[地学 II]

第7回小レポートの答えの概略

問い

惑星の運動を円運動で近似する。 円の半径としては、楕円軌道の長半径、 あるいは、太陽・惑星間の平均距離をとる。 惑星の質量、軌道半径、公転周期がそれぞれ地球の何倍かの情報をもとに、 木星の角運動量が地球の何倍かを計算してみよう。 加速度、速度 (円運動とみなしたときの接線方向の速度)がそれぞれ地球の何倍かも確認してほしい。 できれば、地球をふくむ8惑星について角運動量を計算し (地球の何倍かという形でよい)、 木星が全体のうちでどれだけをしめるかを知ろう。

答えの考えかた

太陽系の8惑星について、 質量、太陽からの距離 (軌道長半径)、公転周期、それぞれの、地球のばあいに対する比のデータを 調べて、次の表のB, C, D列に入れた。 ここでは『理科年表 2021』の「天 2-3」ページの「惑星表」の「軌道長半径 (天文単位)」と 「対恒星公転周期 (ユリウス年)」、「太陽、惑星および月定数表」の「質量 (地球 = 1)」をつかった。 公転周期のこの表にある値は地球のばあいが厳密に1ではないが、 ここでは小数点下3けたまでとればじゅうぶんなので、表の数値をそのまま小数点下3けたでまるめてつかった。

角運動量は「質量 × 半径の2乗 × 角速度」であり、角速度は「2π/周期」である。 角運動量が地球のばあいの何倍かを計算するときは、2πがうちけされるので、 「質量比 × 半径の比の2乗 / 周期の比」を計算すればよい。 E列に各惑星の角運動量の地球のばあいに対する比、F列にその8惑星合計に対する比を入れた。 木星が全体の 61% 、土星が 25% をしめていることがわかる。

【わたしは表計算ソフトウェア LibreOffice Calc で計算した。 セルE5の式は「=B5*(C5^2)/D5」、E6からE12はそれをコピーする。E13の式は「=SUM(E5:E12)」。 セルF5の式は「=E5/$E$13」、F6からF12はそれをコピーする。】

円運動の接線方向の速度は「半径×角速度」である。 地球のばあいの何倍かを計算するときは、「半径の比 / 周期の比」を計算すればよい。 【セルG5の式は「=C5/D5」、G6からG12はそれをコピーする。】

円運動の中心にむかう加速度は「半径× 角速度の2乗」である。 地球のばあいの何倍かを計算するときは、「半径の比 / 周期の比の2乗」を計算すればよい。 【セルH5の式は「=C5/(D5^2)」、H6からH12はそれをコピーする。】 太陽と惑星のあいだにはたらく重力の大きさは、これと質量をかければえられる。

結果の表

 

質量

軌道長半径

公転周期

角運動量

角運動量

速度

加速度

 

m

r

T

m r^2 ×(2π/T)

 

r×(2π/T)

r×(2π/T)^2

 

(対 地球 比)

(対 地球 比)

(対 地球 比)

(対 地球 比)

(対 全惑星合計 比)

(対 地球 比)

(対 地球 比)

   

(小数点下3けた)

(小数点下3けた)

(小数点下6けた)

(小数点下3けた)

(小数点下6けた)

水星

0.05527

0.3871

0.241

0.034

0.000029

1.606

6.664830

金星

0.8150

0.7233

0.615

0.693

0.000587

1.176

1.912354

地球

1.0000

1.0000

1.000

1.000

0.000847

1.000

1.000000

火星

0.1074

1.5237

1.881

0.133

0.000112

0.810

0.430647

木星

317.8300

5.2026

11.862

725.233

0.614445

0.439

0.036975

土星

95.1600

9.5549

29.457

294.929

0.249875

0.324

0.011012

天王星

14.5400

19.2184

84.021

63.916

0.054152

0.229

0.002722

海王星

17.1500

30.1104

164.770

94.367

0.079951

0.183

0.001109

惑星合計

   

1180.306

1.000000

  

2021-06-07
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
[気候・気象学」目次] [立正大学用教材目次] [教材目次]