地球上の位置の座標: 緯度、経度、高さ

地図をつくること・読むことを数理的にとらえると....

• 地球上の位置から地図(紙)上の位置への写像[数学用語, mapping]
• その逆写像[inverse mapping]

座標[coordinate(s)]と座標系[coordinate system]

• 平面上の位置は2つの数値(実数)の組(「座標」)で表現できる --- デカルト(Des Cartes)
• 座標系...位置と座標値を関係づける約束
• 次元...(ここでは)1つの位置を指定するのに必要な実数の個数
• 1次元の座標系
  • 線上の位置 x
• 2次元の座標系
  • 直交直線座標[デカルト座標 Cartesian coordinate] (x, y) どちらも長さ
  • 極座標 (r, θ[theta]) 長さと角度
• 3次元の座標系
  • 直交直線座標 (x, y, z)
  • 円柱座標 (r, θ, z)
  • 球座標 (r, θ, φ[phi])

地球の形の第1近似: 球

地球の大きさ

• 詳しい数値は、「理科年表」地学部p.1 参照
• メートル(m)の当初の定義
• (メートルの定義は、メートル原器、光の波長、光の一定時間に進む距離と 変わってきた ...「理科年表」物理・化学部p.2 参照)

地球を球としたときの座標系

• 基準は、地球の中心と、地軸(時間平均した自転軸)
• (極運動: 極の位置が約430日周期で約10メートル変動。 「理科年表」天文部p.87参照)
• 地心直交直線座標 (X, Y, Z)
• 緯度φ[phi]、経度λ[lambda]、(球面からの)高さh
  • 球座標[数学]との対応
    • 緯度 φ: 球座標の π/2 - θ
    • 経度 λ: 球座標の φ
  • 天体観測との対応(精密観測の方法の説明ではない)
    • 緯度: 天の北極(星の見かけの日周運動の中心)と地平面との角。
    • 経度: 星の南中時刻の、本初(グリニッジ)子午線での南中との時間差

地球の形の第2近似: 楕円体

• 回転楕円体と3軸不等楕円体
• 回転楕円体の大きさと形を決める数値: 赤道半径 a と 扁平率 f = (a - b)/a。
  fは約1/300。詳しい数値は、「理科年表」地学部p.3参照。
  [楕円の形の表現には、 fの代わりに離心率 e = sqrt( a² - b² ) / a を使うこともある。]
• 楕円体に対する緯度(測地緯度): 楕円体面に垂直な線(法線)と赤道面との角。

測量の基準としての楕円体(準拠楕円体)

• 回転楕円体の大きさと形のほか、その中心の位置(3つの実数)と 極軸の方向(2つの実数)を指定する必要がある。
• 人工衛星が利用できるようになってからは、 地球の重心と平均的な自転軸を基準にとることができるようになった。 WGS-84 (GPSの基準)や、ITRF (1989年以後順次改訂)はこの立場による。 これらを仮に「地心系」と総称しておく。
• 近代的測量の開始のときには、準拠楕円体は各国ごとに決められた。
• 「世界測地系」
  • 日本では、2001年の測量法改正で、2002年4月からは これが標準として使われる。
  • 座標系はITRF-94、楕円体の大きさと形はGRS-80。
  • WGS-84との差は、楕円体自体は約0.1 mm程度、位置座標で約1 m程度。
• 旧「日本測地系」[Tokyo datum]
  三角測量の開始(1882=明治15年)にあたって決められたもの。 「測量法」(1949=昭和24年)で規定され 地形図などの緯度・経度の基準になってきた。 2001年の測量法改正で、2002年4月からは標準でなくなったが、 これまでに作られた地図や数値地図を使う上で知っている必要がある。
  • 楕円体の大きさと形は、Bessel (1841)の値。
  • 東京(麻布の「経緯度原点」=旧東京天文台)で楕円体に対する
    • 緯度、経度が天文観測と一致
    • 鉛直線の方向が観測と一致
    • 鹿野山(千葉県)の三角点を見た方位が観測と一致
  • 東京(三宅坂の「水準原点」)で、楕円体面からの高さが、 東京湾平均海面を基準とした水準測量による標高と一致 (1923関東地震に伴う地殻変動の補正あり)
• 旧日本測地系と地心系とのくいちがい(特に国内で東京から遠いところの位置座標)
  • 水平位置に最大500 m程度の違い
  • 楕円体からの高さに最大50 m程度の違い (必ずしもそのまま「標高」の違いにはならない)
  • 原因1: Bessel楕円体が実際の地球より小さめだった。 地球の表面を一致させた結果、中心の位置がずれてしまった。
  • 原因2: 明治時代の測量では重力の鉛直線偏差がわからず、0とみなした。 特に東京は海溝に近いため、地球上で鉛直線偏差が比較的大きい場所だった (約20秒角)。 このため、楕円体の方向がずれてしまった。
  • さらに、測量結果を楕円体上の距離に換算する際、 各三角点でも鉛直線偏差を0とみなした (次に述べるジオイドが楕円体と一致しているかのように計算した) ことによる誤差がある。
• これまで日本で売られているGPS受信装置には、旧日本測地系とWGS-84の 切りかえ機能がある。 今後はWGS(世界測地系とほぼ同じ)だけのも出てくるかもしれない。

