流体の運動方程式のうち、x 方向の (体積あたりの) 運動量 ρ u についての式をたてる。
d(ρ u)/dt = -∂p/∂x + μ {∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2} ... (式1)
左辺が流体素分に乗ってみた運動量の時間変化 (ラグランジュ型の時間変化)、 右辺第1項が気圧傾度力、第2項が粘性力 (ここから、下の (式2)左辺の省略表現を導入する) である。
∇2 u = ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2 ... (式2)
左辺を局所変化項 (オイラー型の時間変化) と移流項にわける。
∂(ρ u)/∂t + ∂(ρ u u)/∂x + ∂(ρ u v)/∂y + ∂(ρ u w)/∂z = -∂p/∂x + μ ∇2 u ... (式3)
密度 ρは 変化しうるのだが、近似として ρを一定とみなす (非圧縮近似)。 すると、質量保存の式 (連続の式) は「(3次元の) 発散が 0 である」という形 (式4) で書ける。
∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 ... (式4) (非圧縮流体の連続の式)
ρが一定という条件のもとで、(式3) を ρで割るとつぎのようになる。 ただし、ν [ニュー、動粘性係数] = μ/ρ である。
∂u/∂t + ∂(u u)/∂x + ∂(v u)/∂y + ∂(u w)/∂z = -(1/ρ) ∂p/∂x + ν ∇2 u ... (式5)
ここで、平均場とそれからのずれをとわける。
X = X + X ' ... (式6)
そして、u (x 方向の速度、いいかえると 単位質量あたりの x方向の運動量) の時間変化についての式をたてる。
∂u/∂t + ∂(u u)/∂x + ∂(u v)/∂y + ∂(u w)/∂z = -(1/ρ) ∂p/∂x + ν ∇2u ... (式7)
平均も微分も線形演算なので、微分の平均と平均の微分とは同じである。
しかし、物理量どうしの積は非線形演算なので、平均操作と積をもとめることとは交換可能でない。 積の平均は、平均の積に、平均からのずれどうしの平均をたしたものになる。
X Y = X Y + X' Y' ... (式8)
u w などの項を u w と u' w' にわけ、平均の積の項を左辺に残し、 平均からのずれどうしの平均の項を右辺に移す。
∂u/∂t + ∂(u u)/∂x + ∂(u v)/∂y + ∂(u w)/∂z = -(1/ρ) ∂p/∂x + ν ∇2u - ∂(u' u')/∂x - ∂(u' v')/∂y - ∂(u' w')/∂z ... (式9)
(式9) の右辺の - ∂(u' w')/∂z は、 x方向の運動量 ρ u を、 上下にまぜることによって、正味で、u の大きいほうから 小さいほうへ はこんでいる。
-u' w' = τE xz とおけば (これを「レイノルズ応力 (の xz 成分)」という)、 - ∂(u' w')/∂z = ∂τE xz/∂z となり、粘性項と同じ形になる。 【添え字 E は、渦 (eddy) によるものを分子粘性によるものと区別するために (増田が) 入れた。】
さらに、τE xz = μE ∂u/∂z のように書けば、 μE は形のうえで粘性係数にあたり、「渦 (eddy) 粘性係数」とよばれる。 また、μE/ρ = νEは、「渦 動粘性係数」ということができる。 これは、「乱流による運動量の拡散係数」とみることもできる。 近藤 (1994) 第5章 (p. 94) では、これを KM と書き、 「運動量輸送に対する乱流拡散係数」と呼んでいる。(M は「運動量」の英語 momentum に対応する。)
他の方向の成分も同様に考えて、(式9)の右辺を、νEをつかう形に書きかえることができる。他方、(式9)の右辺にふくまれる積の偏微分の各項、たとえば z 方向の項は、つぎのように分解できるが、
∂(u w)/∂z = u ∂w/∂z + w ∂u/∂z ... (式10)
非圧縮流体の連続の式 (式4) が平均場についてもなりたつから、 u {∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z} の部分が消える。そこで、式(9) はつぎのように書きかえられる。
∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z = -(1/ρ) ∂p/∂x + ν ∇2u + νE ∇2u ... (式11)
