Northの定式化では、雪氷が部分的に存在する場合には必ず、温度がある臨界の値 Tcになる緯度φcから低緯度側は氷なし、高緯度側は氷ありという分布であると 仮定する。各緯度帯の「惑星」アルベドは、氷のある場合とない場合それぞれ一定 の値(緯度に直接は依存しない)で、階段型に変わるとする。つまり、
αp(φ,φc) = αi : φ ≧ φc αp(φ,φc) = αf : φ < φc (2-19)である。出て行く赤外放射Iは、温度Tの1次関数A+BTとする。南北熱輸送は拡散型 に書けるとし、K:熱の渦拡散係数、C:面積当たりの熱容量、を場所や温度に よらない定数と仮定する。問題を定常解に限ると、方程式は次の形になる。 (r:地球の半径)
(S0 / 4) S(φ)(1 - αp(φ, φc)) =
A + B T(φ) - C ((d)/(r cosφ(d)φ)) {K cosφ (d)T / (r (d)φ)} (2-20)
独立変数としてx=sinφを使う。xc = sinφc、D = K C / r2という表記を
導入すると、
(S0 / 4) S(x)(1 - αp(x, xc)) =
A + B T(x) - ((d)/(d)x) { D (1 - x2) ((d)T / (d)x)} (2-21)
ただし、(2-20)の右辺の最後の項は、緯度円の単位長さを単位時間に通過する
エネルギー輸送量({}の中)の発散の形になっているが、(2-21)のように変形した
場合、φでの微分とxでの微分とは正比例しないので、{}の中は輸送量そのもの
ではない。
境界条件(端では輸送量が0)は次のようになる。
D (1 - x2) ((d)T/(d)x) = 0 : x = 0, 1 (2-22)S(x)は、2次式で近似し、Legendre多項式Pnを使ってS(x)=1 - S2 P2(x)と書く。
標準のパラメタの値は、 Northら(1981)に従い、 D = 0.66 W m-2 K-1, A = 203.3 W m-2 (ただしTを℃で表わした場合), B = 2.09 W m-2 K-1, S2 = 0.477, αi = 0.62, αf = 0.30, Tc = 263.2 K (-10℃) である。このDの値は、仮に熱容量として大気全層のもの をとった場合には、熱拡散係数Kの約2.8×106 m2 s-1の値に対応する。