剛体の力学

教科書 2.7節「剛体とそのつりあい」、2.8節「固定軸の周りの剛体の運動」(途中まで)

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• 分数を斜線でしめしている (横線のほうがよい)。
• 総和のindex変数を下つき添え字のようにしている (Σの下にしめすべき)。
• 平方根を「sqrt()」で表現した (数式では √ をつかう)。

剛体という考えかた (教科書 2.7節 65ページ)

現実の物体は、質点ではなく、質量が空間にひろがっている。 密度 (= 質量 / 体積) が有限の値をもつ。

現実の物体のうち、固体である物体は、 全体として移動すること (「並進」という) と、回転することはあるが、変形は少ない。 つまり、並進と回転を別とすると、物体を構成する部分どうしの位置関係はあまり変わらない。

このような固体の性質を理想化して、まったく変形しない物体を考え、「剛体」という。

剛体は、多数の質点からなる質点系とみなすこともできる。 質点系の重心運動についての性質は、剛体にも適用できる。 重心の運動を考える際には、 質量として剛体全体の質量、位置として重心の位置、 力として剛体の部分である各質点に働く外力の合力をとりあげれば、 質点の運動方程式と同じ形になる。

剛体を構成する部分どうしの間に働く力は、質点系としてみたときの内力である。 剛体が、回転してもばらばらにならず、形をたもっているのは、内力が働いているからにちがいない。 しかし、物体を剛体としてあつかうことによって、内力について具体的に考えないですませる。

剛体とちがった、変形しうる物体のあつかいとしては、「弾性体」や「流体」をふくむ「連続体」がある。 教科書では第3部であつかっている。この授業では最終回ですこしふれる予定。

剛体の運動の表現

並進

剛体の運動は、並進運動と回転運動とのたしざんであらわされる。

並進運動は、質点系の重心の運動と考えればよい。 3次元空間の中の剛体の並進運動に関するある時刻の状態は、 (質点の運動のばあいと同様に) その時点での重心の位置 (3次元ベクトル) と 運動量 (3次元ベクトル)、 あわせて 6つの実数変数であらわされる。 剛体の運動量は剛体の質量と重心の速度をかけたものである。

並進運動の運動方程式にでてくる力は、 剛体を構成する各細片 (質点とみなす) にかかる外力の合力であるが、 重心にかかると考えてよい。

z軸のまわりの回転運動 (教科書 2.8節 67-68ページ)

ひとまず、z軸のまわりの回転を考える。

• [(*) 2-10図 z軸の周りの回転]

z軸のまわりを回転するひとつの剛体のある時点の(回転に関する)状態は、 剛体のうち z軸上でないどこかに印をつけ、その印が z x 平面をとおるときを 基準としてどれだけ回転したかをあらわす角 φ (ひとつの実数) であらわすことができる。 φ の時間 t による微分 dφ/dt が角速度である。

角運動量は3次元ベクトルだが、 ここで問題になるのはそのz成分 (z軸まわりの回転に関する成分) L_z である。

剛体を細分して j 番めの細片 (質点とみなす) の質量を m_j、 位置を 点P、その位置ベクトルを x_j = (x_j, y_j, z_j) とする。 細片 j は、P から z軸におろした垂線が z軸にまじわる点 C を中心として、 角速度 dφ/dt で円運動をしている。

• [(*) 2-11図]

2-11図のように、xy平面内での P の位置 (x_j, y_j) を、 C を原点とする2次元極座標で 動径 r_j、方位角を θ_j で表現する。 【この場面かぎりの原点をとったこと、3次元の動径でないことに注意。】

x_j = r_j cos θ_j

y_j = r_j sin θ_j

xy平面内で円運動する細片の速度は

v_jx = dx_j/dt = -r_j dφ/dt sin θ_j = -y_j dφ/dt

v_jy = dy_j/dt = r_j dφ/dt cos θ_j = x_j dφ/dt

細片 j の角運動量は、細片の位置ベクトルと運動量ベクトルの外積、 運動量ベクトルは速度ベクトルに質量をかけたものだから、 その z 成分はつぎのようになる。

L_jz = x_j m_j v_jy - y_j m_j v_jx = m_j (x_j² + y_j²) dφ/dt = m_j r_j² dφ/dt

剛体全体の角運動量の z 成分はつぎのようになる。(剛体なので dφ/dt が共通である。)

L_z = Σ_j L_jz = (Σ_j{m_j r_j²}) dφ/dt

ここで、「慣性モーメント」 I という量を導入する。 これは、剛体の形、質量分布、回転の軸のとりかたによってきまる定数である。 ここでの I は、この剛体の z軸のまわりの慣性モーメントである。

I = Σ_j{m_j r_j²} ... (2.45)

L_z = I dφ/dt ... (2.46)

z軸のまわりの回転運動と力 (教科書 2.8節 68-69ページ)

