p+Δp)Aの力が働いている。 上向きを正として力のつりあいの式(0 = 合力)を書くと、
  0 = -ρ g A Δz - A Δp ... (1)
  圧力差を含む項目を左辺に移し、Aで割ると
  Δp = -ρ g Δz ... (2)
  さらにΔzで割ると
  Δp/Δz = -ρ g ... (3)。

• (2)の式を各層について考えながら、地表面(気圧p = p_s)から、 大気の上端とみなせるところ(それより上にある空気の質量が無視でき、 気圧もp_sに比べてけた違いに小さいところ。 下の図では「z = ∞, p = 0」と表現した)まで合計する。 (微分積分を使うとすれば、 「(3)式の左辺を微分の形 dp/dz とした(Δz→0の極限をとった)うえで、 その両辺をzで積分する」というべきところである。) ρの値は各層ごとに違うが、 ともかく、右辺は、単位面積(国際単位系ならば1 m²)の空気柱の 総質量に -g をかけたものになり、左辺は0 - p_sになる。 整理すると
  p_s = m_A g ... (4)
  ただしm_A [Aは下つき添え字で、mかけるAではない]は面積あたりの空気柱の質量。

密度と気圧の鉛直分布

大気の密度と気圧はいずれも、 大まかには、高さとともに、指数関数型で連続的に小さくなる(約5.5 kmごとに半分)。 次の図は気圧についてそれを感覚的に示したものである(厳密ではない)。

地球の大気の密度・気圧・温度の関係は理想気体の状態方程式でよく近似できる (別ページ大気の状態方程式参照)。 つまり、密度は気圧に比例し温度に反比例する。

もし温度が一定ならば、密度と気圧の分布はいずれも高さの指数関数 exp(-z/H)に比例する。 ここでHはスケールハイトscale heightと呼ばれる、長さの次元をもつ定数。 指数関数の入力となる変数は無次元量であるはずだ (経験式では常用の単位ではかった数値がはいることもあるが)。

Tを定数とし、 静水圧のつりあいの式

dp/dz = -ρ g

と、理想気体の状態方程式

p = ρ R_air T

との組み合わせからρを消去すれば、 zの関数としてのpに関する常微分方程式

dp/dz = - (g/(R_air T) p

となる。

R_air T / g = H 【[2021-10-25] T がぬけていました。訂正しました。】

とおけば、

dp/dz = -(1/H) p

となり、その解は

p = p₀ exp(-z/H)

の形になる。ただしp₀は積分定数(微分方程式の解としては任意の値でありうる)だが、 z = 0での気圧の値に対応する。

解が指数関数になるような微分方程式にまだ慣れていない人は その分野の数学の入門書を参照してほしい。 たとえば、小川 束(つかね) (2005)『環境のための数学』 [読書ノート]。

実際の大気中(大気の鉛直温度構造でいう中間圏から下）では、 圧力・密度は桁違いに変わりうるにもかかわらず 絶対温度は2倍くらいの範囲におさまっているので、 密度と圧力の鉛直分布は大まかには指数関数に近い。

海面付近の気圧での大気の密度は約1.2 kg / m³ (液体の水に比べて3けた小さい)。

参考: 岩田ほか『環境気象学入門』3章1節「大気の静力学平衡」、 浅井ほか『基礎気象学』3.4節「静力学平衡」、1.2節「大気の鉛直構造」。 小倉 『一般気象学』 3.2節, p. 43-44 (静水圧のつりあい); 2.1節, p. 23 (密度の鉛直分布)。 古川・大木『気象学入門』p. 16-20。

演習問題

大気の質量の季節変化(全球、南北半球)

大気の鉛直温度構造

大気は対流圏、成層圏などに分けられているが、 これは基本的に温度の鉛直分布によった区分である。