第5回小レポートの答えの考えかた

問い

放射光度 (ひとつの星全体が単位時間あたりに出す放射のエネルギー) が太陽の A 倍で、 表面温度が (絶対温度目盛りで) 太陽の B 倍である星の表面積は、太陽の何倍になるか。 また、半径は太陽の何倍になるか。 ただし、星の形は球とみなし、放射は表面温度の黒体放射とみなす。 代数式で答えてもよいし、 A, B がそれぞれ 10倍、1倍、0.1 倍の (両方1倍をのぞく) 8とおりの組み合わせについて計算してみてもよい。 平方根や4乗根などの計算が必要になるかもしれない。4乗根は平方根の平方根である。

答えの考えかた

シュテファン・ボルツマンの法則から、 表面温度が 太陽の B 倍である星が単位面積あたり・単位時間あたりに出す放射のエネルギーは、 太陽の B⁴ (Bの4乗) 倍である。

この星の表面積が太陽の C 倍だとすれば、 この星の放射光度は、太陽の B⁴ × C 倍となる。これが A 倍 と ひとしいから、 C = A / B⁴ となる (Bの4乗が分母にくる)。

表面積が太陽の C 倍ならば、半径は太陽の「Cの平方根」倍である。