【記述の便宜上、人物名の敬称は省略で統一しました。 文中のリンクの大部分はこのページ最後の参考文献リストへのものです。】
陸上の水文過程のモデルとして、 「バケツモデル」および「タンクモデル」というものが知られている。 いずれも、次の特徴をもっている。
陸上の水収支は、次の式で表わすことができる。 便宜上、単位面積(国際単位系では平方メートル)あたりの収支を考える。
dS/dt = P - E - R ... (1)
ここで、Sは、陸水貯留量(面積あたりの質量)である。 これは、湖や川などの地表水、地下水、土壌水分や凍土の氷、積雪などをすべて 含めたものである。 Pは降水量、Eは地表面から大気への蒸発量、 Rは流出高である。この流出は地表の流出と地下水流出の両方を含む。 降水量、蒸発量、流出高はいずれも本来、面積あたり・時間あたりの質量だが、 液体の水の密度を一定値(1×103kg / m3)とみなすことに より、面積あたり・時間あたりの体積と考えて、mm / 日やmm / 月のような単位で 表わすことが多い。 貯留量も同様に、面積あたりの質量の代わりに、液体水換算の高さとして mmやcmの単位で表わすことが多い。
現実に、(1)式の各項の値を観測をもとに決めることは簡単でない。 いちばん観測がそろっているのは降水量Pである。 流出高Rは、地下水流出が無視できるとすれば、 河川流量をその観測点から上流の流域面積で割ることにより、求めることができる。 EやSは、(1)の収支式を使うか、または 時間発展型の数値モデルによって求めることが多い。 数値モデルを構築するうえでも、収支式は基本のひとつになっている。
バケツモデルは、陸面から大気への水の蒸発量を 求めるために作られたモデルのうち比較的簡単なものである。 ここでは、真鍋 淑郎(MANABE, 1969)が、 大気大循環モデルと結合して計算するために 作ったものを代表として考えることにする。
基本は(1)式だが、微分ではなく有限時間ステップΔtを使って書いておこう。
ΔS/Δt = P - E - R ... (1')
大気大循環モデルと結合される場合、Δtは数十分である。
バケツモデルは、 各時間ステップ Δtごとに、 降水量と「可能蒸発量」(仮称) EPを与えられて、 蒸発量E、流出高R、貯留量の時間変化ΔSを計算する。 このとき、Eは、EPに、 ある係数(「蒸発効率」と呼ばれることがある)βをかけた形とし、 βは、Sの関数であるとする。つまり次の形である。
E = β(S) EP ... (2)
ここで仮に「可能蒸発量」と呼んだ量は、 地表面が完全に湿っていて、 他の気象条件が同じであると仮定したときの蒸発量である。 「他の気象条件」としては、 地表面での太陽放射、地上付近の気温、湿度、風速などがあげられるが、 実際に何を同じとするかは、モデルを作る人あるいは使う人の判断によって違う。
真鍋のバケツモデルの場合は、 EPは、 次のようなバルク伝達式(近藤, 2000, (5.8)式; HARTMANN, 1994, (4.27)式参照) で得られる、完全に湿った面からの蒸発量である。
EP = ρ CDE U ・ (qa - qsat(Ts)) ... (3)
ここでρ、qaとUは地表に近い大気(大気モデルの最下層)の 密度、比湿と風速、 Tsは地表面温度、 qsatはかっこ内の温度に対する飽和比湿である。 CDEは蒸発に関するバルク伝達係数と呼ばれるパラメータであり、 その数値は地表面の粗度に依存する。 (地表に近い大気の鉛直成層状態にも依存するが、この点は真鍋の当初のモデルでは省略されていた。) ここでqsat(Ts)を考えたのは、 地面が完全に湿っている場合、 地面に接した空気は水蒸気で飽和していると考えられるからである。
