12月15日の授業で示した演習問題を、 近藤(2000、とくに5.2〜5.3節)を参考にして改訂した。
地表面がぬれている場合と、かわいている場合では、 他の条件が同じならば、地上付近の気温が違ってくる。 これは、まず地表面温度の違いがあって、 それが反映したものと考えたほうがよい。 ここでは、地表面温度を決める簡単なモデルで考えてみる。
地表面(厚さ無限小の層と考えてもよい)エネルギー収支は
Rnet = H + L E + G ... (X1)と書くことができる。 この各項はエネルギーフラックス密度(単位面積あたり・単位時間あたりの エネルギーの流れ)であり、 国際単位系(SI)の単位はW / m2である。 Rnetは正味放射(下向きを正)、 Hは顕熱フラックス(上向きを正)、L Eは蒸発の潜熱フラックス(上向きを正)、 これはLかけるEで、 Lは水の蒸発の質量あたりの潜熱(2.5×106 J / kg)、 Eは蒸発量(質量フラックス密度、単位はkg/(m2 s))である。 Gは地中熱伝導(地面から下向きを正)である。 式(X1)は近藤(2000)の式(5.4)と同じである。 ただし近藤はここでのLをι(イオタ)と書いている。 なおHartmann (1994)はここでのHをSHと書いている。
Rnetの内わけは、
Rnet = RS, down - RS, up + RT, down - RT, up ... (X2)と書ける。 ここで下つきSは太陽放射、Tは地球放射、downは下向き、upは上向きを示す。 (下つきSとTはむしろ短波放射(S)・長波放射(L)と表現する文献が多い。)
上向き短波放射は、 地表面のアルベド(太陽放射反射率)αs [近藤は「ref」と表記している]を使うと、
RS, up = αs RS, down ... (X3)と書ける。
上向き長波放射は、 地表面温度Tsでの黒体放射に地面の射出率をかけたものであるが、 地面の射出率は1に近いので、近似として、1に等しいと仮定する。
RT, up = σB Ts4 ... (X4)。
地表面の正味放射のうち、上向き長波は明らかに地表面温度に依存するが、 他の3成分は直接には地表面温度には依存しない。 (気温や地表面アルベドを介しての間接的影響はありうるが)。 そこで、この3成分を「入力放射」
Rin = (1 - αs) RS, down + RT, down ... (X5)としてまとめておく(近藤の式(5.6)。 入力放射という用語は近藤にならったものだが、近藤の記号はR↓となっている)。 したがって、エネルギー収支式は
Rin = RT, up + H + L E + G ... (X6)となる。 (X4)の仮定を含めると、(X6)は近藤の式(5.5)になる。
顕熱・潜熱フラックスを決める外部条件としては、 ある高さ(たとえば2 m)の気温Ta [近藤のT]と 比湿qa [近藤のq]、 ある高さ(たとえば10 m)の風速(ベクトルの絶対値) Uが与えられるとする。
顕熱フラックスHは、 地表面温度と気温との差に比例すると考える。つまり、 バルク伝達式
H = cp ρ CH U × (Ts - Ta) ... (X7)(近藤の式(5.7)、Hartmannの式(4.26))である。 (なお、かけざんの記号「×」は入れないほうが数式としてはよいのだが、 それに続くカッコが関数を表わすものでないことを示すため、 念のため入れている。) ここでcpは空気の比熱容量であり、定数とみなす。 ρは空気の密度である。 CH (HartmannのCDH)はバルク伝達係数と呼ばれ、 地表付近の風速や鉛直温度分布(対流の起きやすさ)によって変わりうる量である。 (CHとUの積をバルク伝達係数ということもあるが、 ここではその定義は採用しない。)
蒸発の潜熱フラックスL Eも、同様に、比湿qを使ったバルク伝達式
