(学校教育との関連で) 電気の話題から。
電流 = 電圧 / 抵抗
「オーム (Ohm) の法則」。 電磁気学の理論的基本法則ではなく、近代科学の早い段階で知られた現象の法則性。
電圧は「電位差」でもある。 電位の位は potential [名詞]。重力ポテンシャルとの類推がある。
電位 V のところに 電荷 q があれば、それがもつ静電気の位置エネルギーは q V。
きょうの話にとってはわきすじ、気象学にとっては本すじの一部。
重力加速度 g を一定と仮定したとき 高さ z に 質量 m の物体があれば、それがもつ位置エネルギーは m g z。 (位置エネルギーは potential energy、このときの potential は形容詞。) 高さ z には、質量をもってくると、その単位質量あたり g z の 位置エネルギーをもたらすような「ポテンシャル」[名詞] があると考える。
現実には g は厳密には一定値ではない。 (地球の中心からの距離、岩石などの質量分布による「重力異常」、 地球の自転の遠心力を重力にくりこんでしまったこと、など。)
実際には一定でない g と 実際の高さ z からなる重力ポテンシャルを、 「定数のg (= 9.80665 m/s2) × ジオポテンシャル高度 z」ととらえなおす。
気象学でふだんつかう式は、ジオポテンシャル高度を高さとみなしたときに正しい。 しかし、観測機器が得た量を気象要素になおす際には、 幾何学的な高さとジオポテンシャル高度を区別し、換算する必要があることがある。 (換算は単純にその場所のgと定数のgの比だけではすまない。)
[2024-07-10 英語つづりを訂正]
回路図での抵抗の古い記号 (折れ曲がった線) と新しい記号 (長方形の箱)。 (古い記号が抵抗らしいのだが、コイルとまぎらわしいという判断でさけられたか?) 拡散問題への類推では古い記号がみられる。抵抗の直列・並列の議論でつかう。
抵抗の逆数 コンダクタンス (conductance、[電気]伝導度)。 電気伝導度も地球科学で出てくることがあるが、この授業ではあつかわない。 類推で、拡散現象をコンダクタンスの形であつかうことがおおい。
おおまかにいえば、ある「もの」が、 その濃度勾配に比例して、濃度の高いほうから低いほうに動くこと。 濃度勾配をならすはたらきをする。 (別に、濃度勾配をつくるはたらきがつづいていれば、 それと拡散とのつりあいで、一定の濃度勾配が定常的に持続することもある。) 濃度が伝導現象のポテンシャル (電気伝導のばあいの電位) のやくわりをしているともいえる。
とくにことわらなければ、拡散現象とは、原因が分子運動によるもの。 (マクロにみれば止まっている媒体のなかで。) 固体中の熱伝導は、分子・原子レベルの振動の伝播によるもの。 大気境界層 (地表に近い大気) の話題では、乱流による輸送を拡散現象とみなす。
「物質A密度」 ρA : 空間の体積あたりの物質Aの質量。 他の物質 (媒質) がどれだけあるかは、ひとまず関係ない。 これを「物質Aの濃度」とよぶ専門分野もある。 気象でいう「絶対湿度」がこの意味での水蒸気密度。
3次元空間 (x, y, z) のなかで物質の移動 (輸送ともいう) を考えるのだが、 このページでは、z 方向の移動だけを表記する。 (z にしたのは、あとで地表面付近の鉛直方向を考えるつごうだが、ここでは鉛直にかぎらない。) x方向、y方向には物質A密度が一様な状況をかんがえたと思ってもよい。
... これは拡散現象にかぎらない。
辺が Δx, Δy, Δz の直方体の箱を考える。 z座標は、下側が z-(1/2)Δz、上側が z+(1/2)Δz とする。 この箱の中で平均した物質A密度が ρA(z) だとすれば、 箱の中の物質Aの質量は ρA(z) Δx Δy Δz である。
箱の上下の壁をとおって正味上向きに流れる、 壁の単位面積あたり、単位時間あたりの物質Aの質量の流れを jAzとする。 (物質Aの質量の流れという3次元ベクトルの z成分である。)
----- [2024-07-04 の授業では、このあたりまで話した。]-----
∂(ρA(z) Δx Δy Δz)/∂t は、質量保存の法則により、 -{jAz(z+(1/2)Δz) - jAz(z-(1/2)Δz)} Δx Δy にひとしい。 これを整理して Δz → 0 で微分の形にすれば
∂ρA/∂t = -∂jAz/∂z ... (式1) となる。
jAz が、z方向のρAの勾配 ∂ρA/∂z に比例する。 比例定数を -D とする (Dが正になるようにした)。D を 拡散係数 (diffusivity) という。 D の SI 単位は、m/s2 である。