真鍋のバケツモデルの場合、EPは、 ρ、qa、U、Ts、CDEが現実と同じで、 ただ完全に湿った面を考える。 CDEを計算する際に陸の粗度を使っているので、水面と同じではない。 (この点は、THORNTHWAITEやPENMANなどの 気候学的可能蒸発量が草地を想定しているのと似ているが、 森林の場合に森林の粗度を使う点は違う。) また、Tsとして、完全に湿った面を想定した場合の地面温度ではなく、 実際にバケツモデルを動かして求めた(乾燥しているかもしれない)地面の温度を使っている。 (この点は、気候学的可能蒸発量が完全に湿った草地を想定しているのと違う。 したがって真鍋のEPをじゅうぶんな説明なしに可能蒸発量と呼ぶのは適切ではないだろう。)
真鍋のバケツモデルにはさらに次のような特徴がある。 これは、大陸規模の乾湿を表現したいが、 場所によって違う地表面状態のパラメータ数は最小限にしたいという発想、 および、利用可能な土壌や植生の情報が限られていたという状況によって 選択されたものである。
真鍋のモデルでの陸面水文の扱いは、土壌水分をバケツモデルで扱うほかに 積雪の質量収支も考えられており、融雪は熱収支に基づいて計算される。 したがって、バケツモデルの(1')式のPは、実際は降水量ではなく、 雨量と融雪量の合計である。
個々のバケツは空間分布をもたない0次元モデルだが、 バケツモデルは分布型モデルの一部として使われることが多い。 バケツは2次元の格子状にならべて配置され論理的には並列に動く。 大気大循環モデルと結合された場合は、 各バケツからのEは、大気モデルの各マス目の最下層への入力となる。 MANABE (1969)の当初の大気海洋結合大循環モデルでは バケツからのRがそのまま海(の同緯度の海岸)に供給されたが、 その後の大循環モデルでは、Rを格子状河道網モデルに与えて河川流量を計算するようになった。
バケツ型のモデルは、大循環モデル以前にも使われていた。 1940〜50年代のTHORNTHWAITEやBUDYKOの仕事がある。 THORNTHWAITEは、可能蒸発散量を気温だけから求める式で有名だが、 それを使って、実蒸発散量をも求めている。 そのときの考え方は、降水量と可能蒸発散量を入力とする一種のバケツモデルである (榧根, 1989参照)。 ただし、時間ステップΔtは、典型的には1か月である。 また、貯留量の一部は次の月に持ち越されるが、一部は蒸発以外の原因で失われる。 水収支を考えればこのぶんは流出でなければならないが、 流出として深く考えられたものではないようである。
その後、THORNTHWAITEと似た発想による蒸発量や土壌水分の季節変化の 定量的研究はたくさんあるが、比較的新しい代表例として MINTZ & SERAFINI (1992)をあげておく。 MINTZは大気大循環モデルの初期のリーダーのひとりだが、 この論文は観測された月降水量を与えてバケツモデルだけを動かしたものである。 β(S)の関数形をなんとおりか考えて選択している。 ただし、Sとして土壌水分だけを想定した研究である。 現実の陸水貯留量の季節変化をよく表現するには、 たとえばアマゾン川流域では河道貯留、 ロシアでは積雪も考慮する必要がある (MATSUYAMA & MASUDA, 1997参照)。
BUDYKOの主要な仕事は地表面熱収支で、 とくに正味放射量に重点をおいている。 気候値の実蒸発量を計算する際には、 正味放射量を可能蒸発量と考えて、それと降水量を与えて、 時間ステップΔtを1か月として、バケツモデルで計算している。 (BUDYKO, 1956。 その内容はBUDYKO, 1971の本にも ほぼそのまま収録されている。)。 MANABE (1969)も BUDYKO (1956)を参考文献としてあげている。
