「数理地理学」とは、 地理学のうち、数学の理屈に基づく方法を使ったものをさしている。
【「言語地理学」は言語の(あるいは言語を使う人間集団の)地球上での分布を扱う学問だが、 「数理」あるいは「数」の地球上での分布を扱う学問は存在しないだろう。】
英語では、mathematical geographyという表現もあるが、 授業名としては、mathematical methods in geographyのほうがよいかもしれない。
数理地理学の対象は、地理学の対象になりうるものならなんでもよい。 方法も、数学の理屈に基づく点だけは共通でも、対象によって変わってくる。 だれが授業をするにしても、すべての方法を教えることはできず、 教える人がよくわかっている方法を中心とすることになる。
http://www.kokon.co.jp/h405-m.pdfにある)。モデル(model)ということばの意味の広がりは、 そのことばを使う人によって違う。 すべての使われ方を含むような定義は漠然としすぎていてあまり意味がない。
モデルは、(原則として)実物そのものではない。 しかし、なんらかの意味で、モデルのふるまいは実物のふるまいと似ている。 そして、人間にとって、 モデルに関する因果関係は 実物に関する因果関係よりも理解しやすい。 したがって、モデルに関する因果関係と、 モデルのふるまいと実物のふるまいがどのように似ているかを理解することによって、 実物のふるまいに関する因果関係にせまる(〜を推測する)ことができる。
【実物が人工的に作れない自然物である場合は、 実物のふるまいとその周辺の関連しそうな現象を観察して、 相関関係[注:相関係数だけをさすわけではない]が得られても、 因果関係はよくわからないことが多い。 他方、わかっている要素から組み立てられたモデルならば、 その中での因果関係を追いかけて理解することができる。】
数学は、記号論理やトポロジーなど、定性的な対象を扱う方法も含む。 「数理モデル」はそういう数学の応用であってもよい。 しかし、対象が(数学用語の)実数で表現できる数量の場合には、 「数理モデル」(mathematical model)と言うことも 「数値モデル」(numerical model)と言うこともあり、 この2つの用語の間に明確な区別はない。
(この授業で話題にするような)数理モデルは、微分方程式の形をとることが多い。 この方程式を、微分積分学(解析学ともいう)の方法で解いて、 解を数式の形で示せるとき、この解を解析解という。 解析解が求められなくても、 方程式を満たす具体的な数値(の近似値)を求めることはできる。 これを数値解という。 必ずというわけではないが、 解析解を得ることが可能な場合に「数理モデル」、 数値解しか得られない場合に「数値モデル」という使い分けをする傾向がある。
ここで考える物理法則の多くは、微分方程式の形をとる。 空間分布の問題はあとまわしにして、ここでは時間だけを独立変数として考えると、 ある量X (時間とともに変化することを明示するためX(t)とも書く) を時間tで微分したもの dX/dt が、Xの現在の値(およびその他の既知の情報)で 決まるという形をとることが多い。 (ここでは仮に「その他の既知の情報」を省略し、 「Xの関数である」という形に書いておく。)
dX(t)/dt = f(X(t)) ... (1)
基本的な物理法則のひとつである(NEWTONの) 運動方程式は、「質量×加速度 = 力」であり、「加速度 = 力/質量」とも書ける。 この加速度は、速度の時間あたりの変化量、つまり速度を時間で微分したものである。 (さらに、速度は位置を時間で微分したものである。)
また、質量保存(物質不滅)の法則は、孤立した系、 つまり物質が出入りできない箱のようなものを考えたときは、 「系のもつ質量は時間とともに変化せず一定である」と表現できるが、 開いた系、つまり壁を抜けて物質が出入りできる箱のようなものを考えたときは、 「ある期間に系内の質量が変化する量は、 その期間に、系の壁を通じて正味で入った質量(入った質量 - 出た質量)に等しい」 となる。 もし「期間」の長さを0に近づけた極限をとれば、 系内の質量を時間で微分したものに関する式になる。
エネルギー保存の法則(熱力学第1法則)もこれと同じ形をしている。
【「Xの変化量」という表現は、 期間の両端でのXの値の差 (あとの時刻での値から前の時刻での値をひいたもの)をさす場合 (量の次元はXと同じ)と、 それを期間の長さ(時間)で割って単位時間あたりにしたものをさす場合 (量の次元はXの次元を時間の次元で割ったもの)とがある。 わたしの教材ではどちらであるのかをなるべく明示するつもりだが、 文脈から判断する必要がある場合もあるかもしれない。】
ところが実際は、(1)のような微分方程式の解がうまく求まることはむしろ少ない。 微分の定義に立ちもどると、dX(t)/dtは、 「(X(t+Δt) - X(t)) / Δt」を、Δt→0とした極限である。 ここで極限をとるのをあきらめて、有限のΔtを使うことにする。 これを微分に対して差分という。 微分方程式(1)は、たとえば次のように差分近似できる。
(X(t+Δt) - X(t)) / Δt = f(X(t)) ... (2)
【(1)の差分近似はこれに限るわけではない。 もう少し詳しく知りたい人は、 [差分法の教材ページ]を見てほしい。】
これを変形すると、次のようになる。
X(t+Δt) = X(t) + Δt × f(X(t)) ... (3)
(3)式から、時刻tでの右辺の情報がそろっているとすれば、 時刻t+ΔtでのXの値を求めることができる。 次に、Δtだけ時刻を進めて考える。 これまでのt+Δtをtだと思って(3)式を使うと言ってもよいが、 tの値を動かさないで次のように書くこともできる。
X(t+2Δt) = X(t+Δt) + Δt × f(X(t+Δt)) ... (3')
これをくりかえしていけば、Δtの時間刻みで、 原理的にはいくらでも時間を進めた計算をすることができる。 ただし、計算を始める時点での右辺の値がわかっていなければならない。 たとえば、t = 0でのX(t)の値がわかっていればよい。 これを(Xの)「初期値」という。
システム(system)あるいは「系」ということばはいろいろな意味に使われ、 その全部を含めると意味が不明確になってしまう。 気象・水文のモデルとの関係では、次の意味が重要である。
熱力学でいう「系」を考えるのに重要なことは、 内と外との論理的境目を明確にすることである。 (必ずしも空間的境目とは一致しない。 たとえば大気中を透過する太陽光は大気の熱力学系に含めない。) 「モデルを作成するには、対象をシステムとしてとらえる必要がある。 その際に重要なことは、システムの内と外との論理的境目を明確にすることである。」 という趣旨のことを複数の本 (BLILIE, 2007 [読書ノート]、 GEORGESCU-ROEREN, 1971 [読書ノート])で読んだ。 そうなのかもしれない。
また、以上のシステムとは別のものとして、 「方程式系」(方程式の組)、「座標系」という概念も出てくる。