角運動量

教科書 2.3節「運動量と角運動量」(運動量の導入以外) 、2.6節「質点系の角運動量」

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• 分数を斜線でしめしている (横線のほうがよい)。
• 総和のindex変数を下つき添え字のようにしている (Σの下にしめすべき)。

ベクトルの外積 (ベクトル積) (2.3節 51ページ)

3次元空間のベクトル

直交直線座標で、 x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i, j, k とする。

ベクトル q_x i + q_y j + q_z k を 成分の列挙で「 (q_x, q_y, q_z) 」のようにもかくことにする。

外積 (ベクトル積) という演算

C = A × B

• [(*) 2-4図 ベクトル積]

記号は「×」。(cf. 内積 (スカラー積) の記号は「・」。)

入力: ふたつのベクトル。出力: ひとつのベクトル。

cf. 内積 (スカラー積) は、出力がスカラー (方向をもたない量)。

外積を成分でかくと

A × B = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x) ... (2.17)

出力の方向は、2つの入力ベクトルのどちらとも垂直。

出力の大きさは、2つの入力ベクトルがつくる平行四辺形の面積に比例する。

入力ベクトルの順序を変えると、出力は符号が反対になる。交換法則がなりたたない。 (cf. 内積は、入力ベクトルの順序を変えても、変わらない。交換法則がなりたつ。)

A × B = - (B × A)

単位ベクトルどうしの外積はもうひとつの方向の単位ベクトルになる。

i × j = k

j × k = i

k × i = j ... (2.16)

力のモーメント (moment) (2.3節 50ページ)

• [(*) 2-3図 力のモーメント]

質点 P (点 O を原点とした位置ベクトル r) に、 力 F (ベクトル) がかかって、 点 O のまわりの回転がおこされるとする。

このとき、質点 P にかかる (点 O のまわりの) 「力のモーメント」は

N = r × F ... (2.13)

成分でかくと、r = (x, y, z); F = (F_x, F_y, F_z) とすれば、

N = (y F_z - z F_y, z F_x - x F_z, x F_y - y F_x) ... (2.14)

r と F をふくむ平面内で r の方向から F の方向にむかう角を θとすれば、

N = F r sin θ ... (2.15)

ただしここの N, F, r はベクトルの大きさにあたるスカラー量。 N は、r と F を2辺とする平行四辺形の面積である。

また、点 O から Fの作用線への垂線の長さを l (エルの小文字) とすれば

N = F l

とくに、F が r と平行のとき (反対むきのときをふくむ)、 N = 0 である。

角運動量 (angular momentum) (2.3節 52-53ページ)

運動する質点がもつ角運動量

角運動量とは、運動量のモーメントである。 (教科書では質点の角運動量には小文字の l をつかっているが、ここでは大文字の L にする。)

L = r × p ... (2.20)

成分でかくと、r = (x, y, z); p = (p_x, p_y, p_z) とすれば、

L = (y p_z - z p_y, z p_x - x p_z, x p_y - y p_x)

運動方程式 dp/dt = F ... (2.19 左右入れかえ) の両辺に左から「r ×」をかければ

dL/dt = N ... (2.22)

中心力のばあい (2.3節 53ページ)

Fが中心力であるとは、r と F とが平行 (反対むきをふくむ) であること。 そのばあい、N = 0 であり、L は時間とともに変化しない。

L に垂直に xy 平面をとれば、L_x = 0, L_y = 0 となり、 軌道は xy 平面上にありつづける。L_z は時間とともに変化しない。

極座標でかけば

x = r cos θ

y = r sin θ

v_x = dr/dt cos θ - r dθ/dt sin θ

v_y = dr/dt sin θ + r dθ/dt cos θ

L_z = m・(x v_y - y v_x) = m r² dθ/dt

他方、面積速度は (1/2) r² dθ/dt ... (1.51) である。 (z軸のまわりの) 角運動量は、面積速度の 2 m 倍である。 質量 m は一定と考えているので、 「面積速度一定」と 「角運動量 (の z軸まわりの成分) 一定」とは同じことである。

「角運動量」は「角速度」 dθ/dt と関係がある。 しかし、角運動量は、「質量 かける 角速度」ではない。

質点系の角運動量 (2.6節)

質点の角運動量の合計と、力のモーメントの合計 (62-63ページ)

質点系を構成する各質点について、角運動量の時間変化の式 (2.22) をたて、 力のモーメントを (2.15)式のように動径ベクトルと力の外積であらわす。 これを質点系の全部の質点について合計する。

質点にかかる力のモーメントのうちには、 質点系のうちの質点相互の力 (質点系の内力) によるものがある。 それを合計すると、作用と反作用がうちけしあう。

• [(*) 2-8図 作用と反作用のモーメントは相殺する。]

したがって、質点系にかかる力のモーメントをもとめる際には、外力だけをあつかえばよい。

d/dt{Σ_i L_i} = Σ_i {r_i × F_i} ... (2.38) ここでの F_i は、それぞれの質点にはたらく、質点系にとっての外力の合計。

質点系の (合計の)角運動量の時間変化率 [注] は、その系にはたらく外力のモーメントの総和にひとしい。(*)

