星のあかるさとエネルギーの流れとの関係

図表 1章 38-39ページ「恒星の明るさと色」。今回、ここへの参照は、ページ番号を省略します。

あかるさの尺度: 放射照度、放射輝度、放射光度《←「地学」》

(ややこしい用語が出てきてすみません。 「照度」「輝度」「光度」などの用語の意味や単位は、専門分野ごと、さらには個人ごとに、 かならずしも統一されていません。 わたしの授業では、「放射」をつけた形で、つぎのような意味で使うことにきめます。 古い材料や他の人の著作の引用でそうなっていないことがありますが、だんだん統一していきます。)

「放射照度」と「放射輝度」は、単位時間に単位面積をとおる電磁波のエネルギーの流れの量である。

「放射照度」は、放射を受ける(観測者の)たちばで、天体からの放射がどれだけとどくかをあらわす。 単位時間あたり、放射を受ける面の単位面積あたりの電磁波のエネルギーの流れの量である。 それは、(つぎの節でのべる理屈によって)天体から観測者までの距離の2乗に反比例する。

「放射輝度」は、放射を出す物体(ここでは天体)のたちばで、どれだけの放射を出すかをあらわす。 単位時間あたり、天体の表面の単位面積あたりの電磁波のエネルギーの流れの量である。

「放射光度」は、天体が単位時間に出す電磁波のエネルギーの流れの量である。(面積あたりではない。)

原則として、電磁波の波長は限定せず、すべての波長の電磁波をあわせたものを考える。 波長を限定するばあいは、そのことを明記する。

点光源または一様な球面の光源からひろがっていく電磁波《←「地学」》

光源を中心とする球の面で受けとる放射の放射照度は、光源からの距離の2乗に反比例 (マイナス2乗に比例) する。

『図表』の本に適切な図が見あたらず、自分でわかりやすい図をすぐにはつくれないので、 ひとまず、つぎのリンク先ページの図を見てください。

• [外] Wikipedia日本語版[[逆2乗の法則]]
• [注] そのページの本文にある「光の減衰の法則」の内容は、わたしがここでのべたいことに対応しているのだが、 わたしは「光の減衰の法則」という表現は使わない。 「減衰」ということばを、光のばあいならば、光が物質に吸収されるか散乱されるばあいにかぎりたいので、 このようにひろがっていくという意味では使いたくないのだ。
• [注] 図の注記中にある「流束」ということばは、英語では flux で、 わたしならば「フラックス」と書くが、この授業ではその用語もなるべく使わないことにする。 光のばあいについていえば、光にともなう単位時間あたりのエネルギーの流れをさしている。 蛇足ながら、「流速」ではない。

光源と観測者のあいだの空間では、放射の吸収、射出、散乱はいずれもおこらないと仮定する。

すると、光源を中心とする球を考えると、どの半径の球面をとっても、 単位時間(SI単位ならば1秒)にその球面を通過するエネルギーの流れの量はひとしい。

単位時間に球面の単位表面積を通過するエネルギーの流れの量は、 (球の表面積に反比例するから) 球の半径の2乗に反比例する (球の半径のマイナス2乗に比例する)。

光源からじゅうぶん遠ければ、球面の小部分を球に接する平面の小部分で近似してもよい。

(見かけの)等級

[(*) 図表 [1] 恒星の見かけの明るさ]

近代科学よりもまえの人びとが、人の視覚で見える星を1等級から6等級までに分けた。 近代科学によってそれを再評価すると、1等星の放射照度は6等星の放射照度の100倍だった。 そこで、あらためて、等級を、(地球にいる観測者にとどく天体からの光の)放射照度の対数の1次関数として定義する[注]。 係数は5等級の差が放射照度100倍に対応するように決める。 この意味での等級は、整数値にかぎらず、実数値をとる。

• [注]「等級は放射照度の対数の1次関数である」とは「a, b を適当な定数として『等級 = a + b × log(放射照度)』という式でかける」ということである。 ここで log を常用対数とするか自然対数とするかはどちらでもよい。ただし、それによって b の数値がちがってくる。

絶対等級

[(*) 図表 [2] 「絶対等級」]

