惑星の運動を円運動で近似する。 円の半径としては、楕円軌道の長半径、 あるいは、太陽・惑星間の平均距離をとる。 惑星の質量、軌道半径、公転周期がそれぞれ地球の何倍かの情報をもとに、 木星の角運動量が地球の何倍かを計算してみよう。 加速度、速度 (円運動とみなしたときの接線方向の速度)がそれぞれ地球の何倍かも確認してほしい。 できれば、地球をふくむ8惑星について角運動量を計算し (地球の何倍かという形でよい)、 木星が全体のうちでどれだけをしめるかを知ろう。
太陽系の8惑星について、 質量、太陽からの距離 (軌道長半径)、公転周期、それぞれの、地球のばあいに対する比のデータを 調べて、次の表のB, C, D列に入れた。 ここでは『理科年表 2021』の「天 2-3」ページの「惑星表」の「軌道長半径 (天文単位)」と 「対恒星公転周期 (ユリウス年)」、「太陽、惑星および月定数表」の「質量 (地球 = 1)」をつかった。 公転周期のこの表にある値は地球のばあいが厳密に1ではないが、 ここでは小数点下3けたまでとればじゅうぶんなので、表の数値をそのまま小数点下3けたでまるめてつかった。
角運動量は「質量 × 半径の2乗 × 角速度」であり、角速度は「2π/周期」である。 角運動量が地球のばあいの何倍かを計算するときは、2πがうちけされるので、 「質量比 × 半径の比の2乗 / 周期の比」を計算すればよい。 E列に各惑星の角運動量の地球のばあいに対する比、F列にその8惑星合計に対する比を入れた。 木星が全体の 61% 、土星が 25% をしめていることがわかる。
【わたしは表計算ソフトウェア LibreOffice Calc で計算した。 セルE5の式は「=B5*(C5^2)/D5」、E6からE12はそれをコピーする。E13の式は「=SUM(E5:E12)」。 セルF5の式は「=E5/$E$13」、F6からF12はそれをコピーする。】
円運動の接線方向の速度は「半径×角速度」である。 地球のばあいの何倍かを計算するときは、「半径の比 / 周期の比」を計算すればよい。 【セルG5の式は「=C5/D5」、G6からG12はそれをコピーする。】
円運動の中心にむかう加速度は「半径× 角速度の2乗」である。 地球のばあいの何倍かを計算するときは、「半径の比 / 周期の比の2乗」を計算すればよい。 【セルH5の式は「=C5/(D5^2)」、H6からH12はそれをコピーする。】 太陽と惑星のあいだにはたらく重力の大きさは、これと質量をかければえられる。
質量 | 軌道長半径 | 公転周期 | 角運動量 | 角運動量 | 速度 | 加速度 | |
m | r | T | m r^2 ×(2π/T) | r×(2π/T) | r×(2π/T)^2 | ||
(対 地球 比) | (対 地球 比) | (対 地球 比) | (対 地球 比) | (対 全惑星合計 比) | (対 地球 比) | (対 地球 比) | |
(小数点下3けた) | (小数点下3けた) | (小数点下6けた) | (小数点下3けた) | (小数点下6けた) | |||
水星 | 0.05527 | 0.3871 | 0.241 | 0.034 | 0.000029 | 1.606 | 6.664830 |
金星 | 0.8150 | 0.7233 | 0.615 | 0.693 | 0.000587 | 1.176 | 1.912354 |
地球 | 1.0000 | 1.0000 | 1.000 | 1.000 | 0.000847 | 1.000 | 1.000000 |
火星 | 0.1074 | 1.5237 | 1.881 | 0.133 | 0.000112 | 0.810 | 0.430647 |
木星 | 317.8300 | 5.2026 | 11.862 | 725.233 | 0.614445 | 0.439 | 0.036975 |
土星 | 95.1600 | 9.5549 | 29.457 | 294.929 | 0.249875 | 0.324 | 0.011012 |
天王星 | 14.5400 | 19.2184 | 84.021 | 63.916 | 0.054152 | 0.229 | 0.002722 |
海王星 | 17.1500 | 30.1104 | 164.770 | 94.367 | 0.079951 | 0.183 | 0.001109 |
惑星合計 | 1180.306 | 1.000000 |