地図投影 (map projection)
地図投影(-法; 図法)とは
[球面または楕円体面の上の座標]から[平面上の座標]への変換(写像)。
- 地球--(投影)-> 投影平面--(縮尺をかける)->地図
- 地図投影の式は、実際の地球を代表する半径の球(あるいは楕円体)について
定義
-
地球--(無次元化)->半径1の球--(投影)-> 投影平面--(有次元化)->地図
- 地図投影の式は、半径1の球(あるいは赤道半径1の楕円体)について定義
- 「無次元化」は、すべての長さを地球の半径で割ること
- 「有次元化」は、地球の半径に縮尺をかけたものをかけてやること
- 「次元」は「物理量の次元」の意味
縮尺(scale)について
- scaleということばのいくつかの意味
- 縮尺とは:
地図上の長さを地球上の長さで割った分数。
- 代表縮尺とローカル縮尺(仮の用語)の区別
- (ここで、「地球上の座標から地図上の座標への変換」は上の説明の「1」、
つまり、地球とほぼ同じ大きさの平面に投影してから縮小すると考える)
- 地図の代表縮尺: 地図上の長さ/投影平面上の長さ
- ローカル縮尺: 地図上の長さ/地球上の長さ
- 縮尺のゆがみ: 投影平面上の長さ/地球上の長さ
- 「大縮尺」と「小縮尺」:
分数の値として大きいか、小さいかをさす。
ふつう、小規模な地域を扱うときは大縮尺の地図を使う
(一定の大きさの紙あるいは一定の能力の計算機で扱える情報量はほぼ一定だから)。
- 地図にそえて現地の長さを示すものさし(これを縮尺ということもある)
画面表示などの場合、縮尺の数値は意味がないことが多いが、
図と同じ紙にものさしを書きこんでおけば、縮尺の情報は伝えられる。
ただし、全球・大陸規模(小縮尺)の図の場合、
定義された縮尺が正しくなる部分がどこか(標準緯線・経線など)も示すべき。
投影法に期待される条件
- 面積が正しい ... 等積、正積
- (ローカルな)角度、あるいは形がどこでも正しい ... 等角
- (ある条件つきで）距離が正しい ... 正距
- (ある点を中心としたグローバルな）方位が正しい ... 方位
- 緯線・経線が直線あるいは円弧になる(座標値を直観的に読みとりやすい)
- 大円(最短距離の線)が直線になる
- 注目している場所が見やすい(図中の位置や向き)
- 作図がしやすい
投影法の分類と経緯線の形
本来の投影(光をあててかげをつくる)による図法よりも、
それを変形して計算で作られる図法が多い。
次の表には、標準的配置の場合の投影面と、緯線・経線の形を示す。
| 図法の分類 | 投影面 | 緯線 | 経線 |
|---|
| 方位図法 | 極に接する平面 | 同心円 | 直線 |
| 円筒図法 | 赤道に接する円筒 | 直線 | 直線 |
| 円錐図法 | 緯線に接する円錐 | 円の弧 | 直線 |
| 円筒図法の変形(擬円筒図法) | - | 直線 | - |
| 円錐図法や方位図法の変形 | - | 円の弧 | - |
| その他(便宜図法) | - | - | - |
標準的配置のほかに、「横」や「斜め」の配置で使うこともある。
また、「接する」と書いたが、交わる配置の場合もある(たとえばUTM)。
全球・大陸規模の図に使われる図法の例(NCAR Graphics)
| 図法名
| (英語)
| 分類
| 方位
| 等角
| 正距
| 正積
| 光源の位置
| その他の特徴 |
|---|
| 平射(ステレオ)
| stereographic
| 方位
| ○
| ○
| -
| -
| 反対側の極
| |
| 正射
| orthographic
| 方位
| ○
| -
| -
| -
| 無限遠
| 遠くから見た地球のイメージ |
| ランベルト等積方位
| Lambert equal-area
| 方位
| ○
| -
| -
| ○
| -
| |
| 心射
| gnomonic
| 方位
| ○
| -
| -
| -
| 地球の中心
| 大円が直線となる |
| 正距方位
| azimuthal equidistant
| 方位
| ○
| -
| 極から
| -
| -
| 緯度・経度が(r,θ)座標 |
| 正距円筒
| cylindrical equidistant
| 円筒
| -
| -
| 経線, 赤道
| -
| -
| 経度・緯度が(x,y)座標 |
| メルカトル
| Mercator
| 円筒
| -
| ○
| -
| -
| -
| 等角航路が直線 |
| モルワイデ
| Mollweide
| 擬円筒
| -
| -
| -
| ○
| -
| 経線は楕円 |
| ランベルト等角円錐
| Lambert conformal conic
| 円錐
| -
| ○
| -
| -
| -
| |
- 天気図では、海図と同様に、等角図法が使われることが多い。
- NCARのプログラムでかけるモルワイデ図法は正確ではないので省略
投影のゆがみの表示 -- Tissotの指示楕円(indicatrix)
球面上の無限小の円は地図上では楕円となる。その長短軸の方向と、縮尺比を示す。
(NCARのプログラムを使った例では、緯度1°または2°の半径の円を示す。)
地形図に使われている投影法
- ユニバーサル横メルカトル(UTM)図法
- 日本では昭和30年(1955)図式から標準。
- 「横」とは、赤道でなく、子午線にそって円柱を配置すること。