本来の粘性 (分子粘性) と渦粘性のどちらが重要かは、状況による。 地表に近い大気のばあいは、地表面からの距離が cm 以下のけたでは分子粘性が重要だが、 m 以上のけたでは渦粘性が重要になる。
エネルギー保存の法則を、 鉛直運動にともなう断熱的な体積変化をくりこんで、 エンタルピー保存の形に書くことにする。 ひとまず、(分子) 熱伝導が無視できるとし、 (非断熱)加熱は、単位質量・単位時間あたりのエネルギー変化として Q とする。
d(ρ cp T)/dt = ρ Q ... (式12)
ここで、ρを一定と仮定し、単位質量あたりの式にする。cp も定数とみなす。
dT/dt = Q/cp ... (式13)
∂T/∂t + ∂(u T)/∂x + ∂(v T)/∂y + ∂(w T)/∂z = Q/cp... (式13)
平均場について
∂T/∂t + ∂(u T)/∂x + ∂(v T)/∂y + ∂(w T)/∂z = Q/cp... (式14)
平均とそれからのずれをわけ、ずれどうしの積の平均の項を右辺にもってくる。
∂T/∂t + ∂(u T)/∂x + ∂(v T)/∂y + ∂(w T)/∂z = - ∂(u' T')/∂x - ∂(v' T')/∂y - ∂(w' T')/∂z + Q/cp... (式15)
非圧縮流体の連続の式 (式4) が平均場についてなりたつから、左辺はつぎのように簡単にできる。
∂T/∂t + u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z = - ∂(u' T')/∂x - ∂(v' T')/∂y - ∂(w' T')/∂z + Q/cp... (式16)
(式16) の右辺の - ∂(w' T')/∂z は、 エンタルピー ρ cp T を、 上下にまぜることによって、正味で、T の大きいほうから 小さいほうへ はこんでいる。
これを、熱伝導と同じように、温度の拡散の形に書いてしまうことがある。
- ∂(w' T')/∂z = DE ∂2T/∂z2 ... (式17)
この DE は、いわば、温度の渦拡散係数である。 近藤 (1994) 第5章 (p. 94) では、これを KH と書き、 「顕熱輸送に対する乱流拡散係数」と呼んでいる。 (H は heat だろう。) このDEをつかうと、(式16) はつぎのようにかきなおせる。
∂T/∂t + u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z = DE ∇2 T + Q/cp... (式18)
水蒸気についての質量保存の法則を、比湿 q をつかって書く。 ひとまず、対象とする大気層内では水の相変化はないと仮定する。 また、分子拡散が無視できるとする。
d(ρ q)/dt = 0 ... (式19)
ここで、ρを一定と仮定し、単位質量あたりの式にする。
dq/dt = 0 ... (式20)
∂q/∂t + ∂(u q)/∂x + ∂(v q)/∂y + ∂(w q)/∂z = 0 ... (式21)
平均場について
∂q/∂t + ∂(u q)/∂x + ∂(v q)/∂y + ∂(w q)/∂z = 0 ... (式22)
平均とそれからのずれをわけ、ずれどうしの積の平均の項を右辺にもってくる。
∂q/∂t + ∂(u q)/∂x + ∂(v q)/∂y + ∂(w q)/∂z = - ∂(u' q')/∂x - ∂(v' q')/∂y - ∂(w' q')/∂z ... (式23)
非圧縮流体の連続の式 (式4) が平均場についてなりたつから、左辺はつぎのように簡単にできる。
∂q/∂t + u ∂q/∂x + v ∂q/∂y + w ∂q/∂z = - ∂(u' q')/∂x - ∂(v' q')/∂y - ∂(w' q')/∂z ... (式24)
(式24) の右辺の - ∂(w' q')/∂z は、 比湿 q を、 上下にまぜることによって、正味で、q の大きいほうから 小さいほうへ はこんでいる。
これを、拡散の形に書いてしまうことがある。
- ∂(w' q')/∂z = DE ∂2q/∂z2 ... (式25)
この DE は、水蒸気の渦拡散係数である。 近藤 (1994) 第5章 (p. 94) では、これを KE と書き、 「水蒸気輸送に対する乱流拡散係数」と呼んでいる。 (E は「蒸発」にあたる evaporation だろう。) この DE をつかうと、(式24) はつぎのようにかきなおせる。
∂q/∂t + u ∂q/∂x + v ∂q/∂y + w ∂q/∂z = DE ∇2 q ... (式26)
温度についての DE と 水蒸気についての DE には、 温度と水蒸気のそれぞれが空気密度に影響をあたえることからくるちがいがあるが、 おおまかには同じである。