MANABE (1969) 以後、大気モデルと結合する目的での陸面モデルとしては、 バケツモデルが広く使われてきた。 β(S)の形やSmaxの値も真鍋と同じにした例も多いが、 別の形を採用した例も多い。 また、降水量や地形の不均一性を意識して、SがSmax 未満でも、いくらかの流出が起こるようにしたモデルもある。 たとえば気象研究所の大気大循環モデルMRI-GCM-1に結合されたバケツモデルの説明は 横山編(1991)の148-149ページにある (この部分の執筆は野田彰・時岡達志。 ページ間におそらく1行欠落がある)。 このモデルではバケツがいっぱいでなくても降水が強ければ流出がある。 なおSwet = Smax×0.5としている。
1980年代になると、地表面からの蒸発のモデルに、 植物の蒸散の役割を具体的に組みこむ人がふえてきた。 具体的モデルとして、R.E. DICKINSONの「BATS」や P.J. SELLERSの「SiB」があるが、 基本となる概念は、 (MONTEITHの)「気孔抵抗」をもとにした「群落抵抗」だと 言ってよいだろう。 しかし、「SiB」はsimple biosphereの略である (実際、生物学者から見れば極度な単純化がある)にもかかわらず、 蒸発のモデルとしては必要以上に複雑だと考える人も多い。 この話題は[別ページ「陸面過程モデル(SVATS)」参照]。
近藤 (1993)は、 「新バケツモデル」を提案した。 これは、 バケツモデルと、次に述べるタンクモデルの考えかたを参考に、 土壌中の水の浸透過程を表現し、 しかもパラメータ数が少なくなるようにくふうしたものである。 降雨に伴う表層土壌水分量の増加が、降雨量に対して双曲線関数tanhの形で依存するという構成である。 これに積雪と地下水タンクを結合した使用例として 近藤ほか(1995)がある。
水文のタンクモデルは、広い意味では、 貯留量Sが主要な変数であり、 それに応じて流出量Rが決まるようなモデルの総称であると思われる。
限定された意味では、 菅原 正巳が、降水量を入力として、 河川流量の時系列を予測するためのモデルとして開発したものである。 詳しい解説が「流出解析法」(菅原, 1972)、 「続・流出解析法」(菅原, 1979)にある。 そのモデルは、複数のタンクが上下に直列につながれた形で、 各タンクの出力は流出と浸透の2つがあり、 浸透分は下の段のタンクにはいるようにして連結されている。 複数のタンクから構成するのは、流出は時定数の違う複数の成分から構成されている という認識に基づく。 年間の平常の流出を扱う場合は4段、洪水流出を扱う場合は3段が使われた。 両方を一括して計算できるようにするには6段程度ほしいが、 菅原の2冊の本では洪水流出を別だてで計算することを勧めている。 水平の空間分布に関しては明示的には考えず 対象流域をひとまとめに扱う集中型モデルである。 ただし、流域を標高などで4つくらいまでに分け、並列に計算することもある。
まず1つのタンクについて考えてみる。 多段の場合の最下段で使われる形で、 タンクの絵で言えば、下端から横に管が出ている形のタンクである。 基本となるのは水収支式(1)である。 ここでは、降水量Pと蒸発量Eは外部条件として与えられるものとしておく。 流出量Rは、現在の貯留量Sに比例するR = a S (aは定数)のような形を考える。 これは、穴からの流出速度がタンク内の水の高さに比例する、 つまりタンクの底の水圧に比例すると考えていることになる。
「この仮定は実際のタンクの場合と違う」という話をweb上で読んだ (鶴巻, 2005)。 それは「実際のタンク」が何を意味するかにもよる。 菅原(1972)は、 先に数学的モデルを考えたあとだが、実際の水を使った実験装置も組んでいる。 その場合のタンクから出る管は毛細管であり、 そこの流速は、流速に比例する摩擦力が圧力勾配とつりあう形で決まるので、 タンク底の圧力に比例すると見てよい。 そして流れは遅いので、静水圧の関係でタンク底の圧力はタンクの水位に比例するとみてよい。 他方、鶴巻(2005)が実際のタンクというのは、 摩擦が無視できる場合である。 多くの実用的なタンクではよい近似だろう。 この場合、位置エネルギー、運動エネルギー、圧力による仕事を 含めたエネルギー保存(ベルヌーイ BERNOULLIの法則, たとえば澤本 2005, 34-35ページ)で考えることができ、 流速はタンクの水位の平方根に比例することになる。