- ユニバーサルはこの場合、国際的約束をさす。UTMは緯度約80°以下で使われる。
- 回転楕円体から横メルカトル投影(Gauss-Krueger投影)する。等角投影である。
- 経度6°幅の帯(zone)に分け、それぞれの中央の経線を基準に投影する。
- 中央経線から約180 km離れたところで縮尺が正しくなる。
中央経線上では0.9996倍, 約180 kmで1.0, 約330 kmで1.001。
- 地形図をつなげると、zone内では平面につながるが、zoneにまたがると平面にならない。
- ユニバーサル極ステレオ(UPS)図法
- 極地方（緯度約80°以上）で使う。
- 等角、楕円体から投影、縮尺は緯度約81度で正しく、極では0.994倍。
- 多面体図法
- 日本の大正6年地形図図式で採用されていた図法。
- 「各図幅の4すみを頂点とする平面の台形に投影する」と言われている。
図幅内については、丸安 (1958) のp. 219 では、多円錐図法で計算していたと書かれている。
政春 (2011) が、第2次世界大戦前の 陸軍 陸地測量部のマニュアル類
(1915 (大正 4) 年の『製図実行法』など) の記述を検討し紹介している。
図幅内の投影法は数式で書かれていないが、
2標準緯線の正距円錐図法と解釈することができる。
日本測量協会 (1991) のp. 82 (この部分の筆者は 金澤 敬) では、
図幅内の投影はサンソン図法と同じであると述べているが、
政春 (2011) によれば、それは正確でない。[この項、2023-09-24 改訂]
- 日本の「平面直角座標」(地図としては国土基本図など)
- 19個の原点があり、地域別(原則として都道府県別)に使い分ける。
- 回転楕円体からGauss-Krueger投影(横メルカトル投影)する。等角投影である。
- 中央経線から約90 km離れたところで縮尺が正しくなる。
中央経線上では0.9999倍, 約90 kmで1.0, 約130 kmで1.0001。
ローカルな位置を示すのに使われる座標 (日本の場合)
- [楕円体上の]緯度・経度 (φ, λ)または(B, L)
- 「平面直角座標」 (X=北へ, Y=東へ。地図をグラフと見た向きと違うので注意)
- UTM座標[投影面上の直交直線座標] (N=赤道基準で北へ, E=中心経線から東へ)
- 図幅ごとの「正規化座標」 ([たとえば]地形図図幅の各辺を0～1としたもの)
紙地図とディジタルデータに対する、地図投影法の意義
- 紙あるいは画面表示の場合
- 伝えたい変数に関して、視覚的印象が偏っていないことが求められる
- ラスター型データの場合
- 地図の座標値で等間隔にサンプリングしたものの実際の地球上での間隔が
地図上の場所あるいは方向によって変わる。差分や頻度集計をする場合は
特に要注意。
- ベクター型データ
(点データを含む)の場合
- 記憶容量(有効数字)の制約あるいは計算機の能力の制約がきびしくないかぎり、
投影は表示の際に表示の効果を重視してすればよいので、
データを保持するための座標系はなんでもよい
(わかりやすさで選ぶ)。
投影法の選択
- 特に広い地域の地図(小縮尺)のときに重要
- 狭い地域の地図(大縮尺)でも、地図を計測する、重ね合わせる、つなぐなどの場合には問題
- 厳密に満たす正確さ(等積、等角など)のほかに、
近似的に満たしたい正確さがある。
たとえば、等角図法を採用し、そのうちで
面積(あるいは距離)の誤差が(最悪の部分で)なるべく小さい図法を採用する
ことがある。
対象地域の形によって、方位・円筒・円錐のいずれの図法がよいかが
変わってくる。
標準的配置のほか、横や斜めの配置の投影を使うこともある。
投影計算の際、地球を球で近似してよいか、楕円体で考える必要があるか
- Tobler (1964年)の実験 (Maling, 1973, p.15)
USA国内の200点の相互の距離を、楕円体と、同じ赤道半径の球で計算し、
差の統計をとる。
標準偏差 3 km、範囲 -6 ～ 8 km。
- この誤差を大まかに 5 kmとし、
図上の精度を 0.5 mm とすれば、縮尺が1千万分の1以下ならば球でよい。
これは、地図を計測する、重ねるなどの必要がある場合。
図として見るだけなら、百万分の1以下くらいまで球でよいだろう。
投影変換式の例 (円筒図法)
- ここでは地球を球で近似した場合だけ説明する。
楕円体の場合の式を導くには微分幾何学が必要。
「平面直角座標」で使われている横メルカトル投影の計算式は、
多くの測量の本(一例、吉澤・服部 1994 p.5)に(導きかたぬきで)出ている。
- 標準的配置(赤道のまわりに円筒)について示す。
他の場合は軸の回転
(座標系の話の参考文献「グラフィックスの数理」や「幾何
再入門」参照)をしてから投影変換すればよい。
- 半径1の球についての形(上記の「2」の考え方)で示す。
地図上の長さにするには、
これに地球半径とその地図の標準縮尺をかければよい。
- 円筒図法ではいずれも、x = λ (単位はラジアン)
- 心射円筒図法: y = tan φ
- 正距円筒図法: y = φ
- 等積円筒図法: y = sin φ
- 等角円筒図法(メルカトル): y = loge tan (π/4 - φ/2)
地図投影の公式が説明してある教科書的な本
- Dent, B.D., 1993:
Cartography -- Thematic Map Design, 3rd ed.