• [注] この「変化率」は rate で、(角運動量の) 単位時間あたりの変化量をさす。 教科書の「変化の割合」という表現はうまくないと思う。

外力のモーメントの総和がゼロのばあい (特殊なばあいとして外力がないばあいをふくむ)、 質点系の角運動量は時間とともに変化しない。 ... 角運動量の保存の法則。

(増田は、(*) のように、角運動量を変化させる原因があるばあいをふくむ、 角運動量の時間にともなう変化に関する法則を、広い意味の「角運動量保存の法則」ととらえているが、 この表現は多くの学者に共通でないかもしれない。)

小課題

(これは地学の問題でもあるが、角運動量は物理の概念なので、ここでも確認しておきたい。)

惑星の公転軌道は楕円であるが、ここでは等速円運動で近似する。 惑星の質量を m、公転軌道半径を r、公転の角速度を ω とすれば、 公転の角運動量の大きさは、m r² ω である。 ただし、ωは、公転周期を T とすれば、2 π / T である。πは円周率。

同じ太陽をめぐる惑星の公転軌道半径 r と 公転周期 T とのあいだには、 r³ / T² が一定、という関係がある (「ケプラーの第3法則」)。 これが、ニュートンの運動法則 と 重力 (万有引力) の法則 からの帰結として 説明できることは、[万有引力と惑星の運動] の回にあつかった。

問い1

地球と同じ質量で、公転軌道半径が地球の2倍、2分の1の惑星があったら、 それぞれの公転の角運動量は地球の何倍になるか。 (答えの表現は平方根、3乗根などをふくんだものでよいが、その数値のおよその大きさも理解しておくこと。)

問い2

木星の質量、公転軌道半径、公転周期は、それぞれ地球の 318倍、5.20倍、11.9倍である。 木星の公転の角運動量は地球の何倍か。

雑談

角運動量保存を感じさせる現象として、フィギュアスケートのスピンがある。 うでをちぢめると、回転軸から質量までの距離がみじかくなって、角速度が大きくなる。 スケートは足のさきの摩擦をちいさくするしかけになっている。 ただしこれは、質点よりも、つぎの回にのべる剛体でよく近似される例である。

重心の運動と重心に相対的な運動の寄与 (63-64ページ)

質点系の運動を、重心の運動と、重心に相対的な運動とにわける。

どちらにも回転がふくまれうる。(たとえば、地球の公転と自転。)

各質点の質量を m_i、合計の質量を M とする。

各質点の位置ベクトルを r_i、 重心の位置ベクトルを R、 各質点の重心に相対的な位置を r_i' = r_i - R とする。

それぞれを時間で微分したものを v_i、 V、v_i' とする。

質点系全体の角運動量を L とする。【次の第1行の、授業で見せたとき r_i となっていたところを、 v_i と訂正しました。】

L = Σ{r_i × m_i v_i}

= Σ{(r_i' + R) × m_i・(v_i' + V)}

= Σ{m_i R × V} + Σ{m_i r_i'} × V + R × Σ{m_i v_i'} + Σ{m_i r_i' × v_i'}

(下線部が、重心の定義と、重心に対する相対位置の定義から、ゼロなので)

= Σ{m_i R × V} + Σ{m_i r_i' × v_i'}

= R × M V + Σ{m_i r_i' × v_i'}

= L_G + L'

L_G = R × M V ... (2.39上) ... 重心の回転の角運動量

L' = Σ{m_i r_i' × v_i'} ... (2.39下) ... 重心のまわりの回転の角運動量

(2.39上) 式を時間で微分すると (積の微分をつかうが、下線部は外積の基本的性質からゼロになる)

dL_G/dt = M {V × V} + R × M dV/dt

= R × M dV/dt

ところが、重心運動については、M dV/dt = Σ_i F_i ... (2.11) (右辺は外力の合計) なので

dL_G/dt = R × Σ_i F_i ... (2.40)

そして (2.39下) 式から同様に

dL'/dt = Σ_i {r_i' × F_i} ... (2.41)

(2.41)式の右辺は、外力の重心のまわりのモーメントの合計である。 これが 0 ならば、L' は時間とともにかわらない。

一様な重力のばあい (64-65ページ)

z軸を鉛直上向きにとり、重力加速度を g とする。

F_{i x} = 0; F_{i y} = 0; F_{i z} = -m_i g

質量の合計 M = Σ_i m_i

重心の位置ベクトル R = (X, Y, Z)

外力の合計 F = Σ_i F_i

F_x = 0; F_y = 0; F_z = -M g

重心の回転にかかる外力のモーメント N = Σ_i{r_i × F_i}

N_x = Σ(y_i F_{i z} - z_i F_{i y}) = Σ{y_i (-m_i g)} = -M g Y

N_y = Σ(z_i F_{i x} - x_i F_{i z}) = Σ{(-x_i) (-m_i g)} = M g X

N_z = Σ(x_i F_{i y} - y_i F_{i x}) = 0

重心のまわりの回転にかかる外力のモーメント N' については

(重心の定義と、重心からの相対位置の定義から) Σ_i{m_i x_i'} = 0, Σ_i{m_i y_i'} = 0 なので

N_x' = 0, N_y' = 0, N_z' = 0

N' = 0

質点系の重心運動、L_G、L' をあつかうかぎりでは、 重力は重心にはたらく下向きに M g の力で置きかえてよい。