座標系間の変換 と みかけの力 (教科書 1.15節 「ガリレイ変換と回転座標系」)

ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 分数については、これまでの回の教材ページでのべたとおり。

運動法則はどのような座標系でなりたつか

われわれは、空間3次元、時間1次元の時空の中にいるとして、力学を考えている。 時空のなかの位置を指定するのには、座標をつかう。空間座標が3つの実数、時刻が1つの実数である。 座標の値をきめるには、原点と、軸のむきをきめてやる必要がある。 複数の座標系を考えたとき、一方が他方に対して動いていることがある。 同じ質点の運動を、ひとつの座標系でとらえばあいと、もうひとつの座標系でとらえたばあいとでは、 位置、速度、加速度の数値がちがってくる。

特殊相対論、一般相対論では、座標系の変換の意味がちがってくるが、 ここでは、古典力学 (ニュートン力学) の範囲で考える。 座標系どうしの相対運動 (ひとつの座標系の他の座標系に対する運動)が 加速度をもたないばあい (等速直線運動のばあい)と、 加速度をもつばあいにわかれる。 加速度をもつばあいの特殊な (しかし、よくつかわれる) ばあいとして、回転運動がある。

慣性系、ガリレイの相対性原理、ガリレイ変換

ニュートンの運動法則にもとづく運動方程式がそのままなりたつ座標系を「慣性系」という。 (雑ないいかただが、宇宙全体に対して平均的に止まっている座標系はたぶん慣性系だろうと考えられる。)

ある慣性系 (「K系」とする) を考える。点 O を原点とし、 そこをとおって直交する 3つの軸を x軸、y軸、z軸とする。 質点の運動方程式はつぎのように書ける。

F_x = m d²x/dt²

F_y = m d²y/dt²

F_z = m d²z/dt² ... (1.55)

ベクトルでまとめた形では、質点の位置ベクトルをrとして、

F = m d²r/dt²

この慣性系に対して、等速直線運動をしている座標系「K' 系」を考える。 点 O' を原点とし、 そこをとおって直交する 3つの軸を x'軸、y'軸、z'軸とする。 便宜上、x', y', z' 軸はそれぞれ x, y, z軸と平行だとする。 (この条件がちがっているばあいは、同じ座標系内の幾何学的変換をくみあわせて考えればよい。

[(*) 1-28図]

点 O' は、 K系でみて、時刻 0 に 位置 (a, b, c) にあり、 速度 (u, v, w) で等速直線運動をしているとする。 [この仮定のもとで、a, b, c, u, v, w は定数である。] すると、両座標系での数量の関係はつぎのようになる。 (このばあい、両座標系の座標軸が平行であるという関係はたもたれる。) (力は、ベクトルとしては座標系のとりかたによってかわらず、 その各成分への分配は座標軸の向きによってきまると考えている。 この例では座標軸の向きは両座標系で共通なので、各成分も両座標系で同じになる。)

したがって、K' 系でも運動方程式は(1.55)とまったく同じ形になる。

F_x' = m d²x'/dt²

F_y' = m d²y'/dt²

F_z' = m d²z'/dt² ... (1.55a)

K'系も慣性系である。 力学に関する観測によって、慣性系のうちどの座標系が止まっているという判断はできない。 慣性系どうしは対等である。このことを「ガリレイの相対性原理」ということがある。 また、等速直線運動の関係にある座標系のあいだの変換を「ガリレイ変換」という。 「ガリレイ変換によって運動方程式は不変である。」

座標系間に加速度があるばあい

(1次元)

たとえば、K'系の原点が、K系でみて、 x 方向に 加速度 A_0x で動いているとする。 (1.56) .. (1.58) の x成分はつぎのように修正される。

K系が慣性系であり運動方程式 (1.55) がなりたっていたとすると、 K'系での加速度と力との関係はつぎのようになる。

m d²x'/dt² = F_x - m A_0x

K'系では、質量 m の物体に、実際の力 F_x にくわえて、 みかけの力「 - m A_0x」がはたらいているとすれば、運動方程式がなりたっているとすることができる。

(3次元)

K'系の原点が、K系でみて、加速度(ベクトル) A₀ で動いているとする。

K'系での加速度と力との関係はつぎのようになる。

m d²r'/dt² = F - m A₀ ... (1.59)

K'系では、質量 m の物体に、実際の力 F にくわえて、 みかけの力「 - m A₀ 」がはたらいているとすれば、運動方程式がなりたっているとすることができる。

[例 1] 電車にのっているとき感じる力

電車にのっているとき、人は、電車が動いていることをわすれることが多い。 そのような人の感じる力は、電車とともに動く座標系でとらえたものである。

電車が一定の速度で動いているときに働く力は、止まっているときと同じである。

電車の (地球に対する) 加速度を a とする。 電車上の物体 (質量 m) には、実際の力にくわえて、みかけの力 「- m a」が働く。 この力の向きは、電車が加速するときには進行方向と逆、減速するときには進行方向である。 この力と重力の合力の向きは、重力の方向から、角度 arctan(a/g) だけずれる。 ただし、arctan は tan の逆関数であり、教科書では「tan^-1」と書かれている。

回転する座標系

等速円運動のばあい ... 遠心力

まず、慣性系 (K系) のもとで、等速円運動を考える。

質点とみなせる物体 (質量 m) が 平面内で 円の軌道上を運動している。 軌道の半径 r、角速度 ω [オメガ 小文字] とする。

加速度は、常に円の中心に向かい、その大きさは、r ω² である。 動径方向 (外向きを正とする) の運動方程式はつぎのようになる。

実際の力 = - m r ω²

【別の授業でつかった円運動の模式図です。 そこでは実際の力として太陽による重力を考えたので、太陽の質量 m_S が書きこまれていますが、 ここではそれを無視してください。】

