気候変化の件でも、洪水防災の件でも、 数値モデルでできるのはどんなことなのか、 多くの人に理解してもらう必要があると思っている。 そこで来学期に担当する授業ではモデルを主題とすることにした [シラバス案]。 総論の参考書をさがしていたところ、 東京の本屋の「コンピュータ・情報科学」の棚でこれを見つけた。 読み終えた印象では、授業の参考書として紹介したいというほどの本ではない。 しかし、自分でこれを上回るものを書ける自信もない。 ともかく、読みながら考えたことの覚え書きを残しておく。
著者の紹介は肩書のような形で 「Trissential Consulting, USA」(たぶん会社名)と書かれているだけである。 ソフトウェアエンジニアとして何かの数値モデルを開発してきた人と思われる。 いわゆる仮想現実(本書では最後の第11章の題材)に関する著書 (BLILIE, 1997)があるそうだ。
序章に続く第2章の「モデルとは何か」の議論は少しこみいっているが、 「モデルは対象物の表現(representation)だが 対象物そのものではなく、その特徴を取捨選択して表現したものだ」と言えるだろう。 モデルを、物体によるモデル(模型あるいはアナログモデル)、 画像・図式によるモデル、概念モデルと大きく3つに分類している。 そして計算機モデルは概念モデルを計算機上に実装したものだと位置づけている。
第3章ではモデルを使った仕事の手順を述べている。表3-1を少し簡単にして紹介する。
著者は概念モデルを構成する仕事(上のステップ6まで)と それを計算機プログラムとして実装する仕事(7)を区別している。 また、「検証」としてまとめられることが多い8と9を区別し、 verificationは実装が概念モデルと対応していることの確認(プログラムのデバッグを含む)、 validationはモデルが対象物の表現になっていることの確認だとする。
著者は「モデルの対象となるシステムは境界が明確でなければならない」と考えている (必ずしも空間的境界ではなく相互作用の図式上の境界だが)。 (わたしは熱力学でいう「系」についてはそのような認識があったが、 それ以外のシステムについてそれを意識したのは、わりあい最近、 GEORGESCU-ROEGEN (1971) [読書ノート]の本で経済モデルについて 読んだときだった。) さらに著者は、モデル化されるシステムは「孤立した」(isolated)ものであるべきだ という。 熱力学ではこの用語は「物質もエネルギーも出入りしない」という意味だが、 ここでは「中と外との間の因果的結びつきがじゅうぶん弱い」という意味らしい。 それにしてもこの条件はきびしすぎる。 たとえば大気と海洋の相互作用は大きいが、 大気だけ、海洋だけをモデルで扱うべき場合はある。 「内外の相互作用が内部の状態変数と境界条件とによって決定できる」 という条件にするべきだ。
著者のいうモデリングのパラダイム(paradigm)のもうひとつの条件は、 システムが決定論的な法則に従うことである。 第6章で紹介されるNEWTON力学の天体の運動への応用を 模範例と考えているようだ。 この場合は、数学による「解析解」が、厳密に有効ではなくても近似として有効である (「摂動法」が使える)。 しかし、そういう場合は、モデルを持ち出すまでもなく理論で答が出せるとも言える。 数値モデルがほしくなるのは、 法則が決定論的でもシステムのふるまいがカオスになる場合や、 確率論的(stochastic)な法則を考える必要がある場合が多い。 著者のいうモデリングのパラダイムは有効性が乏しいのではないか。 (むしろ、気候モデルのように「大筋を物理法則でおさえ、 細部に経験式を使う」という形をパラダイムと考えたらどうだろうか?)
