万有引力と惑星の運動 (教科書 1.14節)

ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 分数については、これまでの回の教材ページでのべたとおり。

重力 (gravity) はどんな力か

これまで、重力は、重力加速度 g が一定としてあつかってきた。 それは、地球上の地表面に近いところでおこることを想定したものである。

重力は、一般には、質量をもつあらゆる物体のあいだに働く引力であり、 その向きは両物体をむすぶ直線上であり、 その大きさは両方の質量 m₁, m₂ に比例し、 両物体間の距離 r の2乗に反比例することがわかっている。 比例定数を重力定数 (または「万有引力定数」) G とかく。 式ではつぎのようになる。

F = - G m₁ m₂ / r² ... 教科書 (1.52) 式、記号をすこし変えた。

このような重力があるという考えは、ニュートン (Newton) によって、 まず天体 (おもに惑星) の運動を説明する過程で定式化された。

地球上の物体には地球の質量による重力がかかっている。 その大きさは、物体の質量 と「重力加速度」 g をかけた形に表現される。 地球の形を 球 (その内部構造も同心球) で近似すれば、 地球の質量を m_E、 地球の半径 (地球の中心から平均海面までの距離) を r として、重力加速度 g は

g = G m_E / r²

変形すると

G = g r² / m_E

地上にある物体どうしにも重力が働いているのだが、値が小さいので、 非常に精密な計測をしてやっと検出できる。

重力のポテンシャル

重力は保存力であり、ポテンシャルをもつ。

(1.52)式であらわされる重力の、 前回の教材ページ [ポテンシャル、位置エネルギー (ポテンシャル エネルギー)] でいう「第1の意味」でのポテンシャルは、 [(*) 教科書 1.11節]の [(*) 例 1]の C に G m₁ m₂ を いれたものにあたり、つぎのようになる。(分母が r の 1乗であることに注意。)

U = - G m₁ m₂ / r ... 教科書 (1.52a) 式、記号をすこし変えた。

前回の「第2の意味」での、第2の物体の単位質量あたりの 第1の物体の重力のポテンシャルはつぎのようになる。

U₁ = - G m₁ / r

惑星の運動の現象的記述 -- ケプラー (Kepler) の法則

天動説 (地球中心説) で、恒星は円運動する天球にはりついているとみなせたが、 惑星は天球に対して運動している。複数の円運動の組み合わせによる説明がくふうされた。

コペルニクス (Copernicus、著作 1543年) によって地動説 (太陽中心説) がとなえられた。 地球も惑星のひとつであるということになった。 ただし、惑星の軌道は円であると想定していた。単純な円運動では観測事実にあわなかったので、 やはり複数の円運動の組み合わせを考える必要があった。

ケプラー (Kepler、著作 1609年、1619年) が、 それまでの観測、とくにティコ ブラーエ (Tycho Brahe) による 観測の記録にもとづいて検討した結果、 惑星の軌道運動はつぎのようなものであることがわかった。

1. 惑星の軌道は楕円であり、太陽は楕円に2つある焦点の一方にある。
   • [(*) 浜島書店 『地学図表』 55ページ [2] ケプラーの法則 [参考] 楕円の性質]
   • [(*) 浜島書店 『地学図表』 55ページ [2] ケプラーの法則 [A] 第1法則・第2法則]
2. ひとつの惑星の運動のうちでは、面積速度が一定である。
   • 面積速度については、前回省略したが、 [(*) 平面運動の極座標表示 (教科書 1.13節)] で説明している。 ニュートン力学を前提とすれば、これは角運動量の保存のひとつのあらわれである。
3. 同じ太陽をまわる複数の惑星について比較すると、 軌道長半径の3乗と 公転周期の2乗 との比が一定である。
   • [(*) 浜島書店 『地学図表』 55ページ [2] ケプラーの法則 [B] 第3法則]

ニュートン (著作 1687年) が、 運動法則と重力の法則を定式化し、ケプラーの3法則はその応用としてみちびけることをしめした。

いったん力学の話題を離れるが、数量が中心からの距離の2乗に反比例することは、 光の強さ (現代の認識では、単位時間・単位面積あたりの電磁波のエネルギー) のばあいにはわかりやすい。 光が中心にある光源から等方的に出て、吸収を受けないとすれば、 どの半径の球面をとっても、球面全体に到達するエネルギーの流れの合計は同じなので、 球面の単位面積あたりのエネルギーの流れは球の表面積に反比例、つまり半径の2乗に反比例する。

• [外] (Wikipedia 日本語版) [[逆二乗の法則]] (右上に出る図を拡大して見てほしい。)

ケプラーは1598年の著作で光に関する逆二乗の法則を示した。 ケプラーは、天体の運動が天体のあいだに働く引力によるものだろうと考えたこともあったが、 引力の効果は (3次元空間ではなく) 2次元平面にひろがると考えたので、 ニュートンが考えたような重力法則にたどりつかなかった。 (この件はひとまず Wikipedia 日本語版 [[逆2乗の法則]] (2021-11-03 閲覧) によった。 その出典はつぎの本の 692ページ と 848 ページとなっている。今後確認したい。)

• 山本 義隆, 2003:『磁気と重力の発見 3 近代の始まり』みすず書房。 (わたしはまだ読んでいない。)

質点の力学にもとづく太陽のまわりの惑星の運動 (太陽は動かないとみなしたばあい)

