大学初級の「基礎数学」や高校の授業で学んだことだと思いますので、 簡単にのべておきます。 よくわからない人は、「基礎数学」や高校の教材で復習してください。
変数 x の関数 f(x) があるとき、横軸に x 、縦軸に y = f(x) をとって グラフをつくることができる。
f(x) の微分 df(x)/dx は、グラフの接線の傾きにあたる。 ただし、ここでいう「傾き」とは、x方向に Δx だけ進むとともに y方向に Δy だけ進むとすると、 Δy/Δx のことである。 日常用語では「傾き」が角度をしめすこともあるが、 ここでの「傾き」は、傾きの角度を θ [シータ] とすれば、tan θ にあたる。
f(x) を x で積分したもの ∫ f(x) dx は、グラフの曲線と x軸とのあいだの面積にあたる。 ただし、面積の数値を確定するためには、 積分の対象となる区間の下限・上限も指定する必要がある。
簡単にいうと、f(x) を微分したものが g(x) ならば、g(x) を積分したものが f(x) である。
上の記述の積分の部分は正確ではない。「積分定数」のぶんの不定性がある。 f(x) を微分したものが g(x) ならば、C を x によらない定数として、f(x) + C を微分したものも g(x) である。 したがって、「g(x) の不定積分 は f(x) + C (ただし C は定数)」というべきである。
現実の問題では、 C は、「境界条件」や「初期条件」をあたえられることによってきまる。 (ここで「」つきであらわしたことばの意味は、それをつかう文脈のなかで説明する。)
つぎの表は、まず f(x) をあたえて、その微分がどうなるかという観点で書いた。
| df(x)/dx | f(x) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | x |
| 2 x | x2 |
| n xn-1 | xn |
左の列を積分して右の列を得るという観点では、積分定数を考慮する必要がある。 (他の行と同じ変換を適用すると、「0」を積分したものは「1 + C」となるのだが、 それをあらためて「C」とかくことにした。)
| df(x)/dx | f(x) |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| 2 x | x2 + C |
| n xn-1 | xn + C |
また、xの累乗を積分するという観点で整理しなおすと、つぎのようになる。 (C の数値は上の表とかならずしも同じでない。)
| df(x)/dx | f(x) |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| x | x2/2 + C |
| xn-1 | xn/(n-1) + C |
「線形」 (英語では linear) という概念が、数学を応用する分野でひろくつかわれる。 これは、「点・線・面」の「線」ではなく、「直線」に関連した意味である。 雑にいえば、入力変数を横軸、出力変数を縦軸にとったグラフが直線になるような関係だ。
線形演算には、つぎのような重要な性質がある。微分を例にとって説明する。 (積分についても同様なことがいえるが、積分定数の不定性に注意する必要がある。)
たしざんの微分は、微分のたしざんにひとしい。
d {f(x) + g(x)} / dx = df(x)/dx + dg(x)/dx
定数倍の微分は、微分の定数倍にひとしい。
d {C f(x)}/dx = C df(x)/dx
x の累乗 (指数は0以上の整数) に定数の係数がかかった項のたしざんでできた式を、多項式という。 ひとつの多項式を構成する項のうちで最大の累乗の指数が n ならば、 その式を「n 次の多項式」という。ただし、「0次の多項式」は定数のことである。
累乗の微分・積分と、微分・積分が線形演算であることをくみあわせると、 つぎのことがいえる。
f(x)のxによる微分が f(x) 自体になるような f(x) はどんな関数だろうか。 この条件を数式でかくとつぎのようになる。 この (1)式は、微分をふくむ等式なので、「微分方程式」の一例である。
df(x)/dx = f(x) ... (1)
この解となる f(x) が指数関数 exp(x) である。 (英語では exponential function という。exp はその略号である。)
exp(x) は、ex (eのx乗) でもある。 この e は、2.718... (十進法で有限けたでは書けない) という定数である。 e が 2 と 3 の間の数であることは頭にいれておいてほしい。
積分定数の不定性をふくめると、(1) をみたす f(x) は、 C exp(x) である (Cは xによらない定数)。
(1)とあわせて 「f(0) = 1」という条件をつければ、exp(x) にしぼれる。
指数関数は、フィードバックの議論に出てくる。 また、気象学では、大気の密度や気圧が高さにどのようによるかにも、 飽和水蒸気圧が温度にどのようによるかにも出てくる。
y = f(x), x = g(y) であるとき、f と g とは「逆関数」であるという。 (「逆数」とはちがう意味であることに注意してほしい。)
指数関数の逆関数が、対数関数 (英語では logarithmic function) log(x) である。
log(exp(x)) = x, exp(log(x)) = x である。
対数には「自然対数」と「常用対数」がある、といわれることがある。 対数関数は、自然対数 (つまり、eを底とする対数) に対応する。