なお、別のところ(複数)では、「モデルの有効なのは モデルを作る際に使ったデータの範囲に限られる」という議論をしている。 これは経験式によるモデルについては常に言うべきことだが、 物理法則を基礎とするモデルの場合に何を意味するかよくわからない (物理法則を確立する根拠となったデータの範囲だろうか?)。
第4章で著者は、 プログラム言語の構成原理のひとつである「オブジェクト指向」を、 実装だけでなく概念モデル構成(システム分析)の際にも有効な考え方だと主張する。 わたしの頭は手順立て型言語がしみついているので オブジェクト指向を正しく説明できるか自信がないが、 要点は次のようなことだと思う。
第5章ではモデルと理論・実験の関係を論じる。 わたしは、 「数値モデルは理論の産物であり、 モデルの実行であるシミュレーションは(数値)実験とみなせる」と 思っているが、著者もそれと同じ意味のことを言っているようである。 純理論的な方法によれば(それが適用可能な問題ならば)一般解が得られるが、 シミュレーションは具体的な数値を入れた計算なので解の例しか得られない。 そこから何かを主張しようとすると、 有限個の事例から一般法則を導くような「帰納」が可能なのか、という問題にぶつかる。 これが数値モデルを使った議論の弱みなのだ。 著者は「帰納とは実はPOPPER流の仮説反証なのだ」として 切り抜けようとしているようだが、 その場合の仮説とは何かははっきりしない。
第6章では、太陽系の天体の運動のモデルの発達をふりかえる。 バビロニア人、 PTOLEMAIOS、KEPLER、NEWTONと、 現象を経験的に説明するblack boxモデルから、 順次、原理に深入りするようになり、予測能力をましてきた、という解釈である。 本書でいうモデルの構造は、 ANDERSENほか (2006) [読書ノート]のいう「わく組み」を 詳しくしたものととらえることができるかもしれない。 (なお、COPERNICUSのモデルは、 道具だてはPTOLEMAIOSのモデルと大差ないのだが、 惑星の太陽からの距離を論じることができるようになったことが次の段階へのきっかけを与えた、と位置づけられている。) ただし、ここで著者は現代に生き残った知識を投影して過去の知識の進歩を評価しているのではないだろうか。 「より説明能力の高いモデルを選ぶべきだ」という指針は普遍的かもしれないが、 たとえばCOPERNICUSの同時代人がそのような指針に 従ったとして、モデルの優劣の判断ができたかは疑問だ。
第7章は、 「LAPLACEが夢見たような、 初期条件を与えられればすべてを予測するようなモデルは、不可能だ」 という議論だ。 カオスの話(わたしが別のページに書いたのと同様)もしているが、 むしろ重要なのは「対象の属性のすべてをモデルで表現することは不可能だ」ということのようだ。
第8章は気候のモデルの話だ。 いちばん簡単なモデル(0次元エネルギー収支モデル)の説明はよくできているし、 大循環モデルの説明もだいたいよい。
しかし気候変化に関する論調は、 21世紀の温暖化の見通しについて少し懐疑的すぎるようだ。 著者がおもな議論の根拠にしている4冊の本は PEIXOTO & OORT (1992) [読書ノート(英語)]などいずれも 1991〜1992年に出たものだ。 それぞれの本の主題に関しては今も参考文献にふさわしいものだと思うが、 温暖化の認識に限っては、今や古いと思う。 また、具体的な事実認識のうち 「約8千年前から5千年前の全球平均気温が現在よりも "several degrees" 高かった」 というのは、たとえ1991年ごろの認識としても大きすぎると思う。
そして、ここまでのところ、著者は、 気候システムが非線形である(結果が原因に比例しない)こと、 気候の一部である気象にカオスの性質があること、 モデルの細部に経験的モデル(parameterization)を使わざるをえないことなどをとりあげ、 「気候モデルによる予測にはあまり多くを期待できない」と言っているようだ。
ところが、「地球シミュレータ」上で動いているモデルの空間分解能にふれたあと、 「もっと細かい、たとえば1km格子のモデルをつくり、それに必要なデータも集めるべきだ」 と主張するところでは、逆に楽観しすぎているようだ。 確かに空間分解能を上げることで誤差を減らせる可能性は高いが、 雲の水滴ひとつひとつまで細かくはできないので、 「積雲のparameterization」はなくせても「雲の微物理のparameterization」が必要である。 著者のいうパラダイムに忠実なモデルにはならない。 また、データをとる観測はもちろん、 新しい計算機を作ることや運転することだけでも、 社会全体から見れば小さいもののわずかとは言えない量の資源を消費する。 気候モデル関係者は 「気候変化の予測が精度よくできれば社会の損失が減らせるので 資源の投入が正当化できる」と主張するし、著者もたぶんそう考えているのだろう。 しかし、「よい予測のためにはこれが必要だ」とは言えても 「これを使えば必ずよい予測ができる」と約束はできない。 資源投入をするかどうかは、社会にとっての一種の賭けである。
第9・10章は、社会へのモデルの適用の話だ。 生態系の個体数のモデル(とくに、食うものと食われるもののモデル)の成功を 根拠として、 著者は、人口や経済など、社会の定量的側面のモデル化に対しては楽観的である (わたしから見ると楽観的すぎる)。 その反面、歴史のモデルによる予測 (相模守虎子(2003-2005)のSF的設定の中の「日本シミュレータ」のようなもの)は不可能だという。 おもに「だれか(個人)がどんな新しい考えを思いつくかは予測困難だ」ということによる。 「歴史について可能なシミュレーションは予測ではなく思考実験だ」 というのはもっともだと思う。 しかし、未来の見通しをもつためには、 思考実験を計算機によって具体化してみることに、 あまり膨大ではない資源を投入する価値はあるのではないだろうか。 人間社会と環境・天然資源との相互作用も考慮に入れるために、 歴史学、社会科学、自然科学のわくを越えてシステムの構成を考えることが必要になりそうだ。