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氷の力学に関して、 Paterson (1981)が標準的教科書である。 Hutter (1983)は数学的定式化を重視して いる。入門的解説は 前(1990)などにもある。また, 地殻の力学に 関しては, Turcotte and Schubert(1982)に解説がある。
氷床の氷は,連続体力学的には非ニュートニアン・粘性・非圧縮・熱伝導流体として 扱われる. 氷の構成方程式(歪み速度と応力の関係式)は,数多くの室内実験によって 求められた経験式(Glenの流動則(flow law), Glen, 1955)で表わされる( Paterson, 1981; Hutter,1983).
(1)
ここで、
(2)
(3)
εは歪み速度(strain rate)テンソル, σは応力(stress)テンソル, σ'は偏差応力
(ずれ応力、deviatoric stress)テンソル、Iは単位テンソルをあらわす.
Aは次のように氷の温度Tに強く依存する(Arrhenius relation).
(4)
ここで, Aoは温度に依らない係数, Qは変形の活性化エネルギー, Rは気体定数である.
Aoは, 氷の結晶の大きさや形や方位だけでなく, 気泡や不純物の混入の度合などにも
依存する. (代表的数値は n = 3, Ao = 1.14×10-5 Pa-3 year-1,
Q = 60 kJ/mol)
図33には, 応力と歪み速度の関係が描かれている. 完全塑性体, ニュートン流体, そしてGlenの流動則に基づく連続体の各場合が描かれて いる. ニュートン流体に比べると氷床流動モデルは, 応力が大きく働くほど, 歪み速度 が急激に増して完全塑性体の振舞いに近くなるようである.
氷床流動の支配方程式は,(1)の構成方程式の他, 質量保存, 運動量のつりあい, エネルギーつりあいの式である.
(5)
(6)
(7)
ここで, vは速度ベクトル, ρIは氷の密度, gは重力加速度, κは氷の熱拡散係数,
Φは歪み速度による消散熱である. 運動の加速度の項は熱拡散率に比べて実効的
粘性率が大きいので無視してよい. 運動学的境界条件と質量保存の式から, 氷床の形
(高度hs分布)の時間変化を表す式は, zを鉛直上方向とすると,
(8)
となる. すなわち, 氷床の高さの時間変化は, [1]氷の収束発散, [2]底面での融解S,
[3]表面質量収支Mおよび, [4]基盤の高さ(hb)の変化に依るのである. 氷床運動の
効果は[1]に直接的に, [2]に間接的に現れる. [3]および[4]はそれぞれ大気-氷床
相互作用,氷床-固体地球相互作用で決まるものである.
氷床の流動は支配方程式を境界条件のもとで速度分布を解けば求められるが, 複雑な ため近似をせずに解かれた研究例はない. スケーリングすることにより, ここでは, 縦偏差応力(longitudinal deviatoric stress,偏差応力の法線成分)を無視し応力の 各法線成分は静水圧力に等しいとする(hydrostatic approximation), 水平スケール より鉛直スケールがずっと小さいとする(shallow ice approximation)などいくつか の近似の導入(Hutter, 1983)をする. ところで, これらの近似がどのような場合に適用不可能かを調べることは今後重要で ある. とくに縦偏差応力とその微分量を無視してよいか否か研究の余地がある. 氷床の最高点付近(サミット, 速度の発散域)( Dahl-Jenssen, 1989a)と氷床が海洋に 接する辺縁域付近( Van der Veen, 1987; Herterich, 1987)では縦差応力が無視し 得ないと考えられていて, Alley and Whillans(1984)は南極氷床の 問題にこの応力を考慮に入れた計算をしている.
水平方向にx,y軸をとり,流動方向をx方向とする.簡単のためにy方向を一様と仮定し, 縦偏差応力を無視すると,偏差応力としてはシアー(ずり)応力τxz以外はすべて0 になる.τxzの分布は,
(9)
と表され, 水平方向の速度uは,
(10)
ただしfは高さの勾配の関数である. 氷の自重により,表面の勾配に応じて流動している
のである. また, 速度は, 表面近くほど大きく, 底滑りがなければ底の速度は0である.
