システムは、その状態を示す変数をもち、その変数の値が時間とともに変化するという形で記述されることが多い。 物理的システムの場合、システムの状態を表わす変数は、ふつう、物理量である。 システムの状態を表わす変数(複数あってよい)の時間変化は、 数学的に言えば、その量の時間についての微分で表現される。 仮に、その時間変化を起こす原因が、 システムの状態を表わす変数の現在の値の組と、 (一定であるとは限らないが)システム内部の状態に依存しない外部条件とで決まる とすると、その時間発展をまぎれなく論じることができる。 このようなシステムは現実世界の正しい表現であるとは限らないが、 一方で、現実世界の特徴の一部を共有していると期待され、 他方で、直接現実世界を扱うよりも因果関係的に深く特徴をとらえられると期待されるので、 現実世界の「モデル(model)」としてよく使われる。
システムの状態を表わす変数を、大文字の太字のZで表現しておく。 太字にしたのは、一般にはこれは複数の量の集まりであり、 数学でいうベクトルとみなされるからである。 外部条件を、Xで表現しておく。 さらに、「関数である」ことをfで表現する(特定の関数を示す記号ではない)。 すると、このようなシステムは形式的に
dZ/dt = f(Z, X)
物理量の値は、時間だけでなく空間的な位置によっても違っている。 問題によっては、対象とする系の中の空間分布を考えず、 総量あるいは平均値を扱えばじゅうぶんな場合もある。 このような考えかたで作られたモデルを集中型モデルという。 一方、変数を時間だけでなく空間座標にもよるとして扱うモデルを 分布型モデルという。 この両者は厳密に分かれるわけではない。 たとえば、地球上の現象を扱う場合、空間軸はふつう東西、南北、上下にとるが、 この軸のうちいくつかについては集計または平均してしまい、 他の軸について分布を扱う場合もある。 (たとえば、次に扱うエネルギー収支モデルには、 鉛直1次元や南北1次元のものもある。)
エネルギー保存の法則を基本とし、 システムの時間にともなう変化は、 基本的にシステムのもつエネルギーの時間変化の式で記述されるとするモデルである。 エネルギー保存から、エネルギーの時間変化は正味のエネルギーの出入りに等しいので、 エネルギーの出入りの量を系のもつエネルギーと外部条件から決める式を加えてやり、 系のもつエネルギーの初期値を与えてやれば、 その後のエネルギーの時系列を計算することができる。 ただし、エネルギーの出入りの量はふつうはエネルギー保存の法則だけでは決まらず、 経験をもとにした式で与えることが多いが、 その裏には他の物理法則(たとえば運動方程式、エントロピー増大)が隠れていることが多い。
たとえば地球全体の大気・水圏についての集中型(0次元ともいう)エネルギー収支モデルを考えてみる。 その例としてまず、あまり現実的ではないが、大気のもつエネルギーだけが変化すると想定したモデルを考えてみる。 地球上の空間的違いを無視し、緯度経度については平均、鉛直には合計して、 単位面積(国際単位系ならば1 m2)の大気の柱のもつ エネルギーを考える。 話を簡単にするために、 エネルギーとしては内部エネルギーあるいはエンタルピー[注]だけを考え、 そのうちの化学変化や相変化による部分を無視して温度に依存する部分だけを考え、 しかもそれは単純に温度に比例するとする。 物体の温度をその単位値(国際単位系ならば1 K、温度差の話なのでこれは1℃と言っても同じ)上げるのに必要なエネルギーをその物体の熱容量という。 (また、質量あたりの熱容量を比熱容量という。 面積あたりの熱容量は比熱容量に面積あたりの質量をかけて求めることができる。) 気柱の面積あたりの熱容量をC、平均の温度をTとすると、 気柱のもつ面積あたりの(このモデルで対象とする)エネルギーはC Tである。 この気柱が受け取る面積(m2)あたり・時間(秒)あたりのエネルギーをFin、 気柱が出す面積あたり・時間あたりのエネルギーをFoutとすれば、
C dT/dt = Fin - Fout
【[注 (2010-10-31)] 大気は限られた体積に閉じこめられておらず、 温度とともに体積が変化する。 ここでの対象を実際に大気に対応させるならば、 体積一定よりも圧力一定のほうがよい近似なので、 ここでのCは大気の定圧比熱容量、 「C T」は大気の単位面積あたりのエンタルピーとするべきである [「気体の熱力学」のページ参照]。 なお、もし海洋に対応させるならば、体積変化は無視できるので、 Cは海水の比熱容量 「C T」は海洋の単位面積あたりの内部エネルギーである。】
ここで、各時刻のFinとFoutの決めかたを指定する必要がある。 Finは、その気柱またはその下の海や陸が吸収する太陽放射エネルギーであるとしよう(海や陸が吸収したエネルギーもなんらかの形で空気に与えられると仮定する)。 太陽に正面を向けた平面に太陽からくる面積あたり・時間あたりのエネルギーをSとすれば、地球の表面の面積あたり・時間あたりのエネルギーは S/4 である。 このうち反射される割合をαとすれば、 Fin = (1/4) (1 - α) S となる。 一方、Foutは、温度Tの黒体放射だと仮定する。 Stefan-Boltzmannの定数をσとすれば、 Fout = σ T4である。まとめると
C dT/dt = (1/4) (1 - α) S - σ T4
T(t+Δt) = T(t) + (1/C) { (1/4) (1 - α) S - σ T(t)4 } Δt
状態が時間とともに変化しないシステムを考えることがよくある。 始めから時間変化を考えずにモデルを組み立てることもあるが、 本来は時間変化を起こしうるモデルで、たまたま時間変化が0になる状態に注目することが多い。 これをそのモデルの定常解という。 (「解」という表現はモデルを方程式(微分方程式)と見る立場からきている。) 上に述べた0次元エネルギー収支モデルの一般的な形について言えば、 定常状態を示す式は
0 = Fin - Fout
0 = (1/4) (1 - α) S - σ T4
変化が起こりうるシステムのふるまいを調べる場合にも、 まず、そのシステムにはどのような定常状態がありうるかを調べることが有効なことが多いので、定常解を求めることはよく行なわれる。
また、定常解から少し離れた状態から出発したとき、 システムが定常解に向かうか、ますます離れるかに注目することも多い。 前者の場合、定常解は安定、 後者の場合、定常解は不安定であるという。 この安定性は、定常解だけを調べてもわからず、 時間変化を含む式にもどった上で、 定常解からのずれが小さい(したがってずれの2乗などが無視できる)という近似をして求めることが多い。