この物体とともに回転する 座標系 K'系 で考える。K'系は K系からみて 角速度 ω で回転している。 K'系ではこの物体は「止まっている」。 つぎのように みかけの力を追加すれば、この物体に働く力のつりあいの形にできる。

実際の力 + m r ω² = 0

ここでつけ加わった みかけの力「m r ω²」が「遠心力」である。

[例 2] 地球の自転の遠心力

地球の自転の角速度は、ω = 2π/T である。πは円周率。 Tは地球の自転周期で、くわしくは 1 恒星日 だが、有効数字2けたの近似としては1日 (1太陽日) = 60×60×24 秒 としてもよい。

地球を球で近似し、その半径を r とする。 大円の円周 2πr は 4.0×10⁷ m である。

地球とともに回転する座標系で考えると、 質量 m (任意の数値) の物体には、鉛直下向きの重力 m g にくわえて、 地球の自転の遠心力がはたらく。 赤道上では、遠心力の大きさは、m r ω²、単位質量あたり r ω²であり、 遠心力の向きは、赤道上では、地球の中心から離れる向きなので、上向きである。

(他の緯度では ...)

座標系の回転にともなう変換 (3次元) (教科書 p. 40)

点 O を原点とし、そこをとおって直交する x軸、y軸、z軸をもつ座標系が慣性系であったとする。 (この節ではこれを単に「慣性系」とよぶ。)

もうひとつの座標系 (この節では「回転系」とよぶ) が、 慣性系と原点 O を共有し、慣性系からみると、 z 軸のまわりを回転しているとする。 回転系の座標軸を、ξ[クシー]軸、η[エータ]軸、ζ[ゼータ]軸とする。 ここでの設定では、ζ軸はz軸と同じである。

[(*) 1-29図]

回転系での座標値 (ξ, η) から慣性系での座標値 (x, y) をもとめる式はつぎのようになる。

x = ξ cos ω t - η sin ω t

y = ξ sin ω t + η cos ω t ... (1.60)

【「cos ω t」のような形の式は、cos(ω t) をあらわしている。】

t で微分すると (積の微分ででてきた項を cos と sin でまとめなおして)

dx/dt = (dξ/dt - ω η) cos ω t - (dη/dt - ω ξ) sin ω t

dy/dt = (dξ/dt - ω η) sin ω t + (dη/dt - ω ξ) cos ω t

もう一度 t で微分すると

d²x/dt² = (d²ξ/dt² - 2 ω dη/dt - ω² ξ) cos ω t - (d²η/dt² - 2 ω dξ/dt - ω² η) sin ω t

d²y/dt² = (d²ξ/dt² - 2 ω dη/dt - ω² ξ) sin ω t + (d²η/dt² - 2 ω dξ/dt - ω² η) cos ω t

... (1.61)

ここで、

回転系でみた速度 (v'_ξ, v'_η, v'_ζ) = (dξ/dt, dη/dt, dζ/dt)

回転系でみた加速度 (a'_ξ, a'_η, a'_ζ) = (d²ξ/dt², d²η/dt², d²ζ/dt²)

他方、慣性系でみた加速度 (d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²) を 回転系に座標変換したものを、(a_ξ, a_η, a_ζ) [ダッシュなし] と書くことにする。

(1.61)をまとめなおすと

a_ξ = a'_ξ - 2 ω v'_η - ω² ξ

a_η = a'_η + 2 ω v'_ξ - ω² η

a_ζ = a'_ζ

a' が左辺にくるように移項すると

a'_ξ = a_ξ + 2 ω v'_η + ω² ξ

a'_η = a_η - 2 ω v'_ξ + ω² η

a'_ζ = a_ζ

実際の力を F、その回転系の各座標軸成分を F_ξ, F_η, F_ζとすると、 慣性系での運動方程式から

m a'_ξ = F_ξ + 2 m ω v'_η + m ω² ξ

m a'_η = F_η - 2 m ω v'_ξ + m ω² η

m a'_ζ = F_ζ ... (1.62)

式(1.62) のξ成分、η成分の式の右辺第2項、第3項として、みかけの力があらわれる。 第3項は遠心力であり、ζ軸から質点を遠ざけるように働く。 第2項は、回転系で 速度をもつ物体にはたらく みかけの力で、 向きは、(ξ, η) 平面内で、(ξ, η) 平面内の速度ベクトルに垂直である。 大きさは 速度の大きさに 2 m ω をかけたものである。 この第2項が、コリオリ (Coriolis) の力とよばれる。 (Coriolis (1792-1843) はフランスの学者で、1832年の論文でこの概念をしめした。)

コリオリの力は、速度ベクトルに直交しているので、仕事をしない。 (みかけの力は運動エネルギーを変えるはずがない、ということと合っている。)

回転系の座標軸の回転の角速度 ω の大きさをもち、 回転軸の方向 (ここでの想定では ζ軸方向) を向いたベクトル ωを考え、 回転系での質点の運動の速度ベクトルを v' とすると、 ベクトルの外積 (ベクトル積、教科書では 2.3節、51ページ [(*) 2つのベクトルのベクトル積]) という表現をつかうと、 コリオリの力は、2 m v' × ω と書くことができる [杉山・副島 (2009) 『力学』 6.3節、86ページ]。 コリオリの力の方向は、質点の運動の速度とも、座標系の回転軸とも、垂直である。

気象・海洋物理に出てくるコリオリの力もこれである。 話をつなげるには、回転系に相対的な回転運動を考えるとよさそうである。 その路線でのわたしの教材は、おおまかなすじがきは「気候・気象学」でのべたが、 まだ精密にはできていない。