境界層内の風速の鉛直分布

接地境界層内の風速の鉛直分布、成層が中立に近いばあい

近藤 (1994) の5章、 そのうちおもに、5.3節「接地境界層」 5.3.1 「安定度が中立に近いとき」にそってのべる。

大気境界層のうちでも地表面に近い 数十 m の層を考える。 地表面は平坦であると仮定する。 接地境界層の範囲では、上下方向に、 運動量輸送、顕熱輸送、水蒸気輸送の値が変わらず、そのままはこばれているとみなせる。 また、コリオリの力は無視できる。

ここでは (コリオリの力が無視できることを前提として)、 主風向の方向を x 軸にとり、その方向の風速を u、その平均値を U とかく。

対数分布

成層が対流に対して中立であるばあい、つまり、上下方向に温位が一定のばあいには、 風速は、高さ (鉛直方向の座標値) の対数に比例する。数式で書くと、つぎのようになる。

U ∝ log ( (z - d) / z₀ ) ... (式1)

ここでのlog は自然対数、近藤の表記では ln [エル エヌ]。

z は高さである。 z₀ は長さの次元をもち、地表面状態によってちがう数量で、 地表面のでこぼこがはげしいほど大きいので、「粗度」とよばれる。 d は「ゼロ面変位」とよばれ、植物群落などがあると、風速分布にかかわる基準面が地面より高くなることをあらわす。

混合距離理論による対数分布の説明

乱流による鉛直方向の運動量輸送は、 運動量の乱流拡散係数を K_M とすれば、 K_M dU/dz と書けるが (ここで dU/dz = ∂U/∂z とみなす)、 これは、- u' w' にひとしく、 レイノルズ応力の xz 成分を τ_Exz とすれば、 τ_Exz/ρ でもある。 これは速度の2乗の次元をもっているので、 これの大きさを u_*² と書き、 u_*を「摩擦速度」とよぶことがある。 (これは大きさの尺度であって方向をもつ量ではない。) 接地境界層のうちでは、u_* は一定という近似がなりたつ。

ここで、運動量の乱流拡散係数 K_M は、 乱流の尺度である 鉛直速度の平均からのずれの標準偏差のようなもの W (近藤の表記では [w]) と、 乱流のなかで移動した空気塊がまわりの空気と混合するまでの代表的な距離 (「混合距離」) L (近藤の表記では ι [イオタ]) の積として書けると考える。

K_M = W L ... (式2)

また、W は、平均風速の鉛直勾配 dU/dz により、 L の程度の大きさの渦となるような運動によってつくられると考えるので、 つぎのように考える。

W = L dU/dz ... (式3)

さらに、地表面付近では、混合距離は地表面からの距離によって制約されるので、 つぎのように仮定する。k は比例定数である。

L = k z ... (式4)

すると

K_M dU/dz = {k z dU/dz}² ... (式5)

したがって

u_* = k z dU/dz ... (式6)

となるが、これが近似として一定なので、dU/dz は (1/z) に比例することになり、 U は log(z) に比例することになる。

k U/u_* = log(z) + 定数 ... (式7)

境界条件として z = z₀ で U = 0 とすれば

k U/u_* = log(z / z₀) ... (式8)

(ただし、実際の z = z₀ 付近での風速は、 対数分布の延長からはずれ、u_* に近い大きさをもつ。)

k は von Karman (フォン カルマン) にちなんで「カルマン定数」とよばれ、 実験的観測から、 0.4 という値がえられている。

成層の安定度によるちがい (近藤 5.3.2節、5.5節など)

おおまかにいえば、成層が対流に対して不安定なとき、 乱流拡散は活発になり、 安定なとき、乱流拡散は不活発になる。 ただし、成層が安定なときは、乱流は間欠的になる。

風速の鉛直分布も、成層の安定度にしたがって、対数分布からずれてくる。

エクマン (Ekman) 層 (近藤 5.6節)

地表面から高さ 数百 m までの層を考えるばあいは、 乱流拡散とともに、コリオリの力が無視できなくなり、 水平方向を x の 1次元でなく x, y の 2次元で考える必要がある。 風速分布が運動量の鉛直拡散できまるとすれば、風速ベクトルは高さにしたがって向きをかえていき、 ベクトルの先端をむすんだ「ホドグラフ」はらせん形になる。 これを「エクマンらせん」という。 このようなことがおこりうる層を「エクマン層」という。