東京の本屋の洋書の数学の棚の確率・統計関係のところで見つけた。 大学教養科目の教科書とも言えるし読みものとも言える本だ。
【わたしにとって、 数学の棚にある専門書のほとんどは抽象度が高すぎて読み続ける気になれないし、 軽い読みものは(少年時代に--日本語で書かれたものをだが--たくさん読んだせいか) 科学史的事項の訂正以外に新しい情報をもたらしてくれないものが多い。 しかし、これは、読み進むことができて、勉強にもなる本だった。】
【わたしには研究所の同僚が使っているベイズ流統計学を理解したいという動機があった。
その同僚James ANNAN氏もblog
(http://julesandjames.blogspot.com/)
などで何度も説明してくれているのだが、もうひとまわり広い背景を知りたかった。
また、ちょっと似た題名の本[読書ノート]の著者
(地球物理学者)もベイズ流統計学を使っているそうだが、
その本での説明はじゅうぶんでなかった。
別の本[読書ノート]は、
ベイズ流統計学の説明はしっかりしているように思われたが、
他の主題の議論がまちがっていると思われたので、信頼できなかった。】
本書は、いわゆるベイズ流(Bayesian)統計学(およびそれに基づく意思決定論) の考え方の入門書である。 そのことは裏表紙の著者紹介を見れば見当がつく。 しかし、すなおに読めば、確率・統計の標準的入門書だと思いそうだ。 もしかすると著者はそれをねらっているのかもしれない。 統計学者の中で、著者の立場は異端というわけではないが、 頻度論の立場をとる人(frequencist)に比べて少数派だろう。
ベイズの公式(本書ではBayes rule、 ほかの本では「ベイズの定理」と呼ばれることが多い)は、 条件と帰結を逆にした条件つき確率どうしの関係式である。 BAYESという人は、 その著書(1763年)でこの公式を示した人である。 ただし、それを最初に示した人ではないらしい。 本書でもSALSBURG (2001)の本でも述べられているように、 科学の法則などに名前のついている人は最初の発見者ではないことが多い。 また、近ごろベイズ流と呼ばれる考えかたは、この公式を使うこと以外の点では BAYES自身にさかのぼるわけではない。 本書の著者の貢献が大きいようなので、 むしろLINDLEY流と呼ぶべきなのかもしれない。 しかし習慣に従っておこう。
本書に出てくる数式は、確率論特有のカッコの多い表現はあるものの、 実質的には四則演算と平方根くらいでとけるような代数方程式である。 数学嫌いの人はこのくらいの数式にも抵抗があるだろうが、 著者は抽象化した表現のメリットをくりかえし述べて説得を試みている。 微分・積分が必要となるような式の説明は、もっと専門的な本を見なさいという 形で逃げている。
ただし、巻末にも脚注にも参考文献が示されていない。 読みものとしてはそのほうがよいのかもしれないが、 さらに勉強したい人のためには困ったことだ。 著者自身が1970年代に書いた入門教科書がある(日本語版もある)ので それがよいのかもしれないし、もっと新しい本もあると思うが、 わたしはまだ調べていない。
本書では、確率(probability)ということばは、個人的確率、つまり 個人がそれぞれもつ信念の指標とされる。 しかし、それは、確率の公理(本書ではrules、ただしBayes ruleは公理ではなく公理群から導かれる定理) を満たすような数値の体系でなければならない。 個人がそのような確率をもつことは必ずしも自然なことではないのだが、 それは合理的(coherent)なことであり、 著者の考えによれば、(個人あるいは社会の)意思決定にとって望ましいことなのである。
【ただし、著者は「合理的に考えないと損をするぞ」と言うのだが、 損得はあとで述べる「効用」の問題であり、 著者の理屈は「効用の期待値を最大化することが望ましい」という考えを前提としているようだ。 さらに、損をする具体例は、合理的に行動する人との交渉ごとになっており、 他方で、個人的確率に基づく理論は複数の個人が別々の確率をもっている状況を うまく扱えない(たとえば「囚人のジレンマ」などが生じる)と言っていることを 考えると、必ずしも説得力がないと思う。】
量子力学、統計力学、遺伝学などで使われる確率の概念は個人的確率とは違い、 観測データがそのサンプルにあたるような母集団の特徴量(parameter)である。 本書ではこちらをchanceと呼んでいる。 Chanceのほうを「確率」とし、本書のprobabilityを「確からしさ」と言ったほうが わかりやすいかもしれない(「確からしさ」が数値であってよいのならば)。 なお、likelihoodは確率と深い関係はあるが別の概念であり、 日本語では尤度[ゆうど]という。