jAz = -D ∂ρA/∂z ... (式2)
式1 と 式2 をくみあわせて jAz がでてこない形にすると
∂ρA/∂t = D ∂2ρA/∂z2 ... (式3) となる。
大気の科学では、濃度を、質量比あるいは分子数比 (「体積比」) であつかうことがおおい。 比湿 q は水蒸気の質量比濃度。 一般に、物質Aの質量/混合物の質量 を qA、混合物の密度を ρとすると、
ρA = qA ρ 。
ρが一定とみなせる範囲で、近似として、式3 を、qA についての式としてつかえる。 大気境界層ではこれがなりたつことが多い。
-----[ここから 2024-07-04 授業後追記]-----
温度勾配に比例して、高温側から低温側にエネルギーが移動する。
体積あたりの内部エネルギー ρE = 密度 ρ × 比熱容量 c × 温度 T とする。 式1, 2, 3 の ρA をこの ρE、 jAz を熱伝導による体積あたりのエネルギーの流れのz成分 jEz とすれば、 式1, 2, 3 がなりたつ。 【式のみかけは同じであっても、でてくる物理量の次元 (したがってSI単位) が 物質の拡散のばあいとはちがうことに注意。】
D のSI単位は、物質の拡散のばあいと同じく、m/s2 である。 【このばあいの D を「熱拡散係数」という人もいるが、 「熱拡散」ということばで熱を原因とする物質の拡散をさす人もいるので、うまくない。 ρも c も定数とみなせるとき、「温度拡散係数」というのならばよい。】
熱伝導の話題は、おもにつぎのλをつかって表現する。
Tの変化の式の形になおすとつぎのようになる。
jEz = -λ ∂T/∂z ... (式4)
∂T/∂t = (λ/(ρ c)) ∂2T/∂z2 ... (式5)
この λ [ラムダ] を 熱伝導率 (thermal conductivity) という。 その SI 単位は W/(m K) である。 【「率」の意味はなにかをなにかでわったもので、単位時間あたりの量であることがおおいが ここではそうではない。理屈をいえば λは「熱伝導性係数」というべきかもしれない。】 温度分布が変化するとλも変化する可能性があるが、λが定数ならば数学的には単純な問題になる。
粘性とは流体内部の摩擦であり、運動量[ベクトル] (= 密度 かける 速度[ベクトル]) の不均一をならすようにはたらく。
ここでは、運動量ベクトルの x方向の成分が それと直交する z方向にはこばれるばあいにしぼって考える。
体積あたりの x方向の運動量は ρ u である。 ただし u は x方向の速度 (流速、気象ならば風速)。
粘性による応力のうち、x方向の運動量がz方向にことなることによる成分を τxz とする。 (この τ はギリシャ文字のタウ。)
(いつもそうではないが) もし運動量の変化が拡散だけにより、移流が無視できるのならば、
∂(ρ u)/∂t = ∂τxz/∂z ... (式6)
τ [タウ] は 3×3個の成分をもつ 応力 (stress) であり、面の面積あたりにかかる力である。 圧力は応力の面に垂直な成分 (の方向によらない部分) なので、 応力の SI 単位は 圧力のばあいと同様に Pa (= N/m2 = kg /(m s2) ) である。
τxz = μ ∂u/∂z ... (式7)
μ [ミュー] を粘性係数 (viscosity) という。 その SI 単位は Pa s である。
ここで、この議論に関するかぎり ρを一定とみなしてよいならば、
∂u/∂t = (μ/ρ) ∂2u/∂z2 ... (式8)
μ/ρ に ν [ニュー] という文字をあて「動粘性係数」ということがある。 その SI単位は (拡散係数と同じ) m2/s である。
--[ここから 2024-07-09 加筆]--
質量、エネルギー、運動量の保存則にもとづく。
式 1, 2, 3 の ρA が、 物質Aの質量、内部エネルギー、運動量のx方向成分 だとすればよい。 (物理量の次元がちがうことに注意。)
ここで「たまりの量」は単位体積あたりのAの量、A密度。
「流れの量」は単位面積・単位時間あたりのAの流れ。
(式1) は保存則。拡散・伝導・粘性現象でなくてもなりたつ。
たまりの量の時間変化 = -(流れの量の発散)。
(式2) は拡散・伝導・粘性の性質をあらわす式。
流れの量 ∝ たまりの量の勾配。 (比例係数は、拡散係数、温度拡散係数、動粘性率)
(式3) は (式1) と (式2) をまとめて、みかけ上 流れの量を消去したもの。
たまりの量の時間変化 ∝ たまりの量の空間2階微分 (勾配の発散、「ラプラシアン」)。