剛体の角運動量は、剛体を構成する細片にかかる力のモーメントの合計によって変化する。

dL/dt = Σ_j r_j × F_j ... (2.38)

ここでは z成分を考えればよい。

dL_z/dt = Σ_j (x_i F_iy - y_i F_ix) ... (2.44)

慣性モーメントと角加速度 (角速度の時間変化) で表現するとつぎのようになる。

I d²φ/dt² = Σ_j (x_i F_iy - y_i F_ix) ... (2.47)

剛体の運動エネルギーのうち、この回転運動による部分は、つぎのように書ける。

K = Σ_j {(1/2) m_j v_j²} = (1/2) Σ_j {m_j r_j² (dφ/dt)²} = (1/2) I (dφ/dt)² ... (2.48)

剛体の回転運動と質点の直線運動 (あるいは剛体の並進) との式の形の対応 (2.8節 69ページ)

回転 (3次元)

3次元空間の中の、任意にきめられた軸のまわりの回転は、 軸の方向をあらわす2つの角度と、 その軸のまわりの回転の角速度の、あわせて3つの実数変数で表現できるが、 その回転は、直交する3つの軸のまわりの回転の合成とみることもでき、 そのばあいは3つの角速度からなる3次元ベクトルで表現できる。

運動量に対応するものとしては角運動量があり、これも3次元ベクトルである。 ただし、角運動量と角速度は単純な比例関係にはない。 両者のあいだの換算には、剛体を構成する部分ごとに回転軸からの距離を考えるか、 (2.8節でのべる) 慣性モーメントを考える必要がある。

並進のばあいの重心の位置に対応するものとしては、 その時点での剛体の姿勢 (基準とした姿勢に対してどちらを向いているか、2つの角度) がある。 3次元空間の中の剛体の回転運動に関するある時刻の状態は、 姿勢と角運動量 (あるいは角速度)、あわせて5つの実数変数であらわされる。

静力学

物体がとまっているとき、それに働く力の合力は 0 である。 この法則は、合力のうちわけのいくつかがわかっているとき、 物体をとめるために必要な力を知ること、 あるいは、現実に働いているが測定がむずかしい力の数量を知ることなどに応用できる。 このような問題領域を「静力学」といい、古くから力学の重要な部分だった。 しかし、教科書 (小出『力学』) の、質点や質点系のところでは、 はじめから速度・加速度のある問題、つまり「動力学」の問題をあつかい、 静力学はほとんどあつかってこなかった。 剛体のところ (2.7節) で はじめて明確に静力学の問題がでてきた。 静力学の問題のうち質点の力学で表現できるものはおもしろくなく、 力のモーメントがあらわれてはじめておもしろくなる、という判断なのかもしれない。

剛体のつりあいの条件 (教科書 2.7節 66ページ)

剛体が静止しているとき、それに働く力についてどんな条件がなりたっているかを考える。

剛体が静止しているとは、並進運動も回転運動もしていないということである。

並進運動としては、重心の運動を考えればよい。 剛体の重心がとまっているときは、重心の運動の加速度も 0 なので、重心の運動方程式から、 剛体を構成する各質点に働く外力の合計が 0 である。

Σ_i F_i = 0 ... (2.42)

(これは、剛体の重心が静止または等速直線運動をする条件である。 静止と等速直線運動は、[座標系間の変換 と みかけの力] のところで あつかった「ガリレイ変換」の関係にある。)

剛体を回転させるはたらきを、外力のモーメントの合計であらわす。 剛体が回転していないという条件をすなおにあらわせば、 剛体全体の角運動量 L = 0、 または重心のまわりの角運動量 L' = 0 である。 しかし、ここでは「dL/dt = 0」という条件がなりたっていれば 「つりあい」がなりたっているとする。 剛体が回転していないか、一定の角速度で回転していればよい。 [角運動量]のページ (教科書では 2.6節) の (2.38) によれば 「dL/dt = Σ_i {r_i × F_i}」なので、 つりあいの条件は、つぎのように書ける。

Σ_i {r_i × F_i} = 0 ... (2.42)

剛体を構成する各質点に働く外力のモーメントの合計が 0 である。

静力学の問題の例 (2.7節 66-67ページ [例])

• [(*) 2-9図]

• 棒 AB、長さ 2a、質量 M。一端 A で壁に接している。 壁で棒に働く力のうち、AB方向のものを R、壁に平行な摩擦力 (上向きを正) を Fとする。
• 壁のD点から棒の途中のC点を糸でひっぱる。糸の長さ l (エルの小文字)、AからCまでの距離 b。 糸の張力 S。
• 地球の重力のもとにある。重力加速度 g。

ここから、S, R, Fをもとめることができる。

• b > a ならば F > 0 (摩擦力は上向き)
• b < a ならば F < 0 (摩擦力は下向き)