標準の距離にもってきた(と仮定した)ときの等級。 標準の距離としては、10パーセク (1パーセクは年周視差が1秒角となる距離)をとる。 約32.6光年、約 3.09 × 10¹⁶ m である。 1秒角とは、角度の1度の60分の1のさらに60分の1である。 年周視差とパーセクの意味については、 [(*) 図表 [4]「恒星の距離」のうち「年周視差」] の説明を、 単位の換算については [(*) [4]「恒星の距離」のうち「距離を表す単位」] を 参照してほしい。

絶対等級は、星と観測者との距離に依存せず、 星の放射光度の対数の1次関数である。

小課題

「[2] 絶対等級」の図にふくまれた数値をぬきだしておく。

【[2021-10-04 17:50 訂正とおわび] 上の表の数値のうち、アルタイルとベガまでの距離 (それぞれ2けため) を、 書きまちがえておりました。 10月4日の授業時間にWebexで受講生が指摘してくださったので気づきました。 わたしが『図表』の本から書きぬく際の書きまちがいでした。まことにすみません。 4日17:50 に、『図表』の本にあわせて訂正しました。 なお『理科年表 2021』の数値も 1光年の精度で『図表』と同じです。 レポート課題の答えとしては、訂正まえに教材ページにあった値で計算されたものもよいとしますが、 これからやる人は訂正後または本の値で計算してください。】

絶対等級を計算してみよう。 公式にあてはめるのではなく、つぎの知識にもとづいて考えよう。

• 実際の距離での放射照度と標準の距離 (10 パーセク) での放射照度の比は、 距離の比の2乗 に反比例する の逆数である 【[2021-10-11] (小レポートしめきり後ですが) 表現を修正しました。 「反比例する」と言ったのでは定数倍の不確定がありえますが、ここでは定数は1なのでした。 なお、「Xの逆数」は 1/X です。】 対数をとると、放射照度の比の対数は、距離の比の対数の -2 [マイナス 2] 倍である。
• 星の等級の差 5 が、放射照度 100 倍 に相当する。 対数をとると、放射照度の常用対数 (10を底とする対数) の差 2 に相当する。
• 自然対数 (eを底とする対数) が計算できるならば、常用対数はつぎのようにして計算できる。
  log₁₀(x) = log_e(x) / log_e10

放射等級、実視等級など

見かけの等級、絶対等級それぞれ、つぎのようなきめかたのちがいがある。 天体観測の文脈で単に「等級」といったときは実視等級をさす。

• すべての波長の電磁波のエネルギーの流れによってきめる。(「放射等級」ということがある。)
• 人の視覚に感じる波長帯の電磁波(可視光)によってきめる。(「実視等級」というのはだいたいこれをさす。 近代科学がはじまるまえに決められた「1等星」などの階級わけはこれに近い。)
• そのほか、選択された波長帯の電磁波によってきめる。 たとえば、青の光を主とする波長帯できめた「B等級」と、 可視光の中央付近の波長帯できめた「V等級」があり、 その2つの差を、「色指数」(星の色をあらわす指標となる数値)として使うことがある。

(「見かけの」と「実視」は、ふだんは同義語だが、天文学の学術用語としてはちがった意味につかわれていることに注意。 「実視絶対等級」はあるが、「見かけの絶対等級」などというものはない。)

放射光度、天体の表面積、表面温度

図表 [3]「明るさと諸量」のうち [(*)「明るさと表面温度」] [(*)「明るさと大きさ」]

恒星をかたちづくる物質は、たいてい、気体またはプラズマの状態になっており、明確な表面はない。 それにもかかわらず、おおくのばあい、恒星が出す電磁波の大部分は、 恒星の中心から一定の半径の球面から出てくるとみなすことができる。 この球面を、太陽のばあい「光球」という。 ここでは、他の恒星のばあいについても「光球」という表現を使うことにする。 ただし、この「光球」は、可視光の波長帯できめたものではなく、 それぞれの恒星が出す電磁波の主要な部分できめたものである。

恒星からの放射は、多くのばあい、光球の表面からあらゆる方向に同様に(「等方的に」)出ていくとみなせる。 恒星の放射光度は、光球表面の放射輝度に、光球の表面積をかけたものである。 光球の形は球だと考えてよいので、その表面積と半径の関係を使えるようにしておこう。

恒星からの放射は、光球の表面温度での黒体放射で近似できることが多い。 黒体放射の放射輝度は、表面温度(絶対温度)の4乗に比例する。 (Stefan-Boltzmannの法則、 [電磁波 (放射)]のページで説明した。)

