空間と時間の座標

空間と時間

古典物理学では、われわれがいる宇宙は、 3次元の空間と1次元の時間からなり、空間・時間はそれぞれ連続であり、 空間についてはユークリッド幾何がなりたつとしている。

(ここでいう「古典物理学」は、相対論に対する意味である。 相対論では、空間と時間が明確に区別できない4次元時空を考える必要があり、 また、非ユークリッド幾何をあつかう必要が生じることがある。)

空間座標

空間が3次元であり連続であるということは、 空間のなかにある点の位置を、3つの実数であらわすことができるということである。

点の位置とそれをあらわす数値 (座標値) とを関係づけるしくみが「座標系」である。

ギリシャ文字 θ, φなどが出てくる。 そのよみかたは [ギリシャ文字]のページを参照。

1次元の直線のばあい

原点となる点 O を決めて、原点から点Pまでの距離 (正・負の符号つき) x を点Pの座標値とすることができる。

2次元の平面のばあい [[外] 平面の極座標 (円座標) [金沢工業大学 物理ナビゲーション]]

• 直交直線座標 (教科書では「直角座標」)。2つの長さによる表現 (x, y)。 原点で直角にまじわる2つの直線を x軸、 y軸とする。 点Pから x軸と y軸に垂線をおろす。 原点から 垂線が {x,y} 軸とまじわった位置までの距離 (符号つき) が {x,y}座標である。 また、{y,x} 軸から点Pまでの距離、言いかえれば垂線の長さ (符号つき) が {x,y}座標である。
• (平面) 極座標。1つの長さと1つの角度による表現 (r, θ)。 「動径」 (原点からの距離、非負) r と、「偏角」(方位角) θ で表現する。 【方位角は、基準方向をきめて、そこから (面に向かって) 反時計まわりにかぞえる。 (物理の数式では) 方位角の単位はラジアンとする。1周は 2πラジアンである。 角度に 2πラジアンの倍数をたしたものは同じ角をさす。 角度の値をしめすときはふつう -π ～ π か 0 ～ 2π のいずれかの範囲に限定して値をえらぶ。】
• ユークリッド幾何のもとでは、三平方の定理 (ピタゴラスの定理) がなりたつので、x² + y² = r²。
• 直交直線座標と極座標との関係は、{x = r cos θ, y = r sin θ}。

3次元空間のばあい [(*) 1-1図]

• 直交直線座標 (教科書では「直角座標」)。3つの長さによる表現 (x, y, z)。 原点で直角にまじわる3つの直線を x軸、 y軸、z軸とする。 (y, z) 平面からの距離 (符号つき) が x、 (z, x) 平面からの距離 (符号つき) が y、 (x, y) 平面からの距離 (符号つき) が z である。
• 円柱座標 (教科書では「円筒座標」)。長さ, 角度, 長さによる表現 (r, φ, z)。 直交直線座標のうち (x, y) を平面極座標におきかえ、z はそのまま残したと考えればよい。 (x, y) 平面での方位角は θがつかわれたりφがつかわれたりする。 教科書ではφがつかわれている。球座標 (3次元極座標) のφとの対応を重視したのだろう。
• 球座標 (教科書では「極座標」)。1つの長さと2つの角度による表現 (r, θ, φ)。 「動径」 (原点からの距離、非負) r。 z軸から原点から点Pにむかう線までの角度が θ、 (x, y) 平面に投影したときの方位角が φ。 (教科書 2ページ 1-1図の中央の図を参照。)
  • 直交直線座標と球座標との関係は、{x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ}。
  • 球座標と、(地球を球で近似したばあいの)緯度・経度 ([(別の授業のページ) 緯度・経度・高さ])との関係
    • 球座標の θ と、緯度 とは、同じものごとの情報なのだが、同じ値ではない。 θは「直角 ひく 緯度」に対応し、「余緯度」とよばれることがある。
    • 球座標の φ は 経度 と同じとみてよい。 しかし、まぎらわしいことに、気象学などの分野では緯度のほうにφの字をつかう。

時間座標

時間軸は数直線とみなす。 ただし、時間軸上の距離の "物理量の次元" [この用語は別の回に説明する予定] は 長さではなく 時間(time)である。 時刻 t の座標値は、時間の原点から時刻 t までの時間軸上での距離 (符号つき) である。

時間とともに動く点の軌跡

動く点の位置座標は、時間の関数と考えることができる。 たとえば、x = f(t)。

(数学とちがって) 物理では、関数と関数値とに同じ文字をつかうことが多い。 たとえば、x = x(t)。

3次元空間を動く点の軌跡は、{x(t), y(t), z(t)} で表現することができる。

t を消去して、空間座標どうしの関係式 (「軌道の方程式」) がえられるばあいがある。 2次元のばあいでいえば、軌道の方程式は、y = F(x) のような形、G(x, y) = 0 のような形がありうる。

教科書 2ページ [(*) 例] 2次元の楕円のばあい。{x = f(t), y = g(t)} のような形から、 G(x, y) = C のような形へ。

教科書 2ページ [問] {x = a + b t, y = c t}