![[水の状態図]](https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E6%B0%B4%E3%81%AE%E7%8A%B6%E6%85%8B%E5%9B%B3.svg){kind=link}
教科書では、稲津 第2章「水」、とくに 2.1 「水蒸気の飽和」
対流圏 (地表から高さ約 10～15 km まで) の大気は、2成分で近似できる。
(大気中には、液体・固体の水の粒子がただよっていることがある。これが雲である。 しかし、広域の大気をみるときは、雲としてある水の量は水蒸気にくらべてすくないので、 大気中の水を水蒸気で代表させることが多い。)
図解を黒板でしめすが、つぎの [相変化の用語 ...] のリンクさき (ブログ記事) にある、 「表(table)」の機能でむりやり表現した図と、同じ内容である。
物理・化学用語では「蒸発」「凝縮」「融解」「凝固」「昇華」。 「昇華」は「気体 ⇔ 固体」の両方むきをさすとされてきたが、 「気体 → 固体」については「凝華」としようとする動きがある。
気象で水の相変化をさす用語では「蒸発 evaporation」「凝結 condensation」「融解 melting」「凍結 freezing」「昇華 sublimation」。
ここでは、「気体 → 固体」について「凝華」をつかってみる。しかし他の回には「昇華凝結」というかもしれない。 「固体 → 気体」は、 「昇華蒸発」という表現にしておく。
たとえば、液体の水と気体の水蒸気だけが、体積がかわらない容器の中にあり、 ある一定の温度のもとにおかれているとする。
単位時間あたり、液相から気相にうつる分子の数と、 気相から液相にうつる分子の数がひとしければ、液相と気相への水の分配は定常状態になる。
このときの気相の圧力が、液相と相平衡になる水蒸気圧である。 これが、あとでのべる「飽和水蒸気圧」でもある。 理想気体の条件では、液相と相平衡になる水蒸気圧は、 相変化しない他の気体成分の存在に関係しない。 (したがって、その場の気圧によっては変わらず、温度だけによる。)
水に対する飽和水蒸気圧 (液相と気相の相平衡) と、 氷に対する飽和水蒸気圧 (固相と気相の相平衡) とは、すこしちがう。 (稲津 2.4節 (3) 40ページ 図2.9; このページの下にしめす [図C])。 氷点以下の温度で、過冷却の液体水に対しては未飽和でも 氷に対しては飽和していることがある。 これによって、水の雲粒が蒸発し、水蒸気から氷への凝華で雪結晶が成長することがある。
気温 0℃ での飽和水蒸気圧は 6.11 hPa である。
(a) 気温 0℃、気圧 1000 hPa での飽和比湿をもとめよう。
理想気体と考えてよいから、「水蒸気の分子数 / 空気の分子数」 は、「水蒸気圧 / 気圧」 にひとしい。 他方、比湿は、「水蒸気の質量 / 空気の質量」である。 (ただし、ここでの「空気の分子数」や「気圧」や、「空気の質量」は、水蒸気がしめるぶんもふくむ。)
H, N, O の原子量をそれぞれ 1, 14, 16 とし、 空気を N2 と O2 が 分子数比で 4:1 に混合されたものとして、概算してみよう。 この概算では、空気の分子量 (1分子あたりの質量はこれの定数倍である) は N2と O2 できまり、 水蒸気によってはかわらないとみなす。
【できれば、もっと精密な値とくらべてみよう。 まず、上にあげた窒素と酸素の比率は有効数字が 1けたしかない。 つぎの (b) にあげた「乾燥空気に対する気体定数」は 有効数字が 3けたある。 また、実際の空気は水蒸気をふくんでいるから、分子量が、乾燥空気のものからずれてくる。】
(b) 0℃、1000 hPa の水蒸気で飽和した空気の単位体積あたりの水蒸気の質量を概算しよう。 それには、空気の密度をもとめ、(a) でえられる比湿をかけてやればよい。 空気の密度 ρ [ロー] は状態方程式「p = ρ Rair T」からもとめられる。 ひとまず、空気に対する気体定数 Rair は、 乾燥空気に対する気体定数 287 J /(kg K) で近似してよいとしよう。 状態方程式に代入する際には、p の単位は Pa 、T の単位は K にする。
暑さの指標にはいろいろあるが、「湿球黒球温度」(WBGT) というものがつかわれることがある。 (環境省が発表している「暑さ指数」はこれである。 熊谷市では市役所に WBGT観測機器 を置き、観測値を発表している。) これは「湿球温度」と「黒球温度」をくみあわせたものである。 湿球温度は、同じ気温でも水蒸気量が多いほうが蒸し暑く感じることの指標になる。 (その観測は、湿球温度計によることもあるが、気温と相対湿度、あるいは気温と比湿、などがわかっていれば計算できる。) 「黒球温度」は、黒い球の中で温度をはかったもので、 同じ気温でも太陽放射を直接吸収すると暑いことの指標になる。 (その観測は、黒球によることもあるが、気温と、日射量あるいは日照時間、などがわかっていれば計算できる。)
この件について、わたしがどこまで理解しているかは、つぎのブログ記事に書いた。
佐藤 (2019) 「発展: クラウジウス・クラペイロンの関係式」 32-35ページ では、 熱力学の基本法則から、 34ページの 5行めの式をみちびいている。 (ただし、34-35ページにでてくる R は「水蒸気に対する気体定数」であることに注意。)
Hartmann (1994) Global Physical Climatology (初版) の [(*) 付録B 「クラウジウス・クラペイロンの関係式」 日本語訳 HTML版] では、つぎの式。
d esat / d T = L / {T・(αv - αl) } ... Hartmann (1994) の (B.1) 式
この (B.1) 式を、理想気体の状態方程式をつかって書きかえ、 気温 T が 基準の温度 (T0、ここでは 0℃ とする) から大きくはずれないという条件で近似する。 L は 実際には温度によって少し変化するが、ここでは定数とみなしている。
