地球環境を考えるうえで、 物質・エネルギー循環系と フィードバック・システムの特徴を兼ね備えたシステムを考えることが重要であることは [別ページ]で述べた。
その簡単な例として、ここでは、「ふろおけモデル」を考える。
【ふろおけは、Meadows (2008)の入門書で、最初の例として出てくるが、 そこでは流出量が一定になっており、フィードバック・システムの例ではない (フィードバックは別の例を使って説明されている。) 他方、戸川 (1976)の本の、 計算プログラムをともなう例のうち最初に出てくるもの(第3章3.1節)が、 「水時計」となっているが、ここでいうふろおけモデルにあたるものである。 その本文では、水平断面積(下のわたしの記述での A)が高さによって違いうる場合について述べているが、 最初のプログラム例では、水平断面積も一定としている。】
入れものがあって、水がはいっているとする。 具体的に想像するものは、たとえば台所の流しでもよいのだが、 ここでは「ふろおけ」としておく。 (ふろがまとつながっているといった、ふろおけ特有の構造を考えるわけではない。) その形は、水平断面の形が一定のものを考える。 (ふろおけといえば、下のほうがつぼまったものを想像する人もいるかもしれないが、 ここではそうでないことに注意してほしい。) 次に示す図は、鉛直断面と思ってほしい。 底に小さなあながあいているとし、このあなには、栓をしないとする。 (住宅のふろでは考えにくいが、銭湯などではありうる状況だろう。)
このシステムの状態は、長さの次元をもつ「水位」h というひとつの量で表現できる。 たまっている水の体積は、水位に、一定と仮定した水平断面積 Aをかけたものである。 水の密度ρも一定と仮定するので、たまっている水の質量M = ρ A h も、水位に比例する。
この水の質量が、質量保存の法則に従って変化する。 流入量Fin、流出量Foutは、単位時間あたりの質量の流れとして考える。 流入量は、系外の条件によって決められるとする。 流出量は、系の状態つまり水位だけによって決められるとし、 水位が高いほど多い(水位の単調増加関数Fout = Fout(h)である)とする[注1][注2]。 たまっている水の質量の変化に伴って、水位も変化していく。
dh/dt = 1/(ρ A) × ( Fin - Fout(h) )
(1) まず、流入量が系外の条件で決められた、 時間とともに変化しない一定値 Fin,1をとる場合を考えよう。 流出量がこれに等しくなる水位 h1がある (Fout(h1) = Fin,1)としよう。 もし、現在の水位hがh1よりも高ければ、 流出量Fout(h)は流入量よりも大きいので、水位は下がるほうに変化する。 水位がh1よりも低ければ、水位は上がるほうに変化する。 水位がh1ならば、その状態は変わらずに続く。 つまり、この系には、 定常入力 Fin,1を仮定すると、定常状態h1がある (図の左の部分参照)。
(2) 系外の条件が変わって、流入量がFin,2となり、そのまま持続したとする。 水位は、新しい定常入力に対応する (Fout(h2) = Fin,2となるような) 定常状態 h2に近づくように変化するだろう。 (もし、流出量が水位に比例するならば、近づきかたは、 新しい定常状態との差が指数関数(指数の係数が負)で減衰していくようなものになるだろう。)
(3) 出口の条件が変わって、水位から流出量を決める関数 Fout(h)の定量的性質が変わったとする。 たとえば、出口が詰まりぎみになった場合の例として、 水位 h から流出量を決める関数 Fout(h)に 1よりも小さい係数 b がかかった場合を考えよう。 流入量は一定値Fin,1のまま変わらないとする。 関数の変化の前に、水位が定常状態にあったとすれば、 出口が詰まりぎみになると、流出量が減るから、水位は上がって、 前よりも高い新しい定常状態に向かうだろう(図の中央と右の部分参照)。
具体的な数量を入れた例を、別ページ [ふろおけモデルの簡単な例、そのRによる計算プログラム] に用意している。(ただし、まだ更新中で、大幅に変更するかもしれない。)