地球の形の第3近似: ジオイド (geoid)

重力とジオイド

• 重力: 地球による万有引力と地球の自転による遠心力の合力
• 鉛直方向: 重力の方向
• 等ポテンシャル面: 重力の方向に垂直にのばした曲面
• ジオイド: 平均海面に一致する等ポテンシャル面を陸上にものばしたもの
• (この平均海面は、海水が止まっていると仮定した場合のものをさす。定常的海流がある場合、地衡流・静水圧の関係で流速と結びついた海面の傾きがある。)

高さ (標高)

• 水準測量で得られる高さ: 等ポテンシャル面に沿った移動と、鉛直方向の移動を小刻みにくりかえし、 鉛直方向の長さを合計したもの。 厳密には経路によって異なる (等ポテンシャル面の間隔が重力の大きさに反比例するため)。
• これまでの地形図の標高は、 水準測量で得られた高さを、 緯度による重力の違いだけを考慮して補正(「楕円補正」)したもの。
• 標高の合理的な定義: ジオイドから鉛直に測った長さ。
• 鉛直線偏差は小さな角度なので、 標高は、近似として、楕円体面に垂直に測った 「楕円体からの高さ」ひく「ジオイド高」(=楕円体からジオイドまでの高さ)。
• GPSなどの楕円体を基準とする方法で得られる高さを、水準測量や地形図で 得られる高さといっしょに扱うためには、ジオイド高を知って補正する 必要がある。
• 「日本のジオイド96」 (国土地理院による。「理科年表」(2000年版)地学部p.253参照)

参考文献

• 地球に関する数量
  • 国立天文台, 1999: 理科年表 2000。丸善, 1064 pp.
• 3次元の幾何学とベクトルの計算
  • Jennings, G.A., 1994; 伊理正夫, 伊理由美 訳, 1996: 幾何再入門。岩波書店, 241 pp.
  • 杉原厚吉, 1995: グラフィックスの数理。 共立出版 (情報数学講座 13), 213 pp.
• 測地・基準点測量
  • 檀原 毅, 1976: 大地を測る。出光書店。
  • 萩原幸男, 1982: 測地学入門。東京大学出版会, 205 pp.
  • 友田好文, 鈴木弘道、土屋 淳 編, 1985: 地球観測ハンドブック。東京大学出版会, 830 pp.
  • 須田 教明, 1986: 地表で測る。森北出版, 74 pp.
  • 大野 重保, 1987: 測地学の方法。東洋書店, 472 pp.
  • 日本測地学会, 1994: 現代測地学。文献社 [現物未確認]
  • 飯村友三郎, 中根勝見, 箱岩英一, 1998: 公共測量教程 TS・GPSによる基準点測量。 東洋書店, 339 pp. (同じシリーズに「水準測量」「測量計算」がある)
  • 海津 優, 大瀧 茂, 後藤 勝広, 1999: 基準点測量。山海堂, 416 pp.
• 全般的補足
  • 田代 博, 星野 朗 編著, 2000: 地図のことがわかる事典。 日本実業出版社, 294 pp.

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