[注] 数式には、分数、あるいは微分記号などの分数と同様な形のものが多数あらわれます。 分数は横線の上に分子、下に分母をかく形が標準的です。 しかし、ウェブページを構成する HTML という言語では、 横線をつかった分数をかくことがむずかしいです。 それで、わたしの教材ウェブページでは、「 y / x 」のように、分数を、 斜め線の前に分子、後に分母という形でかくことが多くなっています。 教科書などを参照して、横線の形に書きかえたものをつかいなれるようにしてください。 なお、斜線をつかった形式で必要な かっこ のうちには、 横線をつかった形式では不要になるものがあります。
直線上を動く質点を考える。直線上の位置を x 座標とする。 質点の位置 x が時間 t とともに変わる。x は t の関数 x(t) である。
時刻 t1 のときの位置が x1、 時刻 t2 のときの位置が x2 とすると、 t1 から t2 までの時間区間での平均速度は (x2 - x1) / (t2 - t1) である。
ここで、時間区間を Δt、そのあいだの質点の位置の変化 つまり 変位 を Δx と 書くことにする。 (ひきつづき、時間区間のはじまりの時刻は t1 だとするが、しばらく明示しない。) (Δt は Δ かける t ではなく、ひとつの数量である。 Δをつかうときは、無限小ではないという意味で有限だが、微小な量を想定している。) 時間区間 Δt のあいだの平均速度は、Δx/Δt である。
Δx/Δt の Δt → 0 とした極限が、x(t) の t による微分 dx/dt となる。 これが、質点の速度 (瞬間速度) v である。
質点の位置ベクトルを r = (x, y, z) とする。
時間区間 Δt のあいだの 位置ベクトルの変化 つまり 変位[-ベクトル] は Δr = (Δx, Δy, Δz) のように書ける。 時間区間 Δt のあいだの 平均速度[-ベクトル] は Δr/Δt である。Δr/Δt の Δt → 0 とした極限が、 r(t) の t による微分 dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) となる。 これが、質点の速度 (瞬間速度) v = (vx, vy, vz) である。
速度ベクトルの大きさは、速さ √(vx2 + vy2 + vz2) である。 【根号の上の棒は かっこ でかこまれたところまでのばす。そうすれば かっこ は不要。】
速度ベクトルの方向は、質点の軌道 (曲線) の (現在の位置での) 接線の方向である。
(この「等速」は「等速度」ではないことに注意)
[(*) 1-8図] ←(教科書の図なので、円の半径は小文字の a となっている。)
x = A cos(ω t), y = A sin(ω t) 【教科書の「a」を大文字の「A」に変えた。つぎの加速度のところでのまぎらわしさをへらすためである。】
ここで、cos(ω t) は「ω かける t」を入力とした cos 関数の出力値である。 かっこ なしで cos ω t のように書いてもその意味になる。 教科書は かっこ なしの形を採用している。
ω [オメガ] は、角速度という量で、 その物理量の次元は時間の逆数である (ωとtの積が無次元となる)。 そのSI単位は、ラジアンを明示すれば、ラジアン毎秒 (rad/s) である。 円運動の周期 [1周するのにかかる時間] を T とすれば、ω = 2 π / T である。(πは円周率。) ここでは、ωの値は一定とする。 「等速円運動」の「等速」は、角速度が一定という意味である。
sin や cos の微分は、教科書の付録 A-1 「関数の微分」の [(*) A-1 表] (114ページ) にふくまれている。 d sin(x)/dt = cos(x), d cos(x)/dt = -sin(x) である。 (一方にだけ負の符号がついていることに注意。)
また、合成関数の微分 (yがxの関数、xがtの関数であるとき) dy/dt = dy/dx dx/dt の関係がある (115ページ)。
これを利用すると、速度は
vx = -A ω sin(ω t), vy = A ω cos(ω t) となる。 (位置とくらべると sin と cos がいれかわり、一方にだけ負の符号がついていることに注意。)
速度ベクトルの大きさは A ω である。
速度ベクトルの方向は、円の接線の方向である。
vx = -A ω sin(ω t), vy = A ω cos(ω t), vz = c
ただし c は速度の次元をもつ定数。
x-y 平面内での円運動と z 方向の等速直線運動がくみあわさった運動である。
t = 0 で x = A, y = 0, z = 0 とすれば、一般の時刻 t での位置は x = A cos(ω t), y = A sin(ω t), z = c t。
速度の大きさは √(A2 ω2 + c2) である。 【根号の上の棒は かっこ でかこまれたところまでのばす。そうすれば かっこ は不要。】