Wm. C. Brown (Dubuque, Iowa, USA), 427 pp.
...主題図を作る際の投影法の選択を論じている。
- Maling, D.H., 1973:
Coordinate Systems and Map Projections.
London: George Philip and Son Ltd., 255 pp.
- 日本測量協会, 1991: 実用地図学 (現代測量学 別巻1), 日本測量協会, 540 pp.
...おもに国土地理院で使われている投影法の解説が含まれている。
- 野村 正七, 1983: 地図投影法。日本地図センター, 447 pp.
- Pearson, F. III, 1990:
Map Projections -- Theory and Applications.
CRC Press, 372 pp.
- Snyder, J.P., 1993:
Flattening the Earth -- Two thousand years of map projections.
Univ. Chicago Pr., 365 pp.
...投影法の歴史を追った解説。
- Snyder, J.P. and Voxland, P.M., 1989: An Album of Map Projections.
U. S. Geological Survey Professional Paper
No. 1453.
...いろいろな投影法の地図の実例の図がある。投影の計算公式もまとめてある。
地理情報処理に使われる座標系について
- 秋山 実, 1996:
地理情報の処理。山海堂, 158 pp.
...日本の「国土数値情報」などを中心に教科書的に書いた本。
- 建設省国土地理院(監修), 1994(第2版), 1998(補訂版):
数値地図ユーザーズガイド(第2版補訂版)。日本地図センター, 471+29 pp.
...日本の「国土数値情報」などのマニュアル。
地図投影をおこなうコンピュータプログラム (マニュアルへの参照として示す)
- Evenden, G.I., 1991:
Cartographic Projection Procedures for the UNIX Environment -- A User's Manual.
U. S. Geological Survey Open-File Report 90-284, 63 pp.
...多数の投影法の座標変換を計算するフリーソフトウェア「proj」のマニュアル。
[追記 (2006年5月改訂):
Evenden氏のプログラムprojはその後Frank Warmerdam氏によって保守・拡張され、
http://www.remotesensing.org/proj/ から公開されている。
また Evenden氏は機能をしぼったlibproj4というバージョンを
http://members.verizon.net/~vze2hc4d/proj4/ から公開している。]
- National Center for Atmospheric Research
(アメリカ合衆国大気科学研究センター): NCAR Graphics.
...Fortranによる作図プログラム,
小縮尺主題図向き。
1985年までの版はpublic domain,
それ以後の版は有料となっていたが2000年にフリー(著作権はNCARの親組織であるUCARが保有)となった。[http//ngwww.ucar.edu/ 参照。]
- Wessel, P. and Smith, W.H.F., 2000:
GMT (The Generic Mapping Tools) Version 3.3.4 Technical Reference and
Cookbook. 134 pp.
...多数の投影法で数量データの分布図を作図するフリーソフトウェア「GMT」のマニュアル。
[2006年5月現在最新版は4.1.2。
http://gmt.soest.hawaii.edu/
または ftp://ftp.scc.u-tokai.ac.jp/pub/gmt/ より。]
その他
- 政春 尋志, 2011: 日本の地形図等に用いられた多面体図法の投影原理。
地図, 49 (2): 1 - 7. [2023-09-24 追加]
- 丸安 隆和, 1958: 測量学(下), コロナ社, 337 pp.
- 吉澤 孝和, 服部 秀人, 1994:
建設技術者のための実用測量学。山海堂, 214 pp.
- United States Air Force Air Weather Service, 1957:
Catalog of Weather Plotting Charts.
US Air Force Aeronautical Chart and Information Center, 126 pp.
...当時アメリカ空軍で作られていた天気図用白地図集。
2000-05-25 ... 2006-05-19, [多面体図法の件だけ改訂] 2023-09-24
増田 耕一
[地理情報学の目次へ]