主系列星で、質量が太陽の 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4 倍の恒星を考える。
(むずかしければ、16, 4, 1, 1/4 倍にしぼってもよい。)
次にのべるそれぞれの量について、 恒星については「太陽のばあいの何倍か」、 惑星については「地球のばあいの何倍か」を計算し、表にしてみなさい。 指定したところについては、単位をもつ物理量の概算値も示しなさい。 ただし、それぞれの数値の有効数字は 2けた程度とする。 (たとえば、計算結果が「16777216」となったならば「1.6×107」の ように答えること。)
| 質量 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
主系列星については、質量と半径が比例するという経験的関係がある。
主系列星については、放射光度 (星全体が単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー)が 質量の 3.5乗 (いいかえれば、質量の(7/2)乗、質量の3乗と質量の平方根の積) に 比例するという経験的関係がある。
主系列星のエネルギー源は水素からヘリウムへの核融合である。 核融合につかえる水素の質量は、恒星の質量に比例すると考えられる。 (恒星の質量の約 0.1 倍だと考えられている。)
実際の惑星の環境は、惑星による主星からの放射の反射率 (惑星アルベド) や、 惑星大気の成分 (たとえば水蒸気、二酸化炭素、メタン) による温室効果にもよるが、 ここではひとまず、それらの条件は地球と同様だと仮定してみよう。 また、公転軌道は円に近く、主星からの距離は一定に近いと仮定してみよう。 すると、惑星の位置で、主星に正面をむけた平面にとどく単位面積・単位時間あたりのエネルギーの流れ (放射照度) が地球と同程度ならば、地球と同様な環境になるだろうと考えられる。
ケプラーの第3法則は「公転周期の2乗と公転軌道半径の3乗とが比例する」だが、 これは同じ太陽のまわりをまわる惑星についてのものである。
主星の質量がちがうばあいへの拡張を、 ニュートンの運動法則と重力 (万有引力)の法則にもとづいて考える。 惑星の公転周期を P、惑星の主星からの平均距離を a、 主星の質量を M、重力定数 (万有引力定数) を G、円周率を π とし、 惑星の質量は m、ただし m は M にくらべてじゅうぶん小さいとする。
惑星の運動を等速円運動とみなすと、その角速度 は ω = 2π/P であり、 向心力 m a ω2 が 主星からの重力 G M m / a2 にひとしい という式を変形していくと、 P は {a3/M} の平方根に比例するという関係が得られる。
この問題のねらいは、数量どうしの、 何が何の何乗に比例するかという関係を考えてほしいことと、 何が何の何倍かという数量を実際にだしてみてほしいことの両面があります。
出題で、答えかたについてはくわしく指示しませんでしたが、 つぎのように、それぞれの質量に対する数量をこたえる列と、 数量がそのようになる根拠をことばあるいは数式でこたえる列をふくむ 表をつくることを奨励します。
| 物理量 | ... | 根拠 | ||
|---|---|---|---|---|
| 質量 (太陽が1) | 16 | ... | 0.25 | 問題文 |
| (1) 半径 (太陽が1) | 16 | ... | 0.25 | 問題文 第1部 |
| (2) 表面積 (太陽が1) | ... | ... | ... | 半径の2乗に比例 |
表の数値を計算するには、Excel のような表計算ソフトウェアをつかい、 セルに計算式を書き、数式中での他のセルへの参照は「相対参照」(「$」をつけない形) にしたうえで、 その計算式 (結果の数値ではない) を同じ行の他の列にコピーする方法が便利です。 たとえば、「半径」がワークシートの第4行、「表面積」が第5行だとすれば、 セル B5 に 「=B4^2」という式を入れ、それを C5, D5, ... にコピーします。
(表計算でなければならないことはなく、Python などのプログラム言語でもできます。)
しかし、「有効数字 2けたであらわす」 ことは、Excel の「セルの書式設定」で できなくはありませんが、簡単ではありません。
いまのところわたしが想定しているのは、MS Word のような文書作成ソフトウェアか、 手書きで、表をつくって、そこに表計算の結果を、有効数字を考えながら書くことです。