vx, vy がそれぞれ定数、vz = 0 とする。 t = 0 で x = x0, y = y0, z = z0 とすれば、 一般の時刻 t での位置は、x = x0 + vx t, y = y0 + vy t, z = z0。 vx = 0 でなければ、x の式を t = (x - x0) / vx と 書きなおして、 y の式から t を消去し、y = y0 + (vy / vx) (x - x0) という、x と y の関係式に もちこむことができる。これは直線の式である。 また、vx = 0 ならば、運動の軌跡は y軸に平行な直線となる。
質点の速度は、時間とともに変化しうる。
そこで、速度の時間による微分を考え、加速度 という。
直線上を動く質点を考える。直線上の位置を x 座標とする。 質点の位置 x が時間 t とともに変わる。x は t の関数 x(t) である。
時刻 t1 のときの速度が v1、 時刻 t2 のときの速度が v2 とすると、 t1 から t2 までの時間区間での平均加速度は (v2 - v1) / (t2 - t1) である。
時間区間 Δt のあいだの速度の変化を Δv と書くことにする。 時間区間 Δt のあいだの平均加速度は、Δv/Δt である。
Δv/Δt の Δt → 0 とした極限が、v(t) の t による微分 dv/dt となる。 これが、加速度 a である。
これは、位置の時間による2回微分 d2x/dt2 でもある。
質点の速度ベクトルを v = (vx, vy, vz) とする。
時間区間 Δt のあいだの 速度ベクトルの変化 は Δv = (Δvx, Δvy, Δvz) のように書ける。 時間区間 Δt のあいだの 平均加速度[-ベクトル] は Δv/Δt である。Δv/Δt の Δt → 0 とした極限が、 v(t) の t による微分 dv/dt = (dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt) となる。 これが、質点の加速度 a = (ax, ay, az) である。
これは、位置の時間による2回微分 d2r/dt2 = (d2x/dt2, d2y/dt2, d2z/dt2) でもある。速度ベクトルを原点をそろえてかき、その先をつないだ曲線を、ホドグラフ (hodograph) という。 【ホドグラフの空間での長さは、実空間では速度の次元をもった量にあたる。】 加速度の方向は、ホドグラフの接線の方向である。
[(*) 1-8図] ←(教科書の図なので、円の半径は小文字の a となっている。)
x = A cos(ω t), y = A sin(ω t) (A は円の半径、ωは角速度)
加速度は ax = -A ω2 cos(ω t) = -ω2 x, ay = -A ω2 sin(ω t) = -ω2 y
ベクトル表現すれば a = -ω2 r となる。 加速度の大きさは、円の半径の ω2 倍、方向は円の中心にむかう。軌道上のひとつの点に注目して、 加速度 を、そこでの 接線 (tangent) 成分と、それに直角な 法線 (normal) 成分とに わけることができる。 加速度の接線成分は、速さ (速度ベクトルの大きさ) の時間による微分であり、軌道上の走行距離の時間による2回微分にあたる。 曲線の軌道の微小部分は円で近似できる。その円の中心を曲率中心という。 その円の半径を曲率半径といい、ここでは R であらわす。 加速度の法線成分は、曲率中心にむかい、大きさは v2 / R である。 ただし v は速さ (速度ベクトルの大きさ) である。
【 [2021-10-02 補足] 教科書のここの記述は平面内の運動を想定したようだ。 3次元空間での運動では、法線方向はひとつに決まらず、接線に垂直な面内のいろいろな方向がありうる。 そこで、接線の方向の単位ベクトルを接線ベクトルとする。 接線ベクトルの方向と、質点の運動にともなう接線ベクトルの時間変化のベクトルの方向をふくむ平面を考える。 その平面内の法線を主法線とする。主法線は曲率中心にむかう。 この授業の目次ページに 「参考書」としてあげた原島 (1973, 2020) の本の 5.1 節の「3次元の場合」 (2020年版で76ページ) を参照した。】
質量 m をもち速度[ベクトル] v で運動している物体は、 運動量 [ベクトル] p = m v をもつ。
この量は、(たとえば) この物体が他の物体と衝突したときにおこることを考えるときに有用である。
質量 m をもち速度[ベクトル] v で運動している物体は、 運動エネルギー [スカラー] (1/2) m |v|2 = (1/2) m (vx2 + vy2 + vz2)をもつ。 (|v| は ベクトルv の大きさ。)
古典力学の運動法則と力の概念は、 ニュートン (Newton, 代表的著作の年 1687年) によってつくりはじめられ、 オイラー (Euler, 代表的著作の年 1750年) によって完成されたといえる。 (山本, 1999; 有賀, 2018; 入門的解説は 中澤, 2009)
ニュートンよりもまえの多くの学者たちは、運動する物体には力が内在すると考えていた。 のちの力学を知っているたちばからみると、その「力」は運動量にあたるものだったり、 運動エネルギーにあたるものだったりした。
ニュートンは (有賀の訳語で) 「固有力」と「刻印力」を区別した。 「刻印力」のほうがのちの力学でいう力にあたる。「固有力」は物体が慣性をたもつ能力である。