RがSに比例するとし、まず仮に降水と蒸発が無視できるとすれば、 貯留量Sの時間発展は次のようになる。
dS/dt = - a S ... (4)
そしてその解はS = 0 に向けて緩和する指数関数型となる。
S(t) = S(0) exp(- a t) ... (5)
戸川(1976)の本は、 数値シミュレーション一般の教材だが、 第3章の最初の「水時計」の例題が、ちょうどこれの差分計算になっている。
実際の流出解析では、降水量を観測データに基づいて与え、 また、モデル構成は微分方程式として解析解を求めることができないものになるので、 タンクモデルの計算は連続時間ではなく離散的時間刻みで行なう。
複数段のタンクを使う場合、 最下段以外のタンクは、水の出口を2つもつ。 流出の出口は、タンクの中途にあり、 流量は、その位置から上の部分だけの水の高さに比例する。 浸透の出口は、タンクの底にあり、流量はタンク全体の水の高さに比例する。 浸透した水は下のタンクにはいる。 複数段のタンクを使うのは、流出量の時系列が、 降水に速く応答する成分と遅れて応答する部分の重ね合わせとみなせるからである。 実際に観測される量は合計の流出量であって、各タンクからの流出量ではない。 また、浸透量は観測される量ではない。 各タンクの出口の流量を決める係数や、流出の出口の高さは、 モデルのパラメータであり、しかも直接観測可能なものではない。 パラメータ値を決めるには、 降水量と流量のデータがそろった較正(calibration)期間の観測値が必要である。 モデルに、パラメータ値を仮に決めて、観測の降水量を与え、 計算結果の流量と観測の流量を見比べて、パラメータ値の妥当性を評価するという 試行錯誤のような過程をくりかえす必要がある。 パラメータ値が決まってそれが変わらないと想定できれば、 降水量さえあれば流量の予測計算ができることになる。
「流出解析法」では パラメータ決定過程は図を見ての主観的判断によっている。 「続・流出解析法」では自動化を試みているが、 これも試行錯誤による改善をプログラミングで表現しようとしたものである。 モデルのパラメータの最適値を求める過程は「最適化」とも言えるのだが、 菅原は自分のやりかたは最適化とは違うと言っている。 それは、次のような理由からだ。
菅原のタンクモデルにはこのほか、蒸発・土壌水分、積雪・融雪の扱いもあるが、 ここではその紹介は省略する。
降水に対して流出が遅れることを、 数理的な信号の変換として(たとえば指数関数の重ね合わせによって)説明する モデルはたくさんある。 タンクモデルは、 陸水の動きを物理的素過程から説明しようとするものではないが、 単なる信号処理的システム論でもない。 水の質量収支という物理的制約を考慮し、 またモデルの構成には流出過程の物理的概念を反映させようとしたものなので、 半物理・半経験的モデルだと言えるだろう。
1970年代には計算機の能力の限界から実用的でなかったが、 タンクをたくさんならべたような分布型モデルをつくることもできる。 ただし、原理的にはタンクごとにパラメータ値が違ってよいのだが、 それを観測値から決めることはむずかしい。 パラメータ値が共通であると仮定して決めることはできるだろうが、 それならば少数のタンクでじゅうぶんかもしれない。
http://homepage3.nifty.com/tsuru-y/newpage39.html
[2014-10-05補足: 残念ながらこのページは残っていない。
http://web.archive.orgにコピーがあって本文は読めるが
図や数式の画像ファイルが抜けている。]