太陽以外の恒星は、観測者からの距離が遠いので、表面積や半径を直接観測することができないが、 次に述べるように、光のスペクトル(あるいは色)から表面温度を推定することができ、 黒体放射の近似を使えば、表面での放射輝度をもとめることができる。 他方、絶対等級がわかれば、放射光度がわかる。 この知見を組み合わせると、表面積や半径を知ることができる。

とくに、温度が低いのに放射光度が大きい星は、表面積が大きい星、つまり「巨星」であるはずだ。 逆に、温度が高いのに放射光度が小さい星は、表面積が小さい星、つまり「矮[わい]星」であるはずだ。

光のスペクトルと色

「スペクトル」とは、さまざまな波長の波がまざったものを、波長ごとにわけてみることをさす。 近代科学の発達したうち早い時期(17世紀ごろ)に、 可視光を、プリズムなどの器具によって波長ごとに 赤、黄色、緑、青、紫のように分けることができるようになり、 赤のほうが波長が長く、紫のほうが波長が短いことがわかった 【2021-10-03 訂正しました。 2021-10-04 の「地学」の講義の録画をしたときは、波長の長短を逆に書いていました。】 その後、赤外線・紫外線など、可視光以外の波長の電磁波もあることがわかった。

いまでは「スペクトル」ということばはさまざまな意味に使われる。 そのひとつは、 [(*) 図表 [5]「恒星の色」]の 左側のグラフにあるように、 放射のエネルギーを波長の区間別にわけた数値を示すことである。 恒星からの放射のスペクトルは、厳密には黒体放射ではないが、 光球の表面温度の黒体放射で近似できることが多い。

他方、星の色は、可視光をさらにわけた波長区間別のエネルギーの分布と関連している。 たとえば、赤の波長の光が相対的に多い星は赤く見え、 赤も緑も青も同程度に多い星は白く見える。黒体放射と対応づけると、 恒星のうちで、表面温度が高い星は、やや青に寄った白、 表面温度が低い星は、赤に見える。 色の情報があれば、恒星の表面温度をおおまかに推定することができる。

恒星のスペクトル型(の おもなもの)は、表面温度(太陽ならば「光球の温度」というところをこう言ってしまうことが多い)が高温と考えられるものから順に、 O, B, A, F, G, K, M という記号であらわされている。 【スペクトル型の符丁は暗記する必要はないが、アルファベットで符号化されていることと、 およそ表面温度に対応することは知っておいたほうがよい。】

[(*) 図表 [6]「恒星のスペクトルとその型」]

なお、星の光のスペクトルをこまかく見ると、 狭い波長範囲で暗く(エネルギーがすくなく)なっているところがある。 これは、原子や分子がそれぞれ特定の波長の電磁波を吸収することによってできた現象で、 「吸収線」とよばれる。 地上で観測した天体の光の吸収線は、 天体の光球の物質によるものと、地球の大気の物質によるものがある。 いろいろな観測を組みあわせることで、それを区別して、天体を構成する物質がだんだんわかってきた。 (ヘリウムは地球上で発見されるよりまえに太陽の光のスペクトルの吸収線として発見され、 太陽にちなむ名まえがつけられた。)

(表面(光球)温度が同じ星でも、吸収線の強さがちがうことがある。 それは、星を構成する物質のちがいや、圧力や密度のちがいを反映していると考えられる。)

[(*) 図表 [7]「スペクトル型とその特徴」]

波長軸上の吸収線の位置が理論や実験で確かめられる位置からずれていることがある。 これは、天体が観測者に近づいたり遠ざかったりすることにともなうドップラー効果によると考えられ、 天体の視線方向(天体と観測者をむすぶ方向)の速度の推定に使われてきた。

HR図

[(*) 図表「HR図と恒星の進化」40ページ [1] 「HR図」]。 ここでは、この図がなにを表示したものかだけおさえておきたい。 そこから「恒星の進化」についてどんなことがわかるかは、別の回であつかう予定。

HR図という名まえでよばれるのは、 ヘルツスプルング (Hertzsprung) と ラッセル (Russell) という2人の学者が 提案した表現方法だからである。

• 縦軸: 「絶対等級」 ... 恒星の放射光度の対数尺度
• 横軸: 「スペクトル型」 ... 黒体放射で近似すると、光球の表面温度に対応
• それぞれの恒星が、この図のなかの点として表現される。