L E = β L ρ CH U × (qsat(Ts) - qa) ... (X8)(近藤の式(5.8)、Hartmannの式(4.27)) で表現する。qsat(T)は、温度Tで 水蒸気で飽和している空気の比湿である(Hartmannはq*と表現している)。 バルク伝達係数(HartmannのCDE)は 厳密には顕熱フラックスの場合と区別されるが、 近似として同じCHを使うことにした。 βは「蒸発効率」と呼ばれることがあり、地表面の乾湿の効果を表わす係数である。 地表面が完全に湿っている場合(水面のようにみなせる場合)、β=1となる。 乾いている極限では、β=0である。
地表面下の熱フラックスGは、 熱伝導方程式(Hartmannの(4.6)式)
G = -KT ∂Tsoil(z)/∂z ... (X9)に従うと考えられる。ただしTsoil(z)は深さzに対応した地温、 KTは土壌の熱伝導率(近藤のλG)。 符号は、式(X9)ではzがふえる向きとフラックスGの向きが同じ (いずれも下向きを正)としたので負となるが、 近藤の式(4.3)では正となっている。 これはzがふえる向きとGの向きを逆にとったためである。
この熱伝導を、 Gは地表面温度Tsと深さDのところの地温TDに 比例すると近似する(近藤の式(4.3)右側に対応)。 [注: 12月17日午前現在のweb上のページの式は符号が逆になっている。]
G = -(KT / D) × (TD - Ts) ... (X10)
ここでは、地上に達する太陽放射 RS, downと 大気からの下向き赤外放射RT, downは両者で共通とする。 地表面の反射率αsは実際は土などの乾湿によって変わるが、 ここでは話を簡単にするために、共通としておこう。 すると、入力放射Rinが共通であるということになる。 また、風速U、気温Ta、比湿qa、空気の密度ρも共通とし、 バルク伝達係数CHは定数とみなす。
土壌の熱伝導係数KTは実際には水分含有量によって変わるが、 仮に定数とみなす。 深いところの地温TDも両者で共通とし、変化しないとみなす。
地表面温度Tsと気温Taとの差が大きくない (およそ10℃以内)とする。 それを前提とすると、かなりあらい近似であるが、 エネルギー収支式を1次方程式として解くことができる。
それにはまず、上向き長波放射の式(X4)を、 Ts-Taの1次式で近似する。 それには、数学用語でTaylor展開と呼ばれる方法で、 Ts-Taの多項式で近似し、 0次の項(定数項)と1次の項を残して残りを打ち切る。
RT, up ≒ σB × { Ta4 + 4 Ta3×(Ts - Ta) } ... (X11)となるはず(確認してほしい)。
同様に、潜熱フラックスの式に出てくる飽和比湿qsat(T)も Ts-Taの1次式で近似する。
qsat(Ts) ≒ qsat(Ta) + {d qsat(T)/ d T}(T=Ta) × (Ts - Ta) ... (X12)ただし、d qsat(T)/ d T(近藤の式(5.19)ではΔ)は、 Tを横軸にとった飽和比湿のグラフの傾きであり、 ここではT = Taでの傾きを使う。 微分の代わりにTの有限区間の差分で近似してもよい。
エネルギー収支式(X6)に、(X7), (X8), (X10), (X11), (X12)を代入すると、 Ts以外の量は定数と仮定しているので、 未知数Tsだけの1次方程式になるはずである。 これを、「Ts - Ta = ...」の形に変形してみよう。 ひとまず、Gは無視できるとして考えてもよい。 この場合の答えは、近藤の式(5.17)に対応するはずである。 (ただし、式(5.17)の各部分の名前は一般的なものではなく この本特有の定義がされているので、それに続く式をよく見る必要がある。 たとえば「有効入力放射」は「入力放射」と関係はあるが同じではない。) そこで、β以外の外部条件は変化しないとして、 βを0から1まで変えると、それに伴ってTsはどう変わるか?
Taなどが同じとみなせるほど空気がよく混ざっている空間スケールを 考えるならば、日変化も重要なのでGが無視できない可能性が高い。 しかし、実際に空気がよく混ざるほど近くなくても、 仮にTaなどは同じで地表面の乾湿だけが違う場合に どのような違いが生じるかを考えてみることにも意義がある。
数値の例は、近藤(2000)、理科年表、Hartmann (1994)、小倉(1999)などを 参照して適当なものを入れてみてほしい。