本書の議論は、大きく、世界を認識すること(予測することを含む)と、 その認識にもとづいて行動すること(実際にはそのための意思決定まで)に分けられる。 イギリスの裁判制度では分業があって、有罪か無罪かを決めるのは陪審員団、 量刑を決めるのは裁判官である。 (日本では、現在も、裁判員制度が導入される場合も、このような分業はないと思う。) 本書の議論の組み立てはそれに対応している。
合理的認識の方法論はベイズ流推論である。 この部分(詳しい紹介は省略する)はわたしにはすなおに理解できた。 そして、広くみなさんにおすすめしたいと思う。 あるできごとについての個人的確率にはもちろん個人差があるが、 置きかえ可能なできごとが多数回続いた場合の確率の変化のしかたは普遍的だと言える。 (狭い意味の)論理は、確率が1と0だけの値をとる特殊な場合として ベイズ流推論の中に含められる。 また、ベイズ流推論は直接には因果関係の推論ではないが、 因果関係の推論の根拠に使われる。 その際に注意すべきことについて、 SIMPSONのパラドックスと呼ばれる問題を例として述べている。 ある治療方法が有効であると思われたが、 患者を男女別に分けてみると、男女いずれについてもむしろ有害だということになった という話だ。
【ベイズ流推論と論理の関係は、 わたしは学生時代にWATANABE (1969)の本(日本語版)で 知った。 ただし、その本はいろいろな種類の応用数学の概念が使われており、 当時のわたしには読み進めなかった。 これからなら、要点は理解できるかもしれない。 単に数式の読みとばしかたがうまくなっただけだが。】
ベイズ流推論の観点からみた科学方法論の議論も展開される。 その中で、著者は、頻度論に従う多くの科学者が使っている「有意性検定」という方法は 的はずれだという。 わたしは前からこの方法に納得がいかないのだが、 その「納得のいかなさ」に多少自信が強まった。 ただしこの点は、わたしの(頻度論に対する)理解がたりないせいなのかもしれず、 全面的に本書に賛成するわけではない。
本書の意思決定論のほうには納得がいかないところがある。 将来おこりうることは、自分の行動と、不確かなできごととによって、 いくつかの事態に分岐する。 それぞれの事態の望ましさを、効用(utility)と呼ばれる数値で表わすことは、 意思決定の手段としては、理解できる。 しかし、本書は、 効用の期待値(確率で重みづけした平均値)が最大となるような行動をとるのが 望ましいという原則を当然のように採用している (あとがきでこれは万能ではないとことわってはいるが)。 わたしは、この原則は自明ではないと思う。 たとえば、各行動ごとの損害が最大(効用が最小)となる事態だけを比較して意思決定することもあるはずだ。 (もっとも、事態を細かく分けると、確率が非常に小さいが損害は大きい事態が 含まれることが多く、損害最大だけにこだわると常識に反する意思決定になるだろう。 確かに、確率と効用の兼ね合いを考えることは必要なのだろう。 ただし、それがいつも期待値でよいとはわたしには思えないのだ。) 本書でELLSBERGのパラドックスと呼ばれている問題は、 わたしから見るとパラドックスではなく、 人は効用の期待値最大よりもむしろ不確かさの少なさを優先するということだと思う。 (ギャンブルが成り立つことを見ると、状況によっては不確かなほうが好まれることもあるようだが。)
また、本書での「効用」は、個人的確率と同様に個人ごとにもつ望ましさの指標であり、定義は次のようになっている。 仮に事態が定まったとしたときの望ましさを、 ありうる最善の事態と最悪の事態のいずれかがランダムに起こるという 不確かな事態の望ましさと比較し、 前者と同等と感じられる後者の事態のうちの「最善の事態」の比率(0と1の間)を 前者の事態の「効用」の値とする。 こうすると、個人的確率の概念と効用の期待値の最大化という原則とが なめらかにつながることは確かだ。 しかし、その設定は非常に人工的である。 この件に限らず、著者は、不確かさ(の少なさ)と望ましさとを混同してはいけないと主張する。 確かに別の概念ではあるのだが、 不確かさの大小も人の好みに影響するのは自然なことだろう。 仮想的に不確かさを取り除いたりまた入れたりしながら数量的比較評価をすることを (意思決定論のプロはともかく)一般の人々に期待するのは ちょっと無理があるような気がする。
【まぎらわしいことに、 2007年2月、D. LINDLEYの Uncertaintyという 本が出たが、著者は別人(DはDavid)で、この場合のUncertaintyは 量子物理学の不確定性をさしているらしい。】