太陽と惑星とのあいだの重力は、両者をむすぶ直線の方向にはたらく。 この章では、太陽は動かないとみなし、太陽を原点にとる。 (作用・反作用の法則を考えると、太陽も惑星からの重力を受けて加速度をもつのだが、 その議論は、質点系の力学のうちの 2.1節「二体問題」にもちこす。)

質点にはたらく力が、常に 一定の点 (いわば「中心」だが、ここではそう呼ばない) と 質点とをむすぶ直線 (「動径」) の方向であるとき、 そのような力を「中心力」という。

太陽を原点にとり、運動方程式を動径方向 (r方向) と それに垂直な方向(θ方向とする)との成分にわける。

F_r = m a_r

F_θ = m a_θ

太陽の質量を M、惑星の質量を m、 太陽から惑星までの距離を r とすれば、重力の法則 (式 (1.52)) から

F_r = - G M m / r²

F_θ = 0

動径に垂直な方向は2次元のひろがりをもつが、 重力は中心力なので、θ方向として動径に垂直な平面内のどの方向をとっても、 F_θ = 0 である。

【教科書の書きかたが不明確だが】 ここからは、運動がひとつの平面内でおこるとし、 その平面のうちで動径に垂直な方向をθ方向とする。 【このように仮定してよい理由をのべることはできると思うが、わたしにはまだできていない。】

面積速度が一定 (ケプラーの第2法則)

加速度の動径成分とθ方向成分は、 [(*) 平面運動の極座標表示 (教科書 1.13節)]でのべたように、つぎのように書ける。

a_r = d²r/dt² - r ( dθ/dt )² ... (1.49)式の動径成分

a_θ = (1/r) d/dt ( r² dθ/dt ) ... (1.50)

したがって、運動方程式の動径成分(を m でわったもの)とθ方向成分は

- (G M)/ r² = d²r/dt² - r ( dθ/dt )² ... (A)

0 = (1/r) d/dt ( r² dθ/dt )

θ方向成分の式から、この運動では、r² dθ/dt (= h とする) が一定、 つまり、面積速度 (= (1/2) h) が一定である。

軌道の形は楕円 (ケプラーの第1法則)

hをつかうと、dθ/dt = h/r² である。式(A)をこれによって書きなおすと

d²r/dt² - h²/r² = -(G M)/r² ... (B)

ここで、r の t へのよりかたは、rがθの関数、θがtの関数 という形で考えてよいので

dr/dt = dθ/dt dr/dθ = h/r² dr/dθ

この関係をつかって、(B) を t による微分の式から θによる微分の式にかきなおすと

h²/r² d/dθ{(1/r²) dr/dθ} - h²r³ = -(G M)/r² ... (C)

ここで、r = 1/u とおく。

(1/r²) dr/dθ = u² d{1/u}/dθ = u² {1-(1/u²)} du/dθ = -du/dθ

これをつかって (C) を かきなおすと

d²u/dθ² + u = (G M)/h² ... (D)

さらに、w = u - (G M)/h² とおくと

d²w/dθ² = -w ... (E)

これは単振動と同じ形の微分方程式であり 【ただし時間による微分ではなくθによる微分なので単振動ではない】、 解を三角関数であらわすことができる。

w = C cos(θ + α) ... (F)

ここで C と α は積分定数である。

wをふくむ式から uをふくむ式、さらにr をふくむ式にもどせば、

r = L /{1 + e cos(θ + α)} ... (1.54)

ただし

L = h² /(G M) [教科書では小文字のエルだが、ここでは大文字のエルにしておく]

e = h² C /(G M)

【授業中気づいたことですが、C が積分定数なので、これだけでは e の値がきまりません。 実際の惑星の軌道の e をきめるには運動法則と重力の法則のほかに何かの情報が必要なのだろうと 思いますが、すぐにはわかりません。わかったら補足します。】

(1.54)式があらわす平面上の図形は、 e < 1 ならば楕円、e = 1 ならば放物線、e > 1 ならば双曲線 である。 放物線や双曲線では、右辺の分母が 0 、したがって r が無限大になることがある。 r がいつも有限であるばあいにかぎると、惑星の軌道は楕円である。 そして、原点が楕円の焦点のひとつ、e が楕円の離心率になっている。

【授業中に見せたときは、「e < 0 ならば楕円」などのようになっていましたが、 正しくは 0 ではなくて 1 がくぎりになります。授業後訂正しました。】

楕円軌道の形と大きさ

r が最小になるところ(近日点)をθの原点にとれば、α = 0 とすることができる。

[(*) 1-27図]

1-27図で

• (離心率が 0 でないかぎり、原点 (太陽) O と 楕円の中心 M は一致しない。)
• OAの長さ (太陽から近日点までの距離) = L/(1 + e)
• OBの長さ (太陽から遠日点までの距離) = L/(1 - e)
• ABの長さ (軌道の長径) = 2 L / (1 - e²)
• MAの長さ (軌道の長半径) = L / (1 - e²)
• MOの長さ = L e /(1 - e²)
• ONの長さ = L / (1 - e²)
• MNの長さ (軌道の短半径) = L / sqrt(1 - e²) [sqrtは平方根をあらわす]
• 楕円の面積= π L² / (1 - e²)^(3/2)

公転周期の2乗は軌道長半径の3乗に比例する (ケプラーの第3法則)

面積速度が h/2 であり、1周期で楕円全体を覆うことになるから、

周期 T = 2 π L² /{ h (1 - e²)^(3/2) }

これを2乗し、L = h² /(G M) からの h² = L G M と 長半径 = L / (1 - e²) をつかうと、

T² = {4 π²/(G M)} × 長半径³