空間スケールの大きい現象は時間スケールも大きいのがふつうである。 大まかに、現象の空間軸上の大きさ(長さ)と時間軸上の大きさ(継続時間)は比例すると言ってよいかもしれない。 ただし、鉛直スケールは大気の厚さ(さらに対流圏の厚さなど)で、 水平スケールは地球の大きさで、頭打ちになる。
空間・時間スケールがちがっても風速や現象の移動速度はだいたい 1 m/s から 10 m/s のけたで同じなのだ。
3次元空間内の点の位置は、原点で相互に直交する 3つの直線の軸からなる座標系によって、 3つの、実数値、長さという物理量の次元をとる量 (x, y, z) であらわすことができる。
気象・海洋の分野では、地球の形は 回転楕円体 (第2近似) とせず 球 (第1近似) ですませることが多い。 大気の運動方程式をきちんと定式化するときは、球座標がつかわれる。 球座標の表現は、応用数学や物理での流儀と、気象学や海洋学での流儀が ちがうので、どちらの流儀で書かれているか注意してつかう必要がある。
地球全体にくらべて小さい領域を考えるときは、球面の部分を平面で近似する。 すると、直交直線座標 (x, y, z) をつかうことができる。
xとyは水平座標である。 気象や海洋の分野では、地図を x-y平面 とみて、 x軸は図上の右向き、y軸は図上の上向きにとる。 極付近をあつかうばあい以外は、x軸は東向き、y軸は北向きにとることが多い。 zは鉛直座標で、気象では上向きにとる。 (海洋では下向きを正にとることが多いが、下向きを負にとる流儀もある)。
速度は、物体の位置の時間変化であり、 直交直線座標ならば、位置座標を時間で微分して得られる。 気象 (や海洋) の分野では、速度の3成分につぎのように (u, v, w)をつかう。
速度ベクトルには太字の v または u をつかうことが多い。 ベクトルをさす太字と成分をさす細字を区別して読む必要がある。 (黒板では、太字のかわりに縦の字画を二本線にして示すことがある。)
気象力学では加速度には専用の物理量記号をもちこまず、 dv/dt = (du/dt, dv/dt, dw/dt) の形で書くことが多い。
大気の運動を記述する際には、大気を流体としてとらえている。
流体は、連続体の一種である。連続体には流体のほかに弾性体がある。 (弾性体では変形するともとの形にもどろうとする力 (弾性力) が働くが、 流体では働かない。)
連続体では、いろいろな物理量が、空間座標で微分できる。 物理量 Q [注] について、(Q(x+Δx) - Q(x))/Δx の Δx→0 での極限が有限値になる (境界面や衝撃波などの例外がある)。
連続体の質量はつぎのような形で存在する。 密度 (単位体積あたりの質量) が空間に分布しており、密度はどこでも有限値をとる。 (連続体の質量は質点のように集中していない。)
実際の大気は、分子からなっているので、 ミクロの状態は連続体とはちがっている。 しかし (対流圏・成層圏の大気ぐらいの密度があって、分子間衝突がじゅうぶん頻繁な気体では)、 多数 (たとえばアヴォガドロ数ぐらい) の分子を含む空間について 平均した物理量が変化するしくみは、連続体でよく近似できる。
流体の運動方程式を記述するのに、おおきくわけて2つの態度がある。 (ラグランジュとオイラーは18世紀の物理学者の名まえで、 実際にはどちらの人も流体を両方の態度で論じたことがあるのだが、 用語としてかたまってしまった。)
(x, y, z) 座標での速度を (u, v, w) とすると、つぎの関係がある。 ∂Q/∂t を「局所変化項」、あとの3項を「移流項」とよぶことがある。
dQ/dt = ∂Q/∂t + u ∂Q/∂x + v ∂Q/∂y + w ∂Q/∂z
【「北風がふくと寒くなる」ということを、つぎのようにとらえることができる。 Q を 気温 T とする。 仮に dT/dt = 0 (それぞれの空気塊は温度をたもって移動する) とする。 北のほうが温度が低ければ ∂T/∂y < 0 であり、 北風がふけば v < 0 であり、両者の積の v ∂T/∂y は正である。 もし他の項が 0 ならば、∂T/∂t < 0 となる。】
鉛直方向の運動方程式が静水圧のつりあい ([乾燥大気の熱力学、静水圧のつりあい、気圧と高さの関係] のページであつかった) で近似できることを前提として、 鉛直座標として、高さ z のかわりに、気圧 p をとることが、 気象の分野ではふつうにおこなわれる。
観測の面では、ラジオゾンデ (気圧計・温度計などの観測機器と電波発信機をつけた気球) による観測で、 気圧が高さよりも直接的に測定されており、 上空の天気図 (「高層天気図」) を、高さ一定の平面ではなく、 気圧が一定の面についてつくる習慣がある。
理論の面では、(x, y, p) という尺度で見た「体積」は空気の質量に比例するので、 p座標は、密度一定の流体の力学を応用するのに便利なのだ。
pは下に向かってふえるので、zの向きとpの向きが逆であることに注意する必要がある。
dp/dt = ω [オメガ小文字、ここでは角速度ではない] を「鉛直 p 速度」ということがある。 (量の次元は速度でなく [圧力/時間] である。) ωが正は下降流である。
大気が均一な理想気体で、さらに温度が一様だと仮定すると、 気圧の鉛直分布は高さの指数関数の形をしている。 その条件では、pの対数が高さに比例する。 現実のデータを見るばあいにも、近似的に高さに比例することをねらって、 p座標は対数目盛りで表示することが多い。 (エマグラムの縦軸も、気圧を対数目盛りにしたものである。)
p座標には、地表面の座標値が一定でないという欠点がある。 気象シミュレーションのためには、 p座標をさらに変形して (あるいは p座標と z座標を組みあわせて)、 地表面の座標値が一定になるようにした鉛直座標が考案されている。