(10)式の解き方の違いから,大スケールの氷床流動モデルは2種類ある. 「熱-力学結合モデル(thermo-mechanical coupled model)」は,Glenの流動則の係数A の温度依存性を残したまま(10)を数値積分して速度分布を求めるものである. この 流動則の係数Aは温度に(指数的に)強く依存するので, 速度分布は温度分布に強く 依存する一方, 熱の移流((7)の右辺第2項)や歪み速度による消散熱のために温度分布は 速度分布に影響を受ける. このように速度分布と温度分布はcoupleしているために両方 同時に解くことに意味がある( Jenssen, 1977; Huybrechts, 1986; Dahl-Jenssen, 1989a).
もう一方の「簡単な流動モデル(simple ice flow model)」は, Glenの流動則のAの値 として平均的なある値を用いて, (10)の鉛直積分を容易にし, 温度分布とは独立に 鉛直平均速度の分布を求めるやり方である( Paterson, 1981; Mahaffy, 1976). 平均的なAの値を用いる ことによって, 結果として速度の鉛直分布の形は仮定されることになるので次元は 一つ減ることになる. このことから簡単な流動モデルは, 鉛直積分近似の流動モデル (vertically integrated approximate ice flow model)とも呼ばれる. また, Aを積分 の外に出して温度依存性を考慮する流儀もある( Oerlemans, 1983). 簡単な流動モデルの 明らかな短所は, 係数Aと速度の鉛直分布の形の仮定の任意性にあり, 長所は時間 積分の数値計算の容易な点にある.
今後,流動の式で無視されることの多い縦偏差応力の役割と, 温度が流動を通して 氷床のふるまいにどう影響するのかきちんと調べることが必要であろう. また, 構成 方程式に含まれる氷結晶の異方性や不純物の影響についてもまだ未解明なことが多い. 室内実験と野外の大自然におけるふるまいの理解の距離をいかにしてなくすかは, 地球科学共通の難題であろう.
完全塑性体モデルでは, 氷床は完全塑性体であると仮定される. つまり, 底面における 応力がある一定値(降伏応力, yield stress)に達すると無限大の変形が起こる ((1)式のnを無限大にしたことに相当する)が, 応力が降伏値以下では, 応力は重力に よる静水圧分布と釣り合っていると仮定されているのである. (9)の底面における応力 をどこでも一定値としたことによって次のように逆に氷河の形を決めてしまうことに なる.つまり,底面の応力τbは降伏応力τYに等しく,
(11)
氷床の長さをLとして,両辺をXからLまでxについて積分すると,
(12)
を得る.ここで、λは次の形の定数である.
(13)
(12)式より, 完全塑性体モデルの氷床の形は放物型をしているので,放物型氷床モデル
とも呼ばれる. 仮定の多いモデルであるが, 計算機の発達する以前の氷河学の研究や,
簡単に氷床の高さの効果を気候モデルに入れる場合に用いられた(
Weertman, 1976;
Kallenら, 1979;
Bowman, 1985).
最後に基盤(bed rock)の運動についてふれる. 氷床が成長するにつれ,アイソスタシー の原理に従って氷の重みにより地盤沈下が起こる. 基盤の高さを基盤の高さに関する 拡散の方程式の形に表現しているモデルがほとんどである( Oerlemans and van der Veen, 1984).
(14)
Dは拡散係数, h0は基盤の基準の高さ, ρIとρMはそれぞれ氷とマントルの密度,
Hは氷床の厚さである. 拡散係数は, 地殻の応答時間がおよそ1000年のオーダーに
なるよう調整する.
そのほか, Hyde and Peltier( 1985, 1987)のモデルは, 基盤の応答時間が基盤の空間スケールに依存することを考慮に入れた. また, 地殻の屈曲(deflection)の効果を追加しているモデルもある (Huybrechts, 1990a, 1990b).