esat = esat(T0) exp((L / Rv) (1/T0 - 1/T) ) ... Hartmann (1994) の (B.3) 式 (表現をすこし変えた)。
定数の数値は、Hartmann (1994) では [(*) 付録G 「役にたつ数値」 日本語訳 HTML版] で あたえられる。(式の精度の必要以上に有効数字が多いものがあるが、そのままにしておく。)
Hartmann (2016) のGlobal Physical Climatology 第2版 [読書メモ] では、第1章 1.5節の (1.11) 式が、初版の (B.3) 式に対応する。
飽和水蒸気圧の実用的計算には、Tetens (1930) の論文 (ドイツ語) でしめされた式がよくつかわれてきた。 Tetens は、Magnus という人がつくった式の係数を、Robitzsch (ロビッチ) という人の研究 (確認していないが、室内実験だと思う) の結果を参照してきめた。 Tetens の式は、つぎのような形をしている。(文字づかいは現代の文献でよく見られるもので、Tetens の 原論文とは変えている。)
es = es(0℃) × 10(a t)/(b + t) ... ここではこれを「Tetens の 式」とよぶ。
ただし、t は ℃目盛りによる温度の数値。 【温度 (絶対温度) を T とすると、t = T/K - 273.15 。ただしこの T は変数記号、K は単位記号。 「t = T - 273.15」のように書くのは物理量と数値がまざるのでうまくない。】 【小文字の t は時間につかうことが多いが、ここではそうでないことに注意。】
稲津の 3.3節 (1) 68ページの (3.20) 式は、 Tetens の式を、温度を K を単位とするように書きなおして示している。 (3.20) 式の 6.11 には hPa という単位をつけるべきである。 また、そこでの T は、 温度という次元をもった量ではなく、温度を単位 K でわってえられた無次元の数値とみなすべきである。
佐藤 (2019) の35ページの式は、Tetens の式を、温度の単位 K とするとともに、 10 のべき乗の形のかわりに指数関数 (つまり e のべき乗) をつかったものである。 ただし、273.16, 35.86 となっているのは 273.15, 35.85 とすべきところだと (増田は) 思う。
WMO (世界気象機関) の 観測機器・観測方法の指針の 2023年版では 【2021年版も同様】、 Annex 4.B Formulae for the computation of measures of humidity (湿度をあらわす数量を計算する式) の saturation vapour pressure (飽和水蒸気圧) のところで、 Magnus・Tetens の式と概略は同じもの (ただし表現は10のベキ乗でなく指数関数による) をあげている。 上にあげた Tetens の式に近い形に書きなおせば、つぎのようになる。(ここでの e は exp(1) であり水蒸気圧ではない。)
es = es(0℃) × e(a t)/(b + t)
【10のベキ乗と指数関数とは、10A = exp(A loge10) で換算できる。 loge10 は 約 2.3。】
WMO (2023) の式で (実際は2021年版にもとづいて) グラフをつくったところ、 このページの下にしめすのと同様な画像にすると Tetens の式と見わけられないくらい近かった。
なお、この指針の過去 (1988年, 2000年など) の版では、複雑だが精度のよい式として Goff (ゴフ) - Gratch (グラッチ) の式をあげていたが、 2014年以後の版ではあげなくなった。
気温を横軸、飽和水蒸気圧を縦軸にとったグラフを作成した。 飽和水蒸気圧の計算は、Hartmann (1994) の本の Clausius-Clapeyron にもとづく近似式によるものと、 Tetens の式によるものの両方をやってみた。 【後者は稲津の (3.20) 式と実質的に同じ。】 数値の精度は Tetens の式のほうが (比較的に) よいと思う。
この図はつぎの Python プログラムで作成した。
【日本語文字コードが文字化けするばあいは、ブラウザに「テキストエンコーディングを修復」の機能があるばあいはそれをためしてほしい。 ないばあいは、(右クリックから) パソコンに保存し、エディタ類で見てほしい (Windows 10 以後ならば「メモ帳」でもよい)。】
(このプログラムを実行した場は MS Windows 日本語版の上の Anaconda3 である。 実行環境がちがうと、日本語文字を図につかっているところで、プログラムの修正が必要になることもある。)
作図でなく数値の計算だけならば、esat1 または esat2 の値を得る文と、 そこからさかのぼって必要な変数の値を得る文だけをのこせばよい。 ほかのプログラム言語や表計算ソフトウェアの計算式でも、 数値演算の表現はだいたい似ているので、上のプログラム例は参考になると思う。
気温を横軸、気圧を 1000 hPa としたときの飽和比湿を縦軸にとったグラフを作成した。 飽和水蒸気圧の計算は、Hartmann (1994) の本の Clausius-Clapeyron にもとづく近似式によるものと、 Tetens の式によるものの両方をやってみた。
比湿の計算は、 Hartmann (1994) のほうでは、空気のモルあたりの質量として乾燥大気のもの Mdry をつかい、 ε = Mv/Mdry (≒ 0.622) とすると、q = ε e / p として計算した。 Tetens のほうでは、水蒸気がふくまれることによるモルあたりの質量の変化を考慮し、 q = ε e / {p - (1 - ε) e} (佐藤 (2019) 26ページの最後の式) で計算した。
この図はつぎの Python プログラムで作成した。
気温を横軸、飽和水蒸気圧を縦軸にとったグラフを作成した。 飽和水蒸気圧の計算は、Tetens の式によった。 ただし、0℃ での飽和水蒸気圧を 6.11 hPa としてあたえた。
この図はつぎの Python プログラムで作成した。