オイラーが、運動にかかわる力 (ニュートンの「刻印力」) と静力学の力のつりあいにかかわる力が 同じものであることを示した。また、慣性は力とは別ものだとした。 これで古典力学の力の概念が確立した。
また、ニュートンによる惑星や地上の物体の運動の説明は、幾何学的なものであった。 ライプニッツ (Leibniz) などの人たちが、微分をつかった記述をはじめた。 オイラーが、現在もつかわれている運動方程式の形にまとめた。
19世紀ごろ以後「ニュートン力学」「ニュートンの運動方程式」 とよばれるものはオイラーによる定式化以後の形のものである。
ニュートンは運動の第1法則を次のようにのべた (日本語訳は有賀 (2018) 42ページによる)
すべての物体は、刻印力によってその状態を変えるよう強いられない限り、 静止または一様直進運動の状態を堅持する
わたしが今の用語で言いかえると次のようになる。
すべての物体は、力を受けなければ、静止または等速直線運動を続ける。
これは、すべての物体が慣性 (inertia) という性質をもつ、ということにもなる。
また、逆に、物体が静止または等速直線運動をしているならば、 その物体に働く [ベクトルとしての] 合計の力は 0 である、 いいかえれば、その物体に働く力はつりあっている、ということもできる。 ただしこれを言うには、第1法則だけでなくつぎの第2法則の知識も必要かもしれない。
ニュートンは運動の第2法則を次のようにのべた (日本語訳は有賀 (2018) 45ページによる)
運動の変化は駆動的な刻印力に比例し、その力の刻印される直線に沿ってもたらされる
これが、のちの運動方程式と同じことを言っているのかは、かならずしも明確でない。
教科書 (小出, 1997) 1.5節 11ページにのべられた「ニュートンの運動の第2法則」は あきらかにオイラー以後の定式化によるものである。
物体が力を受けると、その力の方向・向きに加速度を生じ、 その加速度の大きさは力の大きさに比例し、物体の質量に逆比例する。
これはつぎの「運動方程式」の形に書ける。
質量 m の質点が 力 F を受けると加速度 a が生じる。
F = m a ... (1.10 a)
ベクトルを成分にわけると
Fx = m ax, Fy = m ay, Fz = m az ... (1.10b)
(m a を「運動量 p = m v の時間による微分」とみるべきだという考えもある。 しかし、ここではその考えに深入りしない。)
SI 単位系では、質量の単位は kg [キログラム]、 加速度の単位は m/s2 [メートル毎秒毎秒] である。 力の単位は、運動方程式によって組み立てるので、 kg m/s2 である。これに N [ニュートン] という名まえがつけられている。 一貫して SI単位をつかえば、運動方程式に数値を入れて計算するとき換算定数が不要である。
地球上の重力加速度の代表値は 9.80665 m/s2 である。 この値を採用すると、質量が 1 kg の物体に働く地球の重力は 9.80665 N である。 (かつてはこの値が「1 kg重」などと呼ばれ、力の単位としてつかわれた。)
概算では、1 N は、約 100 g の物体 (例、みかん 1個) に働く地球の重力の大きさである。
運動方程式に出てくる質量を「慣性質量」、 重力(万有引力)の法則に出てくる質量を「重力質量」ということがある。 両者が一致するかどうかは自明ではないが、実験の精度の範囲では一致している。
質量 m の質点が、半径 A の円周上を 角速度 ω で円運動している。
この質点に働く合力は、円の中心にむかい、 大きさ m A ω2 (= m v2 / A) である。 この力を「向心力」または「求心力」という。 (1970年代には「求心力」のほうがふつうだったと記憶しているが、 いまは物理用語としては「向心力」がよいとされる。) この用語は、力をもたらす原因ではなく、円運動という現象にとっての役割をのべていることに注意。
教科書では1.6節ですぐ2次元の放物運動に進んでしまうが、 まず1次元で、一定の重力加速度の重力だけが働くばあいを考えてみよう。 (現実の地上での実験ならば空気の抵抗もあるが、ここではそれは考えない。)
z軸を鉛直上向きにとる。質量 m の質点が、下向きの重力 m g を受けるとする。g は一定値だとする。 鉛直方向の運動方程式はつぎのようになる。 (左辺が加速度、右辺が質量あたりの力。質量は両辺に出てくるので消去した。)
az = -g
これを時間で積分して速度の鉛直成分 vz を得る。 積分の不定性は、初期値をあたえてやれば定まる。 時刻 0 での速度の鉛直成分を vz0 とすれば、つぎのようになる。
vz = vz0 - g t
さらに時間で積分して位置(鉛直座標) z を得る。 t を t で積分すると (1/2) t2 になることに注意。 (高校の物理の教材では、長方形と三角形の面積の模式をつかって説明していることが多い。) 時刻 0 での位置を z0 とすれば、つぎのようになる。
z = z0 + vz0 t - (1/2) g t2
上の落体問題について、具体的な数値を入れて計算してみよう。 ただし、重力加速度は 